人教版九年级数学上第二十一章《一元二次方程》ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,21.1,一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学上（RJ）,教学课件,学习目标,1.,理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数,.,2.,根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型,.,（重、难点）,3.,理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问,题,.(,重点）,情景引入,雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代又一代的中国人在国内有多,处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗？,导入新课,设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部,AC,(,腰以上,),与下部,BC,(,腰以下,),的高度比，等于下部,BC,与全部,AB,(,全身,),的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高,AB,为,2 m,，下部,BC,=,x,m,，请列出方程,.,A,C,B,解：列方程得,整理得,x,2,+,2,x,-,4,=,0,x,2,=,2(2,-,x,),，,导入新课,想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？,x,m,(2,-,x,) m,等量关系：,AC,：,BC,=,BC,：,AB,即,BC,2,=2,AC,问题,1,有一块矩形铁皮，长,100cm,，,宽,50cm,，,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为,3600cm,2,，,那么铁皮各角应切去多大的正方形？,100cm,50cm,x,3600cm,2,一元二次方程的概念,一,讲授新课,解：设切去的正方形的边长为,x,cm,，,则盒底的长为,(100,2,x,)cm,，,宽为,(50,2,x,)cm,，,根据方盒的底面积为,3600cm,2,，,得,化简，得,该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？,问题,2,要组织,一次排球邀请赛,，,参赛的每两队之间都要比赛一场,，根据,场地和时间等条件,，,赛程计划安排7天,，,每天安排4场比赛,，,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?,解：根据题意，列方程：,化简，得：,该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？,观察与思考,方程、,都不是一元一次方程,.,那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？,特点,:,都是整式方程,;,都,只含一个未知数,;,未知数的最高次数都是,2,.,x,2,-,75,x,35,0=0,x,2,+,2,x,-,4,=,0,x,2,-,x,-,56=0,等号两边都是整式，只含有,一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是,2,（二次）的方程，叫做一元二次方程,.,知识要点,一元二次方程的概念,ax,2,+,bx,+,c,=,0,(,a,，,b,，,c,为常数，,a,0),ax,2,称为二次项，,a,称为二次项系数,.,bx,称为一次项，,b,称为一次项系数,.,c,称为常数项,.,一元二次方程的一般形式是,想一想,为什么一般形式中,ax,2,+,bx,+,c,=0,要限制,a,0,，,b,、,c,可以为零吗？,当,a,= 0,时,bx,c,= 0,当,a,0,，,b,= 0,时,，,ax,2,c,= 0,当,a,0,，,c,= 0,时,，,ax,2,b,x,= 0,当,a,0 ，,b,=,c,=0,时,，,ax,2,= 0,总结：只要满足,a,0,，,b,，,c,可以为,任意实数,.,典例精析,例,1,下列选项中，是关于,x,的一元二次方程的是（ ）,C,不是整式方程,含两个未知数,化简整理成,x,2,-3,x,+2=0,化简整理成,12,x,+10=0,提示,判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是,2.,判断下列方程是否为一元二次方程？