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第九章 概率模型,9.1 传送系统的效率,9.2 报童的诀窍,9.3 随机存贮策略,9.4 轧钢中的浪费,9.5 随机人口模型,9.6 航空公司的预订票策略,9.7,学生作弊现象的调查和估计,确定现象,随机现象,统计学家和赌场经理对待随机现象的态度几乎一样，只是前者用的是随机数，后者用的是扑克牌斯汀,骰子赌博的诀窍,敏感问题调查,调查问卷：1.敏感问题，2.普通问题；答复：是，否,普通问题答复“是的先验概率p,被调查人按单双学号答复以下问题1或2，答卷只有是或否,调查目的：敏感问题出现的概率x有多大,设调查人数为n，其中答复“是的人数为m,确定性因素和随机性因素,随机因素可以忽略,随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现,随机因素影响必须考虑,概率模型,统计回归模型,马氏链模型,随机模型,确定性模型,随机性模型,传送带,挂钩,产品,工作台,工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，假设工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多.,背景,在生产进入稳态后，给出衡量,传送带效率,的指标，研究提高,传送带效率,的途径.,9.1 传送系统的效率,问题分析,进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假,定工人们的生产周期一样，即每人作完一件产品,后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产,品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这,件产品并立即投入下件产品的生产.,可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品,总数的,比例,，作为衡量传送带效率的数量指标,.,工人们生产周期虽然一样，但稳态下每人生产,完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机,的，并且在一个周期内任一时刻的可能性一样.,模型假设,1n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，,生产周期是常数；,2生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在,一个周期内是等可能的；,3一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台,的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；,4每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只,挂钩，假设这只挂钩是空的，那么可将产品挂上运走；,假设该钩非空，那么这件产品被放下，退出运送系统.,模型建立,定义传送带效率为一周期内运走的产品数记作s,待定与生产总数 n之比，记作 D=s /n,假设求出一周期内每只挂钩非空的概率p，那么 s=mp,为确定,s,，从,工人,考虑还是从,挂钩,考虑，哪个方便？,设每只挂钩为空的概率为q，那么 p=1-q,如何求概率,设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，那么 q=rn,设每只挂钩被一工人触到的概率为u，那么 r=1-u,u,=1/,m,p,=1-(1-1/,m,),n,D,=,m,1-(1-1/,m,),n,/,n,一周期内有,m,个挂钩通过每一工作台的上方,模型解释,假设(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 那么,传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比,定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比,提高效率的途径：,增加,m,习题,1,当,n,远大于,1时,E,n,/2,m,E,与,n,成正比，与,m,成反比,假设n=10, m=40,D87.5% (89.4%),),1,1,(,1,n,m,n,m,D,-,-,=,9.2 报童的诀窍,问题,报童售报：,a,(零售价),b,(购进价),c,(退回价),售出一份赚,a-b,；退回一份赔,b-c,每天购进多少份可使收入最大？