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,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,12.3,幂级数,第十二章,一、 函数项级数的概念,设,为定义在区间,I,上的,函数项级数,.,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其,收敛域,;,若常数项级数,为定义在区间,I,上的函数,称,收敛,发散,所有,为其,收,为其,发散点,发散点的全体称为其,发散域,.,为级数的,和函数,并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前,n,项的和,即,在收敛域上,函数项级数的和是,x,的函数,称它,例如,等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,有和函数,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为,幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如,幂级数,为幂级数的,系数,.,即是此种情形,.,的情形,即,称,(1),因为只要令,则,(1),成为,收敛域,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,定理,1.,( Abel,定理,),若幂级数,则对满足不等式,的一切,x,幂级数都绝对收敛,.,反之,若当,的一切,x,该幂级数也发散,.,时该幂级数发散,则对满足不等式,证,:,收敛,则必有,于是存在,常数,M, 0,使,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛,.,也收敛,反之,若当,时该幂级数发散,下面用反证法证之,.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛,面的证明可知,级数在点,故假设不真,.,的,x,原幂级数也,发散,.,时幂级数发散,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,幂级数在,(, +),收敛,;,由,Abel,定理可以看出,中心的区间,.,用,R,表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R,= 0,时,幂级数仅在,x,= 0,收敛,;,R,=,时,幂级数在,(,R,R,),收敛,;,(,R,R,),加上收敛的端点称为,收敛域,.,R,称为,收敛半径,，,在,R,R,可能收敛也可能发散,.,外发散,;,在,(,R,R,),称为,收敛区间,.,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,定理,2.,若,的系数满足,证,:,1),若,0,则根据比值审敛法可知,:,当,原级数收敛,;,当,原级数发散,.,即,时,1),当,0,时,2),当,0,时,3),当,时,即,时,则,2),若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3),若,则对除,x,= 0,以外的一切,x,原级发散,对任意,x,原级数,因此,因此,的收敛半径为,说明,:,据此定理,因此级数的收敛半径,记下来,!,比值判别法成立,根值判别法成立,对端点,x =,1,的收敛半径及收敛域,.,解,:,对端点,x =,1,级数为交错级数,收敛,;,级数为,发散,.,故收敛域为,例,1.,求幂级数,例,2.,求下列幂级数的收敛域,:,解,:,(1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在,x =,0,处收敛,.,例,3.,的收敛半径,.,解,:,级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理,2,比值审敛法求收敛半径,.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,例,4.,的收敛域,.,解,:,令,级数变为,当,t,= 2,时,级数为,此级数发散,;,当,t,= 2,时,级数为,此级数条件收敛,;,因此级数,(2),的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,(2),三、幂级数的运算,定理,3.,设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有,:,其中,以上结论可用部分和的极限证明,.,*,说明,:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多,.,例如,设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,定理,4,若幂级数,的收敛半径,(,证明略,),则其和函,在收敛域上,连续,且在收敛区间内可,逐项求导,与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同,:,注,:,逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变,.,通过逐项求导和逐项积分,目的,是,转化幂级数为,等比级数,这样可方便求和,.,例,5.,求级数,的和函数,解,:,易求出幂级数的收敛半径为,1 ,收敛,x=,1,时级数发散,因此由和函数的连续性得,:,而,解,:,由例,2,可知级数的收敛半径,R,+.,例,6.,则,故得,的和函数,.,因此得,设,例,7.,解,:,构造幂级数,显然收敛域为,-1,1),求,的和,.,设和函数为,内容小结,1.,求幂级数收敛域的方法,1),对标准型幂级数,先求收敛半径,再讨论端点的收敛性,.,2),对非标准型幂级数,(,缺项或通项为复合式,),求收敛半径时直接用,比值法,或,根值法,2.,幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可通过,换元,化为标准型再求,.,乘法运算,.,2),在收敛区间内幂级数的和函数连续,;,3),幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分,.,思考与练习,1.,已知,处条件收敛,问该级数收敛,半径是多少,?,答,:,根据,Abel,定理可知,级数在,收敛,时发散,.,故收敛半径为,2.,在幂级数,中,n,为奇数,n,为偶数,能否确定它的收敛半径不存在,?,答,:,不能,.,因为,当,时级数收敛,时级数,发散,说明,:,可以证明,比值判别法成立,根值判别法成立,(,为什么,?),P277 1 (1), (3), (5), (7), (8),2 (1), (3),P323 7 (1), (4),8 (1), (3),作业,备用题,:1,的和函数,解,:,易求出幂级数的收敛半径为,1 ,x,1,时级数发,散,或,所以,
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