,(2),x,3,+,x,2,=36,(3),x,+3,y,=36,(5),x,+1=0,(1),x,2,+,x,=36,注意：未限定,a,0,例,2,a,为何值时，下列方程为一元二次方程？,(1),ax,2,x,=2,x,2,；,(2) (,a,1),x,|,a,|,+1,2,x,7=0.,解：,(1),将方程式转化为一般形式，得,(,a,2),x,2,x,=0,，,所以当,a,20,，即,a,2,时，原方程是一元二次方程；,(2),由,|,a,|,+1 =2,，且,a,1 0,知，当,a,=,1,时，原方程是一元二次方程,.,方法点拨：,用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于,2,，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于,0,的字母的值,变式：,方程,(2,a,4),x,2,2,bx,+,a,=0,（,1,）在什么条件下此方程为一元二次方程？,（,2,）在什么条件下此方程为一元一次方程？,解：（,1,）当,2,a,40,，即,a,2,时，是一元二次方程；,（,2,）当,a,=2,且,b,0,时，是一元一次方程,方法点拨：,一元一次方程与,一元二次方程的区别与联系：,1.,相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；,2.,不同点：一元一次方程未知数最高次数是,1,，一元二次方程未知数最高次数是,2.,例,3,将方程,3,x,(,x,-1)=5(,x,+2),化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项,.,解：,去括号，得,3,x,2,-3,x,=5,x,+10.,移项、合并同类项，得,3,x,2,-8,x,-10=0.,其中二次项系数是,3,；一次项系数是,-8,；常数项是,-10.,系数和项均包含前面的符号,.,注意,一元一次方程,一元二次方程,一般式,相同点,不同点,思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？,ax,=,b,(,a,0),ax,2,+,bx,+,c,=0 (,a,0),整式方程，只含有一个未知数,未知数最高次数是,1,未知数最高次数是,2,一元二次方程的根,二,一元二次方程的根,使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的,解,（又叫做,根,）,.,试一试：,下面哪些数是方程,x,2,x, 6 = 0,的解,?,-4,，,-3,，,-2,，,-1,，,0,，,1,，,2,，,3,，,4,x,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,x,2, x ,6,14,6,0,-4,-6,-6,-4,0,6,例,4,已知关于,x,的一元二次方程,x,2,+ax+a,=0的一个根是3，求,a,的值.,解：由题意把,x,=3代入方程,x,2,+ax+a,=0，得,3,2,+3,a,+,a,=0,9+4,a,=0,4,a,=,-,9,方法点拨：,已知方程的根求字母的值，只需要,把方程的根代入方程会得到一个关于这个字母的一元一次方程，求解即可得到字母的值,.,变式：,已知,a,是方程,x,2,+,2,x,2,=,0,的一个实数根，求,2,a,2,+,4,a,+,2018,的值,.,解：由题意得：,方法点拨：,求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值,问题,在一块宽,20m,、长,32m,的矩形空地上，修筑,三条,宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为,570,m,2,，问小路的宽应为多少？,32,20,x,建立一元二次方程模型,三,1,.若设小路的宽是,x,m，则横向小路的面积是_m,2,，纵向小路的面积是,m,2,两者重叠的面积是,m,2,.,32,x,2,.由于花坛的总面积是570m,2,.你能根据题意，列出方程吗？,整理以上方程可得,思考：,2,20,x,32,20,(32,x,220,x,),2,x,2,=570,2,x,2,x,2,-36,x,35,=0,32,20,x,想一想：,还有其他的方法吗？试说明原因.,(20-,x,)(32-2,x,)=570,32-2,x,20-,x,32,20,审,建立一元二次方程模型的一般步骤,设,找,列,审题，弄清已知量与未知量之间的关系,设未知数,找出等量关系,根据等量关系列方程,当堂练习,1.,下列哪些是一元二次方程？