,分析,购进太多,卖不完退回赔钱,购进太少,不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量.,每天需求量是随机的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,每天收入是随机的,存在一个合适的购进量,等于每天收入的期望,建模,设每天购进,n,份，,日平均收入为,G,(,n,),调查需求量的,随机规律,每天需求量为,r,的概率,f(r), r,=0,1,2,准备,求,n,使,G,(,n,),最大,售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,求解,将,r,视为连续变量,结果解释,n,P,1,P,2,取,n,使,a-b ,售出一份赚的钱,b-c ,退回一份赔的钱,0,r,p,9.3 随机存贮策略,问题,以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售.,(s, S) 存贮策略:下界s, 上界S，当周末库存小于s 时订货，使下周初的库存到达S; 否那么，不订货.,考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订s, S) 存贮策略,使(平均意义下)总费用最小.,模型假设,每次订货费,c,0,每件商品购进价,c,1,每件商品,一周贮存费,c,2,每件商品缺货损失费,c,3,(,c,1,c,3,).,每周销售量,r,为连续随机变量,概率密度,p,(,r,) .,周末库存量,x,订货量,u,周初库存量,x+u,.,每周贮存量按,x+u-r,计算,.,建模与求解,s, S) 存贮策略,确定,(,s, S,),使目标函数每周总费用的平均值最小,平均费用,订货费,c,0, 购进价,c,1, 贮存费,c,2, 缺货费,c,3, 销售量,r,s ,订货点，,S ,订货值,建模与求解,1设 xs, 求 u 使 J(u) 最小，确定S,建模与求解,S,P,1,P,2,0,r,p,2对库存 x，确定订货点s,若订货,u, u+x=S, 总费用为,若不订货,u,=0, 总费用为,订货点,s,是,的最小正根,建模与求解,不订货,最小正根的,图解法,J(u)在u+x=S处到达最小,x,I,(,x,),0,S,I,(,S,),s,I,(,S,),+c,0,I(x)在x=S处到达最小值I(S),I,(,x,)图形,建模与求解,J,(,u,)与,I,(,x,)相似,I,(,S,),的最小正根,s,9.4 轧钢中的浪费,轧制钢材两道工序,粗轧,(,热轧,) ,形成钢材的雏形,精轧,(,冷轧,) ,得到钢材规定的长度,粗轧,钢材长度正态分布,均值可以调整,方差由设备精度确定,粗轧钢材长度大于规定,切掉多余 局部,粗轧钢材长度小于规定,整根报废,随机因素影响,精轧,问题：如何调整粗轧的,均值,，使精轧的浪费最小.,背景,分析,设精轧后钢材的规定长度为 l， 粗轧后钢材长度的均方差为 .,记粗轧时可以调整的均值为 m，那么粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作 xN(m, 2).,切掉多余部分的概率,整根报废,的概率,存在最正确的m使总的浪费最小,l,P,0,p,(概率密度),m,x,P,m,P,P,建模,选择适宜的目标函数,切掉多余部分的浪费,整根报废的浪费,总浪费 =,+,粗轧一根钢材平均浪费长度,粗轧,N,根,成品材,PN,根,成品材长度,l PN,总长度,mN,共浪费长度,mN-lPN,直接方法,选择适宜的目标函数,粗轧一根钢材,平均浪费长度,得到一根成品材,平均浪费长度,更适宜的目标函数,优化模型：l , 求m 使J(m) 最小.,建模,粗轧,N,根得成品材,PN,根,略去常数,l,记,求解, 求 z 使J(z) 