理学线性代数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,理学线性代数,用高斯消元法求解麻烦！,寻找新工具便于用计算机求解,4,个黄豆模拟,绪论,一个应用：二次曲线和二次曲面的形状判定,线性代数的中心内容：,线性方程组求解,解的存在性,解的构造,由高斯消元法引入两个求解工具,行列式,矩阵,一个中心方法：,矩阵的初等行变换,一次方程,第一章 行列式,本章我们将讨论：,方程个数和未知数个数一样，且,系数满足特定条件的线性方程组的求,解，从而得到行列式这个工具.,本节构造,二阶行列式的引出,三阶行列式的引出,n,阶行列式的引出,四类特殊行列式计算,我们从最简单的二元方程组出发，探索其解的规律,一、 二阶行列式的引出,用高斯消元法求其解：,方程组有唯一解,请观察，此公式有何特点？,1、 分母一样，由方程组的四个系数确定.,2,、分子分母都是两数乘积之差,.,由四个数排成二行二列横排称行、竖排称列的数表,数,称为数表4所确定的,二阶行列式,记为,用二阶行列式表示两数乘积之差,二阶行列式定义,主对角线,副对角线,对角线法那么,二阶行列式的计算,行列式中的相关术语,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,对角线法那么,二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上二元素之积所得的差,系数行列式,于是,方程组有唯一解,例,1,解,二、三阶行列式的引出,进展高斯消元可以得到：,其中,三阶行列式定义,记,6式称为数表5所确定的三阶行列式.,三阶行列式的计算,例,2,解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,故方程组的解为,:,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的,.,对角线法那么,二阶与三阶行列式的计算,例,3,计算三阶行列式,1,-,2,-,3,2,2,4,-,4,1,-,2,D,=,按对角线法那么 有,解,4,6,32,4,8,24,(,4),2,(,3),(,4),(,2),4,D,1,2,(,2),2,1,(,3),1,1,4,2,(,2),(,2),14,例,4,求解方程,1,2,4,1,3,9,1,x,x,2,=,0,由,x,2,5,x,6,0,解得,解,方程左端的三阶行列式,x,2,5,x,6,D,3,x,2,4,x,18,9,x,2,x,2,12,x,2,或,x,3,例,5,解,设所求的二次多项式为,由题意得,又,得,故所求多项式为,D=,1,4,9,1,2,-3,1,1,1,=-,2,0,D,1,=,0,3,28,1,2,-3,1,1,1,=-,4,0,D,2,=60,D,3,=-20,三、,n,阶行列式的引出,由二元方程组两个变量、两个方程,求解得二阶行列式,由三元方程组三个变量、三个方程,求解得三阶行列式,由n 元方程组n 个变量、n 个方程,求解得,n,阶行列式,大胆猜测,当,时,是用,替换,而得,.,中,的第,i,列,但是四阶及以上阶行列式没有对角线法那么,-,正确求解线性方程组的解,说明,:,观察二阶与三阶行列式的计算,n阶行列式的计算原那么,共同特性之一是对角线法那么；,并试图推广到,n,阶行列式，,且能正确求解方程组,.,于是寻找二阶和三阶行列式计算的,其它共性,预备知识,-,全排列及其逆序数,采用先选定百位数,再选定十位数,最后选定个位数的步骤,引例,用,1,、,2,、,3,三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,百位数有,3,种选法,十位,数有,2,种选法,个位数有,1,种选法,因为,3,2,1,6,所以可组成,6,个没有重复数字的三位数,321,这,6,个三位数是,123,132,231,213,312,预备知识,-,全排列及其逆序数,元素的,全排列,把,n,个,不同,的元素排成一列，,叫做这,n,个,n,个不同元素的所有排列的总数,通常用,P,n,表示,P,n,的计算公式,P,n,n,(,n,1),(,n,2),3,2,1,n,!,举例,由,a,b,c,组成的所有排列为,cba,cab,bca,bac,acb,abc,abb,是排列吗,?,自然排列,假设一个排列中的所有元素按标准次序,排列，那么称之为标准排列或自然排列.,逆序数为奇数的排列叫做,奇排列,；,逆序数为偶数的排列叫做,偶排列,.,标准次序：由小到大的次序,时，,就说有一个,逆序,。,当某两个元素的先后次序与,标准次序不同,一个排列中的所有逆序的总数,叫做这个,排列的逆序数,.,例如排列,54231,t=9,5,前面比,5,大的数有,0,个；,4,前面比,4,大的数有,1,个；,2,前面比,2,大的数有,2,个；,3,前面比,3,大的数有,2,个；,1,前面比,1,大的数有,4,个,.,t=0+1+2+2+4=9,5 4 2 3 1,观察二阶行列式,不同行不同列,2,个元素的乘积；,1,项为正,1,项为负；,2,！项的代数和；,观察二阶行列式,当行标调成标准排列时,列标排列,逆序数,t,1 2,2 1,0,+,-,1,观察三阶行列式,3!,项代数和,不同行不同列,三个元素的乘积,三项为正,三,项为负,.,观察三阶行列式,当行标调成标准排列时,列标排列,逆序数,t,123,0,+,231,2,+,312,2,+,321,3,-,213,1,-,132,1,-,n,阶行列式定义,将n2个数排成n行n列的数表，按以下规,称为,n,阶行列式,其中,t,为列标排列的逆序数。,那么计算出的数，即,n,阶行列式定义的三个要点,1是n!项的代数和；,如果一个行列式有一行或一列的元素,全为零，那么此行列式的值必为零。,2每一项的符号由逆序数的奇偶性确定；,3每一项为哪一项取自不同行不同列的n个元素的乘积这样的项恰有n!项.,由行列式的定义不难看出：,四、思考与讨论,=,-24,or,24,?,例,1,证明行列式,上三角形、下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上,n,个元素的乘积,解,因为它的列标排列为标准排列,其逆序数为,0,所以在它前面带有正号,要使取自不同行不同列的,n,个元素的乘积不为零,第一行只能取,a,11,第二行只能取,a,22,第三行只能取,a,33,第,n,行只能取,a,nn,乘积项只有一个,即,a,11,a,22,a,33,a,nn,因此,D,a,11,a,22,a,33,a,nn,解,假设记iai ni1 那么依行列式定义,(,1),t,a,1,n,a,2,n,1,a,n,1,其中,t,为排列,n,(,n,1),21,的逆序数,故,t,0,1,2,(,n,1),例,2,证明,n,阶行列式,因此,(,1),t,1,2,n,n,阶行列式也可以定义为：,行标,逆序,小结,二阶行列式,三阶行列式,n,阶行列式,四类特殊行列式计算,谢谢,