,3,x,+2=5,x,-2,x,2,=0,(,x,+3)(2,x,-4)=,x,2,3,y,2,=(3,y,+1)(,y,-2),x,2,=,x,3,+,x,2,-1,3,x,2,=5,x,-1,2.,填空：,方程,一般形式,二次项系数,一次项系数,常数项,0,1,3,1,3,-5,4,0,-5,3,-2,3.,关于,x,的方程,(,k,2,1),x,2,2(,k,1),x,2,k,2,0,，,当,k,时，是一元二次方程,当,k,时，是一元一次方程,1,1,4.,（,1,）已知方程,5,x,+,mx,-6=0,的一个根为,4,，则,m,的值,为,_;,（,2,）,若关于,x,的一元二次方程,(,m,+2),x,2,+5,x,+,m,2,-4=0,有一个根为,0,，求,m,的值,.,二次项系数不为零不容忽视,解：将,x,=0,代入方程得,m,2,-4=0,，,解得,m,=2.,m,+2 0,，,m,-2,，,综上所述,：,m,=2.,5.(,1,),如图，已知一矩形的长为,200cm,，宽为,150cm.,现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三,.,求挖去的圆的半径,x,cm,应满足的方程（其中取,3,）；,解：设由于圆的半径为,x,cm,，,则它的面积为,3,x,2,cm,2,.,整理，得,根据题意，得,200cm,150cm,(2),如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为,75,万辆，两年后增加到,108,万辆,.,求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率,x,应满足的方程,.,解：该市,两年来汽车拥有量的年平均增长率为,x,，,整理，得,根据题意，得,课堂小结,一元二次方程,概念,是整式方程；,只含一个未知数；,未知数的最高次数是,2,.,一般形式,ax,2,+,bx,+,c,=0 (,a,0),其中,(,a,0),是一元二次方程的必要条件；,根,使方程左右两边相等的未知数的值,.,建立一元二次方程模型,审设找列,21.2.1,配方法,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,1,课时 直接开平方法,九年级数学上（RJ）,教学课件,学习目标,1.,会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程,.,(,难点）,2.,运用开平方法解形如,x,2,=,p,或,(,x,+,n,),2,=,p,(,p,0),的方程,.,(,重点）,导入新课,情景引入,古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况。某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在,30,里之外，营地形似正方形，约,16,方里”，将军立马说：“原来敌方营地长,4,里”。,思考：将军是怎么知道敌方营地长的？,1.,如果,x,2,=,a,，,则,x,叫做,a,的,.,导入新课,复习引入,平方根,2,.,如果,x,2,=,a,(,a,0),，,则,x,=,.,3,.,如果,x,2,=64,，,则,x,=,.,8,4,.,任何数都可以作为被开方数吗？,负数不可以作为被开方数,.,讲授新课,直接开平方法解形如,x,2,=,p,(,p,0)的方程,一,问题：,一桶油漆可刷的面积为,1500dm,2,，李林用这桶油漆恰好刷完,10,个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？,解：,设一个盒子的棱长为,x,dm,，则一个正方体的表面积为,6,x,2,dm,2,，可,列出方程,106,x,2,=1500,，,由此可得,x,2,=25,开平方得,即,x,1,=5,，,x,2,=,5.,因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为,5,dm,x,=5,，,试一试：,解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流,.,(1),x,2,=4,(2),x,2,=0,(3),x,2,+1=0,解：根据平方根的意义，得,x,1,=2,，,x,2,=-2.,解：根据平方根的意义，得,x,1,=,x,2,=0.,解：移项，得,x,2,=-1,，,因为负数没有平方根，所以原方程无解,.,(2),当,p,=0,时，方程,(I),有两个相等的实数根,=,0;,(3),当,p,0,时，根据平方根的意义，方程,(I),有两个不等,的实数根,利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫,直接开平方法,.,归纳,例,1,利用直接开平方法解下列方程：,(1),x,2,=6,；,(2),x,2,900=0.,解：,(1),x,2,=6,，,直接开平方，得,(,2,),移项，得,x,2,=900.,直接开平方，得,x,=,30,，,x,1,=30,，,x,2,=,30.,典例精析,方法点拨：,通过移项把方程化为,x,2,=,p,的形式，然后直接开平方即可求解,在解方程,(I),时，由方程,x,2,=25,得,x,=5,.,由此想到：,(,x,+3),2,=5,，,得,对照上面的方法，你认为可以怎样解方程,(,x,+3),2,=5,？