最小,求解,例,设,l,=2(米,),=20(厘米)，求,m,使浪费最小.,=,l,/=10,z,*,=,1.78,*,=,z,*,=11.78,m,*,=,*,=2.36(,米),求解,1.253,0.876,0.656,0.516,0.420,0.355,0,227.0,-3.0,0.5,56.79,-2.5,1.0,18.10,-2.0,1.5,7.206,-1.5,2.0,2.5,3.477,1.680,-1.0,-0.5,z,z,F,(,z,),F,(,z,),1.0,2.0,0,-1.0,-2.0,10,5,F,(,z,),z,轧钢中的浪费,模型假定: 粗轧钢材长度小于规定长度,l,整根报废,改为新的假定(习题8):,1.粗轧钢材长度在规定长度,l,1,l,内,降级使用,2.粗轧钢材长度小于规定长度,l,1,整根报废,在随机因素影响下过程有两种结果，其损失(或收益)各有不同，综合考虑来确定应采取的决策，在统计意义下使总损失最小(或总收益最大).,日常生产、生活中的类似问题：,9.5 随机人口模型,背景,一个人的出生和死亡是随机事件,一个国家或地区,平均生育率平均死亡率,确定性模型,一个家族或村落,出生概率死亡概率,随机性模型,对象,X,(,t,) 时刻,t,的人口, 随机变量.,P,n,(,t,) 概率,P,(,X,(,t,)=,n,),n,=0,1,2,研究,P,n,(,t,)的变化规律；得到,X,(,t,)的期望和方差,假设X(t)=n, 对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设,1) 出生一人的概率与,t,成正比，记,b,n,t,;出生二人及二人以上的概率为,o,(,t,).,2) 死亡一人的概率与,t,成正比，记,d,n,t,;死亡二人及二人以上的概率为,o,(,t,).,3) 出生和死亡是相互独立的随机事件.,b,n,与,n,成正比，记,b,n,=,n,出生概率,d,n,与,n,成正比，记,d,n,=,n,，,死亡概率,进一步假设,模型假设,建模,为得到,P,n,(,t,),P,(,X,(,t,)=,n,)的变化规律，考察,P,n,(,t+,t,) =,P,(,X,(,t +,t,)=,n,).,事件,X,(,t +,t,)=,n,的分解,X,(,t,)=,n,-1且,t,内出生一人,X,(,t,)=,n,+1且,t,内死亡一人,X,(,t,)=,n,且,t,内没有出生和死亡,其他(出生或死亡二人，出生且死亡一人，),概率,P,n,(,t+,t,),P,n-,1,(,t,),b,n-,1,t,P,n+,1,(,t,),d,n+,1,t,P,n,(,t,)(1-,b,n,t,-,d,n,t,),o,(,t,),一组递推微分方程,设t=0时人口为n0,转而求解,X,(,t,)的期望和方差,b,n,=,n，,d,n,=,n,t,0, 得,微分方程:,建模,求解困难且不必要,X,(,t,)的期望,求解,基本方程,n-,1,=k,n+,1,=k,求解,比较：确定性指数增长模型,X,(,t,)的方差,E,(,t,),-,(,t,),- = r,D,(,t,),E,(,t,),+,(,t,),E,t,0,n,0, ,D,(,t,),X(t)大致在 E(t)2(t) 范围内 (t) 均方差,r, 增长概率,r, 平均增长率,随机人口模型,这个随机模型得到的人口期望值的结果与最简单的,确定性指数增长模型,的结果 相对应.,如果建立与确定性阻滞增长模型相对应的随机模型,难以得到结果, 也不知道与确定性模型结果是否一致.,本模型更积极的意义是可以描述一般的,生灭过程, 如电梯的升降、各种排队系统等.,9.6,航空公司的预订票策略,预订票业务航空公司为争取客源开展优质效劳,问题,预先订票的乘客如果未能按时登机，可以乘坐下一,班机或退票，无需附加任何费用,.,假设公司限制预订票的数量等于飞机容量，由于会有订,了机票的乘客不按时来，致使飞机不满员而利润降低.,如果不限制预订票数量，假设持票按时来的乘客超过飞,机容量，必然引起不能走乘客的抱怨, 给公司带来损失 .,公司需要综合考虑经济利益和社会声誉，确定预订票,数量的最正确限额 .,问题分析,公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和,赔偿金后的利润来衡量,.,社会声誉可以用持票按时前来登机、但因满员不能,飞走的乘客被挤掉者限制在一定数量为标准.,随机因素预订票的乘客是否按时前来登机.,经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量.,两目标的优化,问题，决策变量是预订票数量的限额.,模型假设,1. 