桁架求解的几种方法

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,Page,*,单击此处编辑母版标题样式,静定平面桁架,本章内容,桁架的特点及分类，结点法、截面法及其联合应用，,对称性的利用，几种梁式桁架的受力特点，组合结构的,计算。,目的要求,1.,了解桁架的受力特点及其分类。,2.,熟练运用结点法和截面法计算桁架内力。,3.,掌握组合结构的计算方法。,平面桁架计算简图,1.,特点及组成,所有结点都是铰结点，在结点荷载作用下，各杆内,力中只有轴力。截面上应力分布均匀，可以充分发挥材,料的作用。因此，桁架是大跨度结构中常用的一种结构,形式。在桥梁及房屋建筑中得到广泛应用。,图,5-1,2,计算简图中引用的基本假定,（,1,）桁架中的各结点都是光滑的理想铰结点。,（,2,）各杆轴线都是直线，且在同一平面内并通过铰的中心。,（,3,）荷载及支座反力都作用在结点上且在桁架平面内。,上述假定，保证了桁架中各结点均为铰结点，各杆内只有,轴力，都是二力杆。符合上述假定的桁架，是理想桁架。实,际桁架与上述假定是有差别的。如钢桁架及钢筋混凝土桁架,中的结点都具有很大的刚性。此外，各杆轴线也不可能绝对,平直，也不一定正好都过铰中心，荷载也不完全作用在结点,上等等。但工程实践及实验表明，这些因素所产生的应力是,次要的，称为,次应力,。按理想桁架计算的应力是主要的，称,为,主应力,。本节只讨论产生主应力的内力计算。,3,名词解释,桁架的杆件按其所在位置,分为,弦杆,和,腹杆,。弦杆又分,为,上弦杆,和,下弦杆,腹杆也分,为,斜杆,和,竖杆,，如图,5-3,所,示。两支座之间的水平距离,l,称为,跨度,，支座联线至桁架,最高点的距离,H,称为,桁高,。,弦杆上相邻两结点之间的区,间称为,节间,，其间距,d,称为,节,间长度,。,图,5-3,4,桁架的分类：,(1),按几何外形分,1,） 平行弦桁架、,2,） 折弦桁架、,3,） 三角形桁架，分别,如图,5-4(a),、,(b),、,(c),所示。,(2),按有无水平支座反力分,1,）梁式桁架 如图,5-4(a),、,(b),、,(c),所示。,2,）拱式桁架 如图,5-4(d),所示。,(3),按几何组成分,1),简单桁架 由一个基本铰结三角形开始，依次增加二元,体组成的桁架，如图,5-4(a),、,(b),、,(c),所示。,2),联合桁架 由几个简单桁架按几何不变体系的简单组成,规则而联合组成的桁架，如图,5-4(d),、,(e),所示。,3),复杂桁架 不属前两种方式组成的其他桁架，如图,5-4(f),所示。,图,5-4,5-2,结点法,桁架计算一般是先求支座反力后计算内力。计算内力时,可截取桁架中的一部分为隔离体，根据隔离体的平衡条件,求解各杆的轴力。如果截取的隔离体包含两个及以上的结,点，这种方法叫,截面法,。如果所取隔离体仅包含一个结,点，这种方法叫,结点法,。,当取某一结点为隔离体时，由于结点上的外力与杆件内,力组成一平面汇交力系，则独立的平衡方程只有两个，即,F,x,=0,，,F,y,=0,。可解出两个未知量。因此，在一般情况,下，用结点法进行计算时，其上的未知力数目不宜超过两,个，以避免在结点之间解联立方程。,结点法用于计算简单桁架很方便。因为简单桁架是依次,增加二元体组成的。每个二元体只包含两个未知轴力的,杆，完全可由平衡方程确定。计算顺序按几何组成的相反,次序进行，即从最后一个二元体开始计算。,桁架杆件内力的符号规定：轴力以使截面受拉为正，受,压为负。在取隔离体时，轴力均先假设为正。即轴力方向,用离开结点表示。计算结果为正，则为拉力；反之，则为,压力。,桁架中常有一些特殊形式的结点，掌握这些特殊结点的,平衡条件，可使计算大为简化。把内力为零的杆件称为,零,杆,。,(1),L,型结点,。,不在一直线上的两杆结点，当结点不受外,力时，两杆均为零杆，如图,5-5(a),所示。若其中一杆与外力,F,共线，则此杆内力与外力,F,相等， 另一杆为零杆，如图,5-,5(d),所示。,(2),T,型结点,。,两杆在同一直线上的三杆结点，当结点不,受外力时，第三杆为零杆，如图,5-5(b),所示。若外力,F,与第,三杆共线，则第三杆内力等于外力,F,，如图,5-5(e),所示。,图,5-5,(3),X,型结点,。,四杆结点两两共线，如图,5-5(c),所示，当结点,不受外力时，则共线的两杆内力相等且符号相同。,(4),K,型线点,。