,探究交流,于是，方程,(,x,+3),2,=5,的两个根为,直接开平方法解形如,(,x,+,n,),2,=,p,(,p,0)的方程,二,上面的解法中 ，由方程,得到,，实质上是,把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程,，这样就把方程,转化为我们会解的方程了,.,解题归纳,例,2,解下列方程：,（,1,）,(,x,1,),2,= 2,；,解,析：,第,1,小题中只要将,(,x,1,),看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解,.,即,x,1,=-1+,，,x,2,=-1-,解：,（,1,）,x,+1,是,2,的平方根，,x,+1=,典例精析,解析：,第,2,小题先将,4,移到方程的右边，再同第,1,小题一样地解,.,（,2,）,(,x,1,),2,4 = 0；,即,x,1,=3,，,x,2,=-1,.,解：,（,2,）,移项，得,(,x,-1,),2,=4,.,x,-1,是,4,的平方根，,x,-1=2,.,x,1,=,，,x,2,=,（,3,）,12,(,3,2,x,),2,3 = 0,.,解析：,第,3,小题先将,3,移到方程的右边，再将等式两边同时除以,12,，再同第,1,小题一样地去解.,解,：,（,3,）,移项，得,12,(,3-2,x,),2,=3，,两边都除以,12,，,得,(,3-2,x,),2,=0.25,.,3-2,x,是,0.25,的平方根，,3-2,x,=0.5,.,即,3-2,x,=0.5，3-2,x,=-0.5,解：,方程的两根为,解：,方程的两根为,例,3,解下列方程：,1.,能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？,如果一个一元二次方程具有,x,2,=,p,或,(,x,n,),2,=,p,(,p,0,),的形式，那么就可以用直接开平方法求解,.,2,.,任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明,.,探讨交流,当堂练习,C,.,4(,x,-1),2,=9，,解方程，得,4(,x,-1)= 3，,x,1,= ，,x,2,=,D,.,(2,x,+3),2,=25，,解方程，得,2,x,+3=5，,x,1,= 1，,x,2,=-4,1,.,下列解方程的过程中，正确的是（ ）,A,.,x,2,=-2，,解方程，得,x,=,B,.,(,x,-2),2,=4，,解方程，得,x,-2=2，,x,=4,D,(1),方程,x,2,=0.25,的根是,.,(2),方程,2,x,2,=18,的根是,.,(3),方程,(2,x,-1),2,=9,的根是,.,x,1,=0.5,，,x,2,=-0.5,x,1,3,，,x,2,-3,x,1,2,，,x,2,1,2.,填空,:,3.,解下列方程：,(1),x,2,-81,0,；,(2)2,x,2,50,；,(3)(,x,1),2,=4 .,解：,x,1,9,，,x,2,9,；,解：,x,1,5,，,x,2,5,；,解：,x,1,1,，,x,2,3.,课堂小结,直接开平方法,概念,步骤,基本思路,利用平方根的定义求方程的根的方法,关键要把方程化成,x,2,=p,(,p,0),或,(,x+n,),2,=p,(,p ,0),.,一元二次方程,两个一元一次方程,降次,直接开平方法,21.2.1,配方法,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,2,课时 配方法,九年级数学上（RJ）,教学课件,学习目标,1.,理,解配方法的概念,.,2.,掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题,.,(,重点）,3.,探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系,.,（难点）,导入新课,复习引入,(1),9,x,2,=1,；,(2),(,x,-2),2,=2.,1,.,用直接开平方法解下列方程,.,2.,你还记得完全平方公式吗？