飞机,容量,n,，飞行,费用,r,(与乘客数量无关)，机票,价格,g=r/,n,，其中,(n)，每位乘客不按时前来,登机的概率p，“各位乘客是否按时前来相互独立;,3. 每位被挤掉者获得的,赔偿金,为常数,b,., =0.6 表示飞机到达60%满员率就不赔本,模型建立,1.,每次航班的,利润,s,=,机票收入,飞行费用,赔偿金,假设 m位预订票乘客中有k位不按时前来,(按时前来者不超过容量),(按时前来者超过容量),k,位乘客不按时前来的概率 (二项分布),平均利润,模型建立,2. 公司为维护社会声誉，要求被挤掉者不要太多，,用被挤掉者超过假设干人的概率作为度量指标 .,被挤掉者超过,j,人(,m,人中不按时前来的不超过,m,-,n,-,j,-1人 )的概率,给定n, j, 假设m= n+ j, 被挤掉的不会超过j, 即Pj(m)=0,假设mn+ j, Pj(m) 随m增加而单调增加,以,P,j,(,m,),不超过某个给定值为约束条件，以平均利润,S,(,m,),为单目标函数.,优化问题目标函数,模型求解,目标函数: 单位费用获得的平均利润,给定,n,p, b/g,(赔偿金占票价的比例), 求,m,使,J,(,m,)最大.,约束条件,容量,n, 预订票限额,m, 费用,r, 调节因子, 赔偿金,b,票价,g=r/,n, 不按时登机概率,p,(1) 给定,模型求解,m,J,(,m,),P,5,(,m,),P,10,(,m,),b/g,=0.2,b/g,=0.4,300,0.5833,0. 5833,0,0,302,0.5939,0.5939,0,0,304,0.6044,0.6044,0,0,306,0.6150,0.6150,0.0000,0,308,0.6254,0.6254,0.0000,0,310,0.6353,0.6351,0.0007,0,312,0.6439,0.6434,0.0066,0.0000,314,0.6503,0.6492,0.0341,0.0002,316,0.6540,0.6517,0.1123,0.0023,318,0.6551,0.6512,0.2612,0.0160,320,0.6543,0.6485,0.4630,0.0650,322,0.6523,0.6445,0.6666,0.1780,设,n,=300,=0.6,p,=0.05,J,(,m,)在最大值附近变化很小, 而概率,P,5,(,m,),和,P,10,(,m,)增加很快,应参考J(m)的最大值, 给定可以承受的, 确定适宜的m,b/g,由,0.2,至,0.4,J,(,m,),减少小于,2%,可取,b/g =,0.4, 以赢得声誉,给定,P,5,(,m,)0.2,P,10,(,m,) 0.05,316,0.6540,0.6517,0.1123,0.0023,取,m,=316,模型改进,乘客分为两类, 第一类实施上述预订票业务, 第二类降低票价, 购票时付款, 不按时前来登机那么机票作废.,设,m,张预订票中有,t,张是预售给第二类乘客的，其折扣票价为,g,(,1), 平均利润为,日常商务活动如旅店、汽车出租公司等也可以,采取类似的促销策略,.,9.7 学生作弊现象的调查和估计,背景,统计调查中会遇到因涉及个人隐私或利害关系而不受调查对象欢送或感到为难的所谓敏感问题, 如是否有考试作弊、赌博、偷税漏税等.,即使无记名调查也很难消除被调查者的顾虑, 极有可能拒绝或成心做出错误的答复, 难以保证数据的真实性, 使得调查结果存在很大的误差.,以对学生考试作弊现象的调查和估计为例,建立数学模型研究敏感问题的调查和估计方法,.,设计合理的调查方案来提高应答率, 降低不真实答复率, 尽量准确地估计有过作弊行为的学生所占的比例 .,美国统计学家Wanner1965年最早提出“随机化选答方法.,调查方案设计的根本思路,问题及分析,让被调查者从包含是否作过弊的假设干问题中, 随机地选答其中一个, 让调查者也并不知道被调查者答复的是哪一个问题, 以便消除被调查者的顾虑，对自己所选的问题真实作答.,Warner模型正反问题选答,设计两个相反的问题供学生们选答其中一个：,问题,A,. 