概率论-第6章-样本及抽样分布

,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,概率论与数理分析,第六章 样本及抽样分布,1,随机样本,2,直线图和箱线图,3,抽样分布,引言,随机变量,及其所伴随的概率分布全面描述了随机,现象的统计性规律。,概率论,的许多问题中，随机变量的概率分布通常,是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都,是在这已知是基础上得出来的。,但,实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所,服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概,型，但是其中的某些参数是未知的。,1,随机样本,例如：,某公路上行驶车辆的速度服从什么,分布是未知的,；,电视机的使用寿命服从什么,分布是未知的,；,产品是否合格服从两点分布，但参数,合格率,p,是,未知的；,数理统计,的任务则是,以概率论为基础，根据试验,所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合,理的推断。,1,随机样本,一、总体与个体,1.,总体,试验的全部可能的观察值称为总体,.,2.,个体,总体中的每个可能观察值称为个体,.,例,1,在,研究,2 000,名学生,的年龄时,这些学生的年龄的全体就构成一个总体,每个学生,的年龄就是个体,.,1,随机样本,3.,容量,总体中所包含的个体的个数称为总体的容量,.,4.,有限总体和无限总体,容量为有限的称为有限总体,.,容量为无限的称为无限总体,.,产的灯泡寿命,.,某工厂,10,月份生产的灯泡寿命所组成的总,个体的总数就是,10,月份生产的灯泡数,个有限总体,;,例,2,体中,这是,而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成,的总体是一个无限总体,它包括以往生产和今后生,1,随机样本,所形成的总体中共含,2 000,个,例,3,在考察某大学一年级男生的身高这一试,试验中，,若一年级男生共,2 000,人，,每个男生的身高,是一个可能观察值，,可能观察值，,是一个有限总体,.,总体也是有限总体,.,例,4,考察某一湖泊中某种鱼的含汞量，,所得,1,随机样本,我们可以认为,有些有限总体，,它的容量很大,它是一个无限总体,.,例,5,考察全国正在使用的某种型号灯泡的,寿,可以认为是无限总体,.,命,所形成的总体,由于可能观察值的个数很多,就,1,随机样本,因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来,.,我们关心的是总体中的个体的某项指标,(,如人的身高、灯泡的寿命,汽车的耗油量,),.,由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性,.,从而,可以把这种数量指标看作一个随机变量,X,，因此随机变量,X,的分布就是该数量指标在总体中的分布,.,总体就可以用一个随机变量及其分布来描述,.,1,随机样本,5.,总体分布,例如,:,研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量,X,表示，或用其分布函数,F,(,x,),表示,.,某批,灯泡的寿命,总体,寿命,X,可用一概率,（指数）分布来刻划,鉴于此，常用随机变量的记号,或用其分布函数表示总体,.,如,说总体,X,或总体,F,(,x,) .,1,随机样本,类似地，在研究某地区中学生的营养状况时 ，若关心的数量指标是身高和体重，我们用,X,和,Y,分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量,(,X,Y,),或其联合分布函数,F,(,x,y,),来表示,.,统计,中，总体这个概念的要旨是：,总体就是一个随机变量,(,向量,),或一个,概率分布,.,1,随机样本,X,的分布函数和数字特征就称为,总体的分布,函数和数字特征,.,今后将不区分总体与相应的随机,变量,.,参数为,p,的（,0-1,）,分布：,例如，,我们检验自生产线出来的零件是次品还,是正品，,以,0,表示产品是正品，,以,1,表示产品为次品,.,的随机变量,.,设出现次品的频率,为,p,（常数），,那么总体是由一,些,“,0”,和一些,“,1”,所组成，,这一总体对应于一个具有,1,随机样本,根据获得的数据来对总体分布得出,在数理统计中,人们,都是通过从总体中抽取,一部分个体,被抽出的部分个体叫做总体的一个样本,.,判断的,.,所谓从总体抽取一个个体,就是对总体,X,进行,一次观察并记录其结果,.,1,随机样本,二、随机样本的定义,1.,样本的定义,1,随机样本,2.,简单随机抽样的定义,获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样,.,1,随机样本,解,例,7,1,随机样本,解,例,8,1,随机样本,1,随机样本,三、小结,个体 总体,有限总体,无限总体,基本概念,:,统称为总体,X,.,说明,2,随机样本,一个总体对应一个随机变量,X,说明,1,我们将不区,分总体和相应的随机变量,在实际中遇到的总体往往是有限总体,它,个数很大时,在理论上可认为它是一个无限总体,.,对应一个,离散型,随机变量,;,当总体中包含的个体的,1,随机样本,男子的头颅的最大宽度,（,mm,），,141,148,132,138,154,142,150,146,155,158,150,140,147,148,144,150,149,145,149,158,143,141,144,144,126,140,144,142,141,140,145,135,147,146,141,136,140,146,142,137,148,154,137,139,143,140,131,143,141,149,148,135,148,152,143,144,141,143,147,146,150,132,142,142,143,153,149,146,149,138,142,149,142,137,134,144,146,147,140,142,140,137,152,145,一、直方图,例,1,下面给出了,84,个伊特拉斯坎,（,Etruscan,）,人,数据的,“频率直方图”,.,现在来画这些,2,直方图和箱线图,步骤：,1.,找出最小值,126,，,最大值,158,，,现取区间,124.5,159.5,；,2.,将区间,124.5,，,159.5,等分为,7,个小区间，,3.,小区间的端点称为组限,数出落在每个小区,2,直方图和箱线图,列表如下：,组 