填一填：,(1),a,2,+2,ab,+,b,2,=(,),2,；,(2),a,2,-2,ab,+,b,2,=(,),2,.,a+b,a-b,解：,解：,3.,下列方程能用直接开平方法来解吗,?,(1),x,2,+,6,x,+,9,=,5,；,(2),x,2,+4,x,+1=0.,转化成,(,x,+,2,),2,=,9,的形式，再利用开平方,讲授新课,用配方法解方程,一,探究交流,解：方程变形为,(,x,+,3,),2,=,5,，,试一试,解方程：,x,2,+6,x,+9 =,5.,开平方，得,解得,将方程左边因式分解，配成完全平方式,用开平方法解方程,如何配方呢？,填上适当的数或式，使下列各等式成立,.,（,1,）,x,2,+4,x,+,= (,x,+,),2,（,2,）,x,2,-6,x,+,= (,x,-,),2,（,3,）,x,2,+8,x,+,= (,x,+,),2,（,4,）,x,2,-,x,+,= (,x,-,),2,你发现了什么规律？,2,2,2,3,2,3,4,2,4,填一填,二次项系数为,1,的完全平方式：,常数项等于一次项系数一半的平方,.,归纳总结,填一填：,x,2,+,px,+(,),2,=(,x,+,),2,配方的方法,想一想,怎样解方程,:,x,2,+4,x,+1=0,(1),问题,1,方程,(1),怎样变成,(,x,+,n,),2,=,p,的,形式呢？,解：,x,2,+4,x,+1=0,x,2,+4,x,=-1,移项,x,2,+4,x,+4=-1+4,两边都加上,4,为什么在方程,x,2,+4,x,=-1,的两边加上,4,？加其他的数，行吗？,(,x+,2),2,=3,左边写成完全平方形式,要点归纳,像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程，叫做,配方法,.,配方法的定义,配方法解方程的基本思路,把方程化为,(,x,+,n,),2,=,p,的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解,例,1,解下列方程：,分析：,(1),方程的二次项系数为,1,，直接运用配方法,.,(2),先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为,1,，然后用配方法解方程,.,(3),与,(2),类似，将二次项系数化为,1,后再配方,.,典例精析,解：移项，得,x,2,8,x,=,1,，,配方，得,x,2,8,x,+4,2,=,1+4,2,，,(,x,4),2,=15,由此可得,即,配方，得,由此可得,二次项系数化为,1,，得,解：移项，得,2,x,2,3,x,=,1,，,即,移项和二次项系数化为,1,这两个步骤能不能交换一下呢,?,配方，得,因为实数的平方不会是负数，所以,x,取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根,解：移项，得,二次项系数化为,1,，得,为什么方程两边都加,1,2,？,即,练一练,解下列方程：,(,1,),x,2,+8,x,+4=0,；,(2),4,x,2,+8,x,=-4,；,(,3)-2,x,2,+6,x,-8=0.,解：移项，得,x,2,+8,x,=,4.,配方，得,(,x+,4),2,=12.,开平方，得,解得,解：整理得,x,2,+2,x+,1=0.,配方，得,(,x+,1),2,=0.,开平方，得,x,+1=0.,解得,x,1,=x,2,=,1.,解：整理得,x,2,3,x,=,4.,配方，得,所以原方程无实数根,.,一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成,(,x,+,n,),2,=,p,.,当,p,0,时，则,，,方程的两个根为,当,p,=0,时，则,(,x,+,n,),2,=0,，,开平方得方程有两个相等的实数根,x,1,=,x,2,=-,n,.,当,p,0.,式子,b,2,-4,ac,的值有一下三种情况,：,（,1,）,b,2,-4,ac,0,，,这时 ,0,，由得,方程有两个不等的实数根,（,2,）,b,2,-4,ac,=0,这时,=0,，由可知，方程有两个相等的实数根,x,1,=,x,2,=,- .,（,3,）,b,2,-4,ac,0,这时 ,0,，由可知 ,0,，而,x,取任何实数都不能使,0,，因此方程无实数根,.,两个不相等的实数根,两个相等的实数根,没有实数根,两个实数根,判别式的情况,根的情况,我们把,b,2,-4,ac,叫做一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,根的判别式,，通常用符号“ ”表示，即,=,b,2,-4,ac,., 0,= 0, 0,b,2,- 4,ac =,0,b,2,- 4,ac,0,有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根,例,3,若关于,x,的一元二次方程,x,2,+8,x,+,q,=0,有两个不相等的实数根，则,q,的取值范围是,( ),A.,q,4 