你在考试中,作过弊,吗？,问题,B,. 你在考试中,没有作过弊,吗？,方案设计,选答规那么,准备一套13张同一花色的扑克(如红心).,被调查的学生随机抽取一张，看后复原.,学生抽取的是不超过10的数A看作1，那么答复以下问题A.,学生抽取的是J、Q或K，那么答复以下问题B.,Warner,模型,共n位被调查学生均独立作答.,被调查学生一旦选定应答复的问题, 他将真实作答.,选答A题的学生比例为 p.,对问题A，B两题选答“是的学生共n1位, 选答“是的比例(概率)的估计值为,模型假设,目的,估计有过作弊行为学生的比例,对问题A回答“是” (或对问题B回答“否”)的比例(概率),.,全概率公式,的估计值,Warner,模型,独立同分布,问题A回答“是” (或问题B回答“否”)的概率,对两题选答“是的概率,p,选答A题的概率,.,的性质及分析,无偏性,方差,方差分解,随机选答机制带来的方差.,Warner,模型,直接调查并真实回答下的方差(,p,=1, ),Warner模型的数值结果,n=400，A,B两题选答“是的学生数 n1=112，,p=10/13 ，,有作弊行为学生的比例的估计值,=0.091,估计的标准差,=0.042,以2倍标准差为估计标准, 有作弊行为学生的比例,Simmons模型 (无关问题选答,),Warner模型的缺陷,问题A与B均为敏感性问题，且,p,不能为1/2.,Simmons模型调查方案设计,设计供学生们选答的问题：,问题A. 你在考试中作过弊吗？,问题B. 你生日的月份是偶数吗？,无关(非敏感)问题,Simmons模型,模型假设, 学生对问题A答复“是的概率为 ，对问题B,答复“是的概率设为 =1/2., 学生中对问题A和B回答“是”的人数为,n,2,，,故对问题 A和B两问选答“是”的概率的估计值,为,目的,估计有过作弊行为学生的比例 ，即为对问题A答复“是 的概率,选答规那么与局部记号同Warner模型的假设.,全概率公式,的估计,Simmons模型,无偏性,方差,当 时的方差分解公式,直接调查并真实答复下的方差,随机选答机制带来的方差,Simmons 模型的数值结果,n,=400，,n,2,=80，,p,=10/13,，,有作弊行为学生的比例的估计值,估计的标准差,以2倍标准差为估计标准，有作弊行为学生的比例,Simmons模型,Simmons模型与Warner模型的精度比较,Simmons模型的估计精度比Warner模型的高.,对任意的,选答A题的学生比例 p一样,Warner模型,数值结果,Christofides模型2003,答复用数字替代 “是或“否, 以减少被调查者的顾虑.,准备工作,一套外形一样的卡片，每张卡片上写有1 L中某一数字，数字为k的卡片在卡片总数中所占的比例为pk (k=1,2,L), pk不全相等.,选答机制,被调查者随机抽取一张卡片，看后放回；,假设被调查者做过弊, 答复L+1与他抽取的数字之差 ；,假设被调查者未做过弊, 答复他抽取的数字 .,假设被调查者按照选答机制独立、真实作答.,估计有过作弊行为学生的比例,Christofides模型,Y,i,第,i,个被调查者抽到的数字,Y,i,独立同分布,Y,i,Z,i,独立.,第 i个被调查者所答复的数字,需要估计的概率,做过弊, 答复L+1与抽取数字之差 ；,未做过弊, 答复抽取的数字 .,选答机制,全概率公式,Christofides模型,的估计,调查数据,E,(,d,i,),无偏性,方差,方差分解,Christofides模型,直接调查并真实答复下的方差,随机选答机制带来的方差,Christofides模型的数值结果,被调查者答复1,2,6 的人数：176，96，40，40，28，20.,L,=6,调查结果,有作弊行为学生的比例的估计值,估计的标准差,以2倍标准差为估计标准，有作弊行为学生的比例,3种模型的比较,当,L,=2 时,选择适宜的参数 L与 pk ，可使Christofides 模型的估计精度比Simmons模型及Warner模型的高.,Warner模型,Christofides模型,当 p 一样时,Simmons模型优于Warner模型,3个模型的精度只需比较随机选答机制带来的方差大小,Warner,Simmons,Christofides,
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