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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.,理解平面向量数量积的含义及其物理意义,.,2.,了解平面向量的数量积与向量投影的关系,.,3.,掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向,量数量积 的运算,.,4.,能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数,量积判断两个平 面向量的垂直关系,.,5.,会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,.,6.,会用向量方法解决简单的力学问题与其他一,些实际问题,.,1.,两个向量的夹角,(1),定义和范围,(2),两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件,思考探究,1,在,ABC,中，设 ,a,， ,b,，则,a,与,b,的夹角为,ABC,吗？,提示：,不是,.,求两向量的夹角时，两向量的起点应相同，向量,a,与,b,的夹角为,ABC,.,2.,平面向量的数量积,3.,与平面向量的数量积有关的结论,已知,a,(,x,1,，,y,1,),，,b,(,x,2,，,y,2,),思考探究,2,若,a,b,，则,a,与,b,的数量积有何特点？,提示：,若,a,b,，则,a,与,b,的夹角为,0,或,180,，,a,b,|,a,|,b,|,或,a,b,|,a,|,b,|.,1.,已知,a,(1,，,2),，,b,(5,8),，,c,(2,3),，则,a,(,bc,),(,),B.(34,，,68),C.,68 D.(,34,68),解析：,a,(,bc,),(1,，,2)(52,83),(34,，,68).,答案：,B,2.,平面向量,a,与,b,的夹角为,60,，,a,(2,0),，,|b|,1,，则,|a,2b|,(,),A. B.,解析：,|a|,2,，,|a,2b|,2,(a,2b),2,a,2,4ab,4b,2,4,421cos60,41,2,12,，,|a,2b|,.,答案：,B,3.,已知,|,a,|,1,，,|,b,|, ，且,a,(,a,b,),，则向量,a,与向量,b,的夹角是,(,),A.30 B.45,C.90 D.135,解析：,设向量,a,与,b,的夹角为,，,由,a,(,a,b,),，得,a,(,a,b,),0,，即,|,a,|,2,ab,0,，,|,a,|,b,|cos,|,a,|,2,，,cos,45.,答案：,B,4.,已知向量,a,(3,2),，,b,(,2,1),，则向量,a,在,b,方向上的,投影为,.,解析：,ab,|,a,|,b,|cos,a,，,b,，,|,a,|cos,a,，,b,答案：,5.,若,b,(1,1),，,ab,2,，,(,a,b,),2,3,，则,|,a,|,.,解析：,(,a,b,),2,3,，,|,a,|,2,|,b,|,2,2,ab,3,，,|,a,|,2,2,4,3,，,|,a,|,2,5,，,|,a,|,.,答案：,1.,向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式,ab,|,a,|,b,|cos,来计算，二是利用,a,b,x,1,x,2,y,1,y,2,来计算，,具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注,意数量积运算律的应用,.,2.,利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握,此类问题的处理方法：,(1)|,a,|,2,a,2,aa,；,(2)|,a,b,|,2,(,a,b,),2,a,2,2,a,b,b,2,.,已知,|,a,|,3,，,|,b,|,4,，,a,与,b,的夹角为 ，求：,(1)(3,a,2,b,),(,a,2,b,),；,(2)|,a,b,|.,思路点拨,课堂笔记,(1),ab,|a|b|,cos,34(,),6 .,a,2,3,2,9,，,b,2,16.,(3,a,2,b,)(,a,2,b,),3,a,2,8,ab,4,b,2,39,8(,6 ),64,91,48 .,(2)|,a,b,|,2,(,a,b,),2,a,2,2,ab,b,2,9,2(,6 ),16,25,12 .,|,a,b,|,若将例题已知条件改为,“,已知,a,(3,，,4),，,b,(2,1)”,，试解决上述问题,.,解：,(1),a,(3,，,4),，,b,(2,1),，,3,a,2,b,(9,，,12),(4,2),(5,，,14),，,a,2,b,(3,，,4),(4,2),(,1,，,6).,(3,a,2,b,)(,a,2,b,),(5,，,14)(,1,，,6),5(,1),(,14)(,6),5,84,79.,(2),a,b,(3,，,4),(2,1),(5,，,3),，,|,a,b,|,已知,a,与,b,为不共线向量，且,a,与,b,的夹角为,，则,(1),ab,0,0,90,；,(2),ab,0,90,；,(3),ab,0,90,180.,特别警示,在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线,.,已知,|,a,|,1,，,a,b, ，,(,a,b,)(,a,b,), ，,求：,(1),a,与,b,的夹角；,(2),a,b,与,a,b,的夹角的余弦值,.,思路点拨,课堂笔记,(1),(,a,b,)(,a,b,), ，,|,a,|,2,|,b,|,2, ，,又,|,a,|,1,，,|,b,|,设,a,与,b,的夹角为,，则,cos,45.,(2),(,a,b,),2,a,2,2,a,b,b,2,1,2,|,a,b,|,.,(,a,b,),2,a,2,2,a,b,b,2,1,2,|,a,b,|, ，设,a,b,与,a,b,的夹角为,，,则,cos,1.,证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行,(,共线,),的充要条件：,a,b,a,b,x,1,y,2,x,2,y,1,0(,b,0).,2.,证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：,a,b,a,b,0,x,1,x,2,y,1,y,2,0.,已知平面内,A,、,B,、,C,三点在同一条直线上， ,(,2,，,m,),， ,(,n,1),， ,(5,，,1),，且 ，求实数,m,，,n,的值,.,思路点拨,课堂笔记,由于,C,、,A,、,B,三点在同一条直线上， 则,而 ,(7,，,1,m,),，,(,n,2,1,m,),，,7(1,m,),(,1,m,)(,n,2),0,， ,又 ,2,n,m,0,， ,联立解得,平面向量的数量积是高考重点考查的内容，直接考查的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，向量的夹角与模等，主要以选择题、填空题的形式出现,.,而近几年平面向量与函数、解析几何、三角函数相结合的题目在高考试题中屡见不鲜，并成为高考对本节内容考查的一个新方向,.,考题印证,(2009,湖南高考,)(12,分,),已知向量,a,(sin,，,cos,2sin,),，,b,(1,2).,(1),若,a,b,，求,tan,的值；,(2),若,|,a,|,|,b,|,0,，求,的值,.,【,解,】,(1),因为,a,b,，所以,2sin,cos,2sin,，于是,4sin,cos,，故,tan, ,(4,分,),(2),由,|,a,|,|,b,|,知，,sin,2,(cos,2sin,),2,5,，,所以,1,2sin2,4sin,2,5.,从而,2sin2,2(1,cos2,),4,，即,sin2,cos2,1,，于是,sin(2,),.,(8,分,),又由,0,知， ,2, ，所以,2, ，或,2, ,.,因此, ，或,.,(12,分,),自主体验,已知,ABC,的角,A,、,B,、,C,所对的边分别是,a,、,b,、,c,，设向量,m,(,a,，,b,),，,n,(sin,B,，,sin,A,),，,p,(,b,2,，,a,2).,(1),若,m,n,，求证：,ABC,为等腰三角形；,(2),若,m,p,，边长,c,2,，角,C, ，求,ABC,的面积,.,解：,(1),证明：,m,n,，,a,sin,A,b,sin,B,，,即,a,b,，其中,R,是三角形,ABC,外接圆半径，,a,b,.,ABC,为等腰三角形,.,(2),由题意可知,m,p,0,，,即,a,(,b,2),b,(,a,2),0.,a,b,ab,.,由余弦定理可知，,4,a,2,b,2,ab,(,a,b,),2,3,ab,，,即,(,ab,),2,3,ab,4,0,，,ab,4(,舍去,ab,1),，,S,ab,sin,C,4sin,1.(2009,宁夏、海南高考,),已知,a,(,3,2),，,b,(,1,0),，向,量,a,b,与,a,2,b,垂直，则实数,的值为,(,),解析：,a,(,3,2),，,b,(,1,0).,a,b,(,1,3,，,2,),，,a,2,b,(,1,2).,a,b,与,a,2,b,垂直，,(,a,b,)(,a,2,b,),0,，,(,1,3,)(,1),2,2,0,，,解得,.,答案：,A,2.,在,ABC,中，,M,是,BC,的中点，,AM,1,，点,P,在,AM,上且满,足 则 等于,(,),解析：,M,为,BC,中点，得,又,P,为,AM,的 等分点，,答案：,A,3.,已知在,ABC,中，若,则,ABC,是,(,),A.,等边三角形,B.,锐角三角形,C.,直角三角形,D.,钝角三角形,解析：,由,ABC,是直角三角形,.,答案：,C,4.,已知向量,a,与,b,的夹角为,120,，,|,a,|,1,，,|,b,|,3,，则,|5,a,b,|,.,答案：,7,解析：,|5,a,b,|,2,25|,a,|,2,|,b,|,2,10,a,b,25,9,1013(,),49.,|5,a,b,|,7.,5.,已知向量,a,(2,，,1),，,b,(,x,，,2),，,c,(3,，,y,),，若,a,b,，,(,a,b,),(,b,c,),，,M,(,x,，,y,),，,N,(,y,，,x,),，则向量,的模为,.,解析：,a,b,，,x,4,，,b,(4,，,2),，,a,b,(6,，,3),，,b,c,(1,，,2,y,),；,(,a,b,),(,b,c,),，,(,a,b,)(,b,c,),0,，即,6,3(,2,y,),0,，,y,4,，故向量,(,8,8),， ,8 .,答案：,8,6.,已知,a,、,b,、,c,是同一平面内的三个向量，其中,a,(1,2).,(1),若,|,c,|,2,，且,c,a,，求,c,的坐标；,(2),若,|,b,|, ，且,a,2,b,与,2,a,b,垂直，求,a,与,b,的夹角,.,解：,(1),设,c,(,x,，,y,),，由,c,a,和,|,c,|, 可得：,c,(2,4),或,c,(,2,，,4).,(2),(,a,2,b,),(2,a,b,),，,(,a,2,b,)(2,a,b,),0,，即,2,a,2,3,a,b,2,b,2,0,，,2|,a,|,2,3,a,b,2|,b,|,2,0,，,25,3,a,b,2,0,，,a,b, ,cos, ,1,，,0,，,，,.,
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