B.,q,4,C.,q,16,C,解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则,b,2,-4,ac,0,，即,.,解得,q,16,，故选,C.,典例精析,【变式题】二次项系数含字母,若关于,x,的一元二次方程,kx,2,-2,x,-1=0,有两个不相等的实数根，则,k,的取值范围是,( ),A.,k,-1 B.,k,-1,且,k,0,C.,k,1 D.,k,-1,且,k,0,【变式题】删除限制条件,“,二次,”,若关于,x,的方程,kx,2,-2,x,-1=0,有实数根，则,k,的取值范围是,( ),A.,k,-1 B.,k,-1,且,k,0,C.,k,1 D.,k,1,且,k,0,分析：,分类讨论,k,=0,k,0,原方程变形为,-2,x,-1=0,，有实数根,b,2,-4,ac,0,k,-1,A,由上可知，当,0,时，方程,ax,2,+,bx,+,c,=0 (,a,0),的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,的,求根公式,.,注意,运用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，判定,b,2,- 4,ac,0,时，才可以用求根公式,.,用求根公式解一元二次方程的方法叫做,公式法,.,用,公式法解方程,三,例,4,用公式法解下列方,程：,典例精析,（,1,）,x,2,-4,x,-7=0;,方程有两个不相等的实数根,.,解：,a,=1,，,b,=-4,，,c,=-7,b,2,4,ac,=(,4),2,41(,7)=44,0.,即,方程有两个相等的实数根,x,1,=,x,2,（,3,）,5,x,2,3,x,=,x,+1,;,方程有两个不相等的实数根,=,即,a,=5,，,b,=,4,，,c,=,1,b,2,4,ac,=(,4),2,45(,1)=36,0.,解：,方程化为,5,x,2,4,x,1=0,（,4,）,x,2,+17=8,x,.,方程无实数根,.,a,=1,，,b,=,8,，,c,=,1,7,b,2,4,ac,=(,8),2,4117=,4,0.,解：,方程化为,x,2,8,x,+1,7=0,要点归纳,公式法解方程的步骤,1.,变形：,化已知方程为一般形式；,2.,确定系数：,用,a,，,b,，,c,写出各项系数；,3.,计算：,b,2,-4,ac,的值；,4.,判断：,若,b,2,-4,ac,0,，则利用求根公式求出；,若,b,2,-4,ac,0,，则方程没有实数根,.,1.,不解方程，判断下列方程的根的情况,（,1,）,2,x,2,+3,x,-4=0,； （,2,）,x,2,-,x,+ =0,；,解：（,1,）,2,x,2,+3,x,-4=0,，,a,=2,，,b,=3,，,c,=-4,，,b,2,-4,ac,=3,2,-42(-4)=41,0.,方程有两个不相等的实数根,（,2,）,x,2,-,x,+ =0,，,a,=1,，,b,=-1,，,c,= .,b,2,-4,ac,=(-1),2,-41 =0.,方程有两个相等的实数根,当堂练习,（,3,）,x,2,-,x,+1=0,，,a,=1,，,b,=-1,，,c,=1.,b,2,-4,ac,=(-1),2,-411=-3,0,，,即,x,1,= -9,，,x,2,= 2 .,当堂练习,3.,解方程：,(,x,-,2) (1,-,3,x,) = 6,.,解：去括号 ，得,x,-,2,-,3,x,2,+ 6,x,= 6,，,化为一般式,3,x,2,-,7,x,+ 8 = 0,，,这里,a,= 3,，,b,=,-,7,，,c,= 8.,b,2,-,4,ac,=(,-,7 ),2, 4 3 8 = 49,96,=,-,47 0,5.(1),关于,x,的一元二次方程 有两个实根，则,m,的取值范围是,.,（,2,）,若关于,x,的一元二次方程（,m,-1）,x,2,-2,mx,+,m,=2有实数根求,m,的取值范围.,解：化为一般式（,m,-1）,x,2,-2,mx,+,m,-2=0,4,m,2,4(,m,1)(,m,2)0，且,m,-10,解得,且,m,1.,6.,不解方程，判断关于,x,的方程,的根的情况,.,解：,所以方程有两个实数根,课堂小结,公式法,求根公式,步骤,一化（一般形式）；,二定（系数值）；,三求（,值）；,四判（方程根的情况）；,五代（求根公式计算）,.,根的判别式,b,2,-4,ac,务必将方程化为一般形式,21.2,解一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,21.2.3,因式分解法,九年级数学上（RJ）,教学课件,学习目标,1.,理解,用因式分解法解方程的依据,.,2.,会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程,.,（重点）,3.,会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程,.,（难点）,情境引入,我们,经常看到大学毕业的学生，穿着学士服，将学士帽高高抛起的样子，那么抛起的学士帽什么时候落下，什么时候抬头接才不会被砸到呢,？