限,频 数,频 率,累计频率,124.5129.5,1,0.0119,0.0119,129.5134.5,4,0.0476,0.0595,134.5139.5,10,0.1191,0.1786,139.5144.5,33,0.3929,0.5715,144.5149.5,24,0.2857,0.8572,149.5154.5,9,0.1071,0.9524,154.5159.5,3,0.0357,1.0000,这样的图形叫频率直方图,.,2,直方图和箱线图,2,直方图和箱线图,频率直方图,二、箱线图,定义,2,直方图和箱线图,综上，,2,直方图和箱线图,2,直方图和箱线图,例,2,设有一组容量为,18,的样本如下（已经排过序）,122 126 133 140 145 145 149 150 157,解,162 166 175 177 177 183 188 199 212,2,直方图和箱线图,2,直方图和箱线图,数据集的箱线图是由箱子和直线组成的图形，,它是基于以下五个数的图形概括：,2,直方图和箱线图,在同一水平,高度自箱子右侧引一条水平线直至最大值,.,2,直方图和箱线图,以下是,8,个病人的血压（收缩压，,mmHg,）数,解,故,例,3,试作出箱线图,.,据（已经过排序 ），,102 110 117 118 122 123 132 150,2,直方图和箱线图,故,故,作出箱线图如图所示,.,2,直方图和箱线图,例,4,量（以升计,.,数据应经过排序）,女子组,2.7 2.8 2.9 3.1 3.1 3.1 3.2 3.4 3.4,男子组,4.1 4.1 4.3 4.3 4.5 4.6 4.7 4.8 4.8,试分别画出这两组数据的箱线图,.,下面分别给出了,25,个男子和,25,个女子的肺活,3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.5 3.6 3.7 3.7,3.7 3.8 3.8 4.0 4.1 4.2 4.2,5.1 5.3 5.3 5.3 5.4 5.4 5.5 5.6 5.7,5.8 5.8 6.0 6.1 6.3 6.7 6.7,2,直方图和箱线图,解,女子组,男子组,作出箱线图如（教材,P134,）图,6-4,所示,.,2,直方图和箱线图,在数据集中，,称为,四分位数间距,.,某一个观察值不寻常地大于或,小于该数据集中的其他数据，,称为,疑似异常值,.,疑似异常值,2,直方图和箱线图,修正箱线图,自箱子左侧引一水平线段直至数据集中,又自箱子右侧引一,除去疑似异常值后的最小值，,水平线直至数据集中除去疑似异常值后的最大值,.,2,直方图和箱线图,例,5,下面给出了某医院,21,个病人的住院时间（以,1 2 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 9,解,试画出修正箱线图（数据已经过排序）,.,天计），,10 12 12 13 15 18 23 55,2,直方图和箱线图,故,55,是疑似异常值，,且仅此一个疑,疑似异常值,.,作出修正箱线图如（教材,P135,）图,6-5,所示,.,2,直方图和箱线图,1.,频率直方图作图步骤,(1),找出最小值和,最大值,，,(2),将选定区间分为,k,个小区间；,三、小结,2,直方图和箱线图,高度自箱子右侧引一条水平线直至最大值,.,2.,箱线图,作图步骤,2,直方图和箱线图,一、基本概念,1.,统计量的定义,3,抽样分布,是,不是,实例,1,3,抽样分布,2.,几个常用统计量的定义,(1),样本平均值,(2),样本方差,其观察值,3,抽样分布,其观察值,(3),样本标准差,其观察值,3,抽样分布,(4),样本,k,阶,(,原点,),矩,其观察值,(5),样本,k,阶中心矩,其观察值,3,抽样分布,证明,再根据第五章辛钦定理知,由以上定义得下述结论,:,3,抽样分布,由第五章关于依概率收敛的序列的性质知,由第五章关于依概率收敛的序列的性质知,以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理,论根据,.,3,抽样分布,3.,经验分布函数,经验分布函数的做法如下,:,3,抽样分布,实例,3,抽样分布,实例,3,抽样分布,一般地，,3,抽样分布,格里汶科定理,3,抽样分布,二、常见分布,统计量的分布称为抽样分布,.,自由度是指,上式,右端包含的独立变量的个数,.,3,抽样分布,证明,3,抽样分布,3,抽样分布,性质,1,(,此性质可以推广到多个随机变量的情形,. ),3,抽样分布,性质,2,证明,3,抽样分布,3,抽样分布,根据正态分布的对称性知,例,1,3,抽样分布,附表,5,只详列到,n,=40,为止,.,例,2,3,抽样分布,例如,利用上面公式,而查详表可得,费舍尔,(,R.A.Fisher,),证明,:,3,抽样分布,例,3,解,根据正态分布的性质,3,抽样分布,3,抽样分布,3,抽样分布,t,分布又称学生氏,(Student),分布,.,2.,3,抽样分布,形,.,当,n,充分大时,其图,形类似于标准正态,变量概率密度的图,3,抽样分布,由分布的对称性知,3,抽样分布,例,4,3,抽样分布,3.,3,抽样分布,3,抽样分布,根据定义可知,3,抽样分布,例,5,3,抽样分布,证明,3,抽样分布,3,抽样分布,4.,正态总体的样本均值与样本方差的分布,定理一,3,抽样分布,定理二,3,抽样分布,证明,由,t,分布的定义知,定理三,且两者独立,3,抽样分布,定理四,3,抽样分布,3,抽样分布,证明,(1),由定理二,3,抽样分布,(2),3,抽样分布,3,抽样分布,解,例,6,3,抽样分布,查标准正态分布表知,3,抽样分布,解,例,7,3,抽样分布,3,抽样分布,3,抽样分布,三、小结,两个最重要的统计量,:,样本均值,样本方差,三个来自正态分布的抽样分布,:,3,抽样分布,