隐函数定理及其应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第18章 隐函数定理及其应用,1 隐函数,一、 隐函数概念,下面看隐函数的例子.,二、隐函数存在性条件的分析,三、隐函数定理,A,B,A +B,P,0,A,B,A +B,P,0,例1,.,验证方程,在点,(0,0),某邻域,可,确定一个,单值可导隐函数,解,:,令,则,并求,连续,由 定理可知,导的隐函数,在,x =,0,的某邻域内方程存在单值可,且,两边对,x,求导,两边再对,x,求导,令,x,= 0,注意此时,导数的另一求法,利用隐函数求导,例2,.,设,解法,1,利用隐函数求导,再对,x,求导,解法2,利用公式,设,则,两边对,x,求偏导,作业,：,P151, 1,2 , 3(2)(5), 5.,四、隐函数问题举例(自练),2 隐函数组,一、 隐函数组概念,二、隐函数组定理,例2.,设,解:,方程组两边对,x,求导，并移项得,求,练习,:,求,答案,:,由题设,故有,三、反函数组与坐标变换,作业,：,P157, 1, 2(2), 3(1), 6.,3 几何应用,因本节讨论的曲线和曲面的方程以隐函数(组)给出，故在求它们的切线(或切平面)时都要用到隐函数(组)的微分法。,一、 平面曲线的切线与法线,例,:,求,x,2,+y,2,=4,在,(2,2),处的切线,.,二、 空间曲线的切线与法平面,所求切线方程为,法平面方程为,三、 曲面方程的切平面与法线,解,令,切平面方程,法线方程,作业,：,P163, 2(2), 3(1), 5, 7.,4 条件极值,一、 条件极值的概念,以前所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域。但是，另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制。,这种附有约束条件的极值问题称为,条件极值问题,，不带约束条件的极值问题称为,无条件极值问题,。,二、 拉格朗日乘数法,过去把条件极值问题化为无条件极值问题,.,例如,上述水箱设计问题,.,这样就把条件极值问题,(4),、,(5),转化为函数,(10),的无条件极值问题，这种方法称为,拉格朗日乘数法,。,(10),中的函数,L,称为,拉格朗日函数,，辅助变量,称为,拉格朗日乘数,。,三、 例题,解,则,练习,2,解,得,小结,：,条件极值的概念；,拉格朗日乘数法的推导和理论；,拉格朗日乘数法的应用,(,解决条件极值问题,):,极值、最值、不等式,典型例题。,作业,：,P169, 1(3), 2(1), 3(1), 4(,提示:仿例3,).,“第,18,章 隐函数定理及其应用”的习题课,一、内容要求,1,、了解隐函数的概念，理解隐函数存在唯一性定理、可微性定理，掌握隐函数的求导法,2,、了解隐函数组的概念，理解隐函数组定理、掌握求导法，了解反函数定理与坐标变换,3,、会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与与法平面，曲面的切平面与法线,4,、会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题,(,极值、最值、不等式,),二、作业问题,P151,，,1,，,2,；,P158,，,6,三、练习,参考：,P157,，,例,4,.,11 设三个正数的和恒为常数，问它们取何值时其乘积最大？,