,一起看看吧！,导入新课,讲授新课,因式分解法解一元二次方程,一,引例：,根据物理学规律，如果把一个物体从地面以,10m/s,的速度竖直上抛，那么经过,x,s,物体离地面的高度,(,单位：,m,),为,10,x,-4.9,x,2,.,你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗,(,精确到,0.01s,)?,分析,：,设物体经过,x,s,落回地面，这时它离地面的高度为,0,m,，即,10,x,-4.9,x,2,=0 ,解：,解：,a=,4.9,b=,-10,c=,0,.,b,2,4,ac,= (,10),2,44.90,=100,.,公式法解方程,10,x,-4.9,x,2,=0.,配方法解方程,10,x,-4.9,x,2,=0.,方程可化为,4.9,x,2,-10,x,=0.,因式分解,如果,a,b,= 0，,那么,a,= 0,或,b,= 0,.,两个因式乘积为,0,，说明什么？,或,降次，化为两个一次方程,解两个一次方程，得出原方程的根,这种解法是不是很简单？,10,x,-4.9,x,2,=0 ,x,(10-4.9,x,) =0,x,=0,10-4.9,x,=0 ,这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做,因式分解法.,要点归纳,因式分解法的概念,因式分解法的基本步骤,一移,-,方程的右边,=0,;,二分,-,方程的左边因式分解,;,三化,-,方程化为两个一元一次方程,;,四解,-,写出方程两个解,;,简记歌诀,：,右化零 左分解,两因式 各求解,试一试：,下列各方程的根分别是多少？,(1),x,(,x,-2)=0,；,(1),x,1,=0,，,x,2,=2,；,(2) (,y,+2)(,y,-3)=0,；,(2),y,1,=-2,，,y,2,=3,；,(3) (3,x,+6)(2,x,-4)=0,；,(3),x,1,=-2,，,x,2,=2,；,(4),x,2,=,x,.,(4),x,1,=0,，,x,2,=1.,例,1,解下列方程：,解：,(,1,),因式分解，得,于是得,x,2,0,或,x,1=0,x,1,=2,，,x,2,=,1.,(2),移项、合并同类项，得,因式分解，,得,( 2,x,1)( 2,x,1 )=0.,于是得,2,x,1=0,或,2,x,1=0,(,x,2)(,x,1)=0.,典例精析,练一练,解下列方程：,(1),(,x,+1,),2,=5,x,+5；,x,1,=4，,x,2,=-1,(2),x,2,-6,x,+9=,(,5-2,x,),2,解：,(,x,+1,),2,=5,(,x,+1,),，,(,x,+1,),2,-5,(,x,+1,),=0，,则,(,x,+1,)(,x,-4,),=0，,x,+1=0，或,x,-4=0，,解：方程整理得,(,x,-3,),2,-,(,5-2,x,),2,=0,，,则,(,x,-3,),+,(,5-2,x,),(,x,-3,),-,(,5-2,x,),=0，,-,x,+2=0，,或,3,x,-8=0，,x,1,=2，,x,2,=,.,十字相乘法,拓展提升,(,x,+,a,)(,x,+,b,)=,x,2,+(,a,+,b,),x,+,ab,两个一次二项式相乘的,积,一个,二次三项式,整式的乘法,反过来，得,x,2,+(,a,+,b,),x,+,ab,=(,x,+,a,)(,x,+,b,),一个,二次三项式,两个一次二项式相乘的,积,因式分解,如果二次三项式,x,2,+,px,+,q,中的常数项系数,q,能分解成两个因数,a,、,b,的积，而且一次项系数,p,又恰好是,a,+,b,，那么,x,2,+,px,+,q,就可以用如上的方法进行因式分解,.,步骤：,竖分,二次项与常数项,交叉,相乘，积相加,检验确定，,横写,因式,简记口诀：,首尾分解，交叉相乘，求和凑中,.,试一试,解方程：,x,2,+6,x,-7=0.,解：因式分解得,(,x,+7)(,x,-1)=0.,x,+7=0,或,x,-1=0.,x,1,=-,7,x,2,=1.,练一练,解下列方程：,(,1,),x,2,-5,x,+,6,=0；,解：分解因式，,得,(,x,-2,)(,x,-3,),=0，,(,3,)(,x,+3,)(,x,-1,),=5；,解：整理得,x,2,+2,x,-8=0，,(4),2,x,2,-7,x,+3=0,.,(,2,),x,2,+4,x,-5=0；,解：分解因式，,得,(,x,+5,)(,x,-1,),=0，,解：分解因式，,得,(,2,x,-1,)(,x,-3,),=0，,解得,x,1,=2，,x,2,=3,.,解得,x,1,=-5，,x,2,=1,解得,x,1,=-4，,x,2,=2,.,分解因式，,得,(,x,+4,)(,x,-2,),=0，,解得,x,1,= ，,x,2,=,3.,灵活选用方法解方程,二,例,2,用适当的方法解方程：,(1),3,x,(,x,+ 5)= 5(,x,+ 5),；,(2),(5,x,+ 1),2,= 1,；,即,3,x,-,5,=,0,或,x,+ 5,= 0,.,x,1,=,0, x,2,=,分析：,该式左右两边可以提取公因式，,所以用因式分解法解答较快,.,解：化简,(,3,x,-,5,) (,x,+ 5,) = 0,.,分析：,方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法,.,解：开平方,得,5,x,+ 1 = 1,.,(3),x,2,-,12,x =,4,; (4),3,x,2,= 4,x,+ 1,.,开平方，得,解得,x,1,=,，,x,2,=,解：化为一般形式,3,x,2,-,4,x,-,1 = 0.,=,b,2,-,4,ac =,28 0,分析：,二次项系数为,1,，一次项系数为偶数，可用配方法来解题较快,.,解：配方，得,x,2,-,12,x,+ 6,2,= 4 + 6,2,即,(,x,-,6),2,= 40.,分析：,二次项的系数不为,1,，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法,.,1.,一般地，当一元二次方程的一次项系数为,0,时,(,ax,2,+,c,=0,),，应选用,直接开平方法,；,2.,若常数项为,0,(,ax,2,+,bx,=0,),，,应选用,因式分解法；,3.,若一次项系数和常数项都不为,0 (,ax,2,+,bx,+,c,=0,),，,先化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用,因式分解法,，否则选用,公式法,；,4.,当二次项系数是,1,，且一次项系数是偶数时，用,配方法,也较简单.,要点归纳,解法选择基本思路,填一填：,各种一元二次方程的解法及适用类型,.,一元二次方程的解法,适用的方程类型,直接开平方法,配方法,公式法,因式分解,x,2,+,px,+,q,= 0,(,p,2,- 4,q,0),(,x,+,m,),2,n,(,n, 0),ax,2,+,bx,+,c,= 0 (,a,0,，,b,2,- 4,ac,0),(,x,+,m,),(,x,+,n,),0,x,2,-3,x,+1=0 ； 3,x,2,-1=0 ；, -3,t,2,+,t,=0 ；,x,2,-4,x,=2 ；, 2,x,2,-,x,=0； 5(,m,+2),2,=8；, 3,y,2,-,y,-1=0；, 2,x,2,+4,x,-1=0；, (,x,-2),2,=2(,x,-2),.,适合运用直接开平方法,；,适合运用因式分解法,；,适合运用公式法,；,适合运用配方法,.,当堂练习,1.,填空,注意：每个题都有多种解法，选择更合适的方法，可以简化解题过程！,2.,解方程,x,(,x,+1)=2,时，要先把方程化为,；,再选择适当的方法求解，得方程的两根为,x,1,=,x,2,=,.,x,2,+,x,-,2=0,-,2,1,3.,下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来,.,解方程,(,x,-5)(,x,+2)=18.,解：原方程化为：,(,x,-5)(,x,+2)=3,6 . ,由,x,-5=3,，,得,x,=8,；,由,x,+2=6,，,得,x,=4,；,所以原方程的解为,x,1,=8,或,x,2,=4.,解,:,原方程化为：,x,2,3,x,28,=,0,，,(,x,7)(,x,+4)=0,，,x,1,=,7,，,x,2,=,4.,解,：化为一般式为,因式分解，得,x,2,2,x,+1 = 0.,(,x,1 ),2,= 0.,有,x,1 = 0,，,x,1,=,x,2,=1.,解,：因式分解，得,( 2,x,+ 11 )( 2,x,11 ) = 0.,有,2,x,+ 11 = 0,或,2,x,11= 0,，,4.,解方程：,(4),x,2,+4,x,-2=2,x,+3；,(3),2,x,2,-5,x,+1=0；,解：,a,=2，,b,=-5，,c,=1，,=,(,-5,),2,-421=17,解：整理，得,x,2,+2,x,=,5，,x,2,+2,x,+1=5+1，,即,(,x,+1,),2,=6，,(,5,)(,3,m,+2,),2,-7,(,3,m,+