,这也是四杆结点，其中两杆共线，另两杆在,该直线同侧且与直线夹角相等，如图,5-5(f),所示，当结点不,受外力时，则非共线的两杆内力大小相等但符号相反。,以上结论，均可取适当的坐标由投影方程得出。,应用上述结论可判定出图,5-6(a),、,(b),、,(c),所示结构中,虚线各杆均为零杆。这里所讲的零杆是对某种荷载而言,的，当荷载变化时，零杆也随之变化，如图,5-6(b),、,(c),所,示。此处的零杆也决非多余联系。,图,5-6,例,5-1,用结点法计算图,5-7(a),所示桁架各杆的内力。,解,：该桁架为简单桁架，由,于桁架及荷载都对称，故可计,算其中的一半杆件的内力，最,后由结点,C,的平衡条件进行校,核。,1.,计算支座反力。,F,x,= 0, F,A,x,= 0,由对称性可知,F,Ay,=,F,By,= (2+4+2)/2 = 4,kN,(),图,5-7,2.,内力计算。,(1),取结点,A,为隔离体，如图,5-7(b),所示。,Fy,= 0, F,NAE,= -4 = -5.66,kN,Fx = 0, F,NAD,+F,NAE, /2 = 0,F,NAD,= -(-4 ) /2 = 4,kN,(2),取结点,D,为隔离体，如图,5-7(c),所示。,F,x,= 0, F,NDC,= 4,kN,；,Fy,= 0, F,NDE,= 2,kN,(3),取结点,E,为隔离体，如图,5-7(d),所示。,Fy,= 0, 4 /2-2-F,NEC, /2 = 0,F,NEC,= 2 = 2.83,kN,Fx = 0, F,NEG,+F,NEC, /2+4 /2 = 0,F,NEG,= -2 /2-4 = -6,kN,(4),由对称性可知另一半桁架杆件的内力。,(5),校核。 取结点,C,为隔离体，如图,5-7(e),所示。,F,x,= 4+2 /2-2 /2-4 = 0,Fy,= 2 /2+2-4 = 0,C,结点平衡条件满足，故知内力计算无误。,5-3,截面法,用截面法计算内力时，由于隔离体上所作用的力为平,面一般力系，故可建立三个平衡方程。若隔离体上的未知,力数目不超过三个，则可将它们全部求出，否则需利用解,联立方程的方法才能求出所有未知力。为此，可适当选取,矩心及投影轴，利用力矩法和投影法，尽可能使建立的平,衡方程只包含一个未知力，以避免解联立方程。,例,5-2,用截面法计算图,5-8(a),所示桁架中,a,、,b,、,c,、,d,各,杆的内力。,解,：,1.,求支座反力。,由对称性可知：,F,A,= F,B,= (10+205+10)/2 = 60,kN,(),图,5-8,2.,计算各杆内力。,(1),作截面,-,，如图,5-8(a),所示，取左部分为隔离,体，如图,5-8(b),所示。为求,a,杆内力，可以,b,、,c,两杆的交点,E,为矩心，由方程,M,E,= 0,，得,603-103-F,Na,3 = 0,，,F,Na,= 50,kN,(2),求上弦杆,c,的内力时，以,a,、,b,两杆的交点,D,为矩心，,此时要计算,F,Nc,的力臂不太方便，为此将,F,Nc,分解为水平和,竖直方向的两个分力。则各分力的力臂均为已知。,由,M,D,=0,，得,(F,Nc,1/ )3+(F,Nc,3/ )3+606-106-203=0,F,Nc,= -20 = -63.2,kN,(3),求,b,杆内力时，应以,a,、,c,两杆的交点,O,为矩心，为,此，应求出,OA,之间的距离，设为,x,，由比例关系：,可得，,x,= 6m,同样，将,F,Nb,在,E,点分解为水平和竖直方向的两个分力，由,M,O,= 0,，得,(,F,Nb, /2)9+(,F,Nb, /2)3+106+209,- 606 = 0,F,Nb,= 10 = 14.1,kN,(4),为求,F,Nd,，作截面,-,，取左部分为隔离体，如图,5-8(a),、,(c),所示。因被截断的另两杆平行，故采用投影方程计算。由,Fy,= 0,，得,F,Nd,4/5+60-10-20-20 = 0,F,Nd,= -105/4 = -12.5,kN,如前所述，用截面法求桁架内力时，应尽量使截断的杆件不超过三,根，这样所截杆件的内力均可利用同一隔离体求出。特殊情况下，所作,截面虽然截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，除一根外，其,余各杆汇交于同一点或互相平行，则该杆的内力仍可首先求出。,例如图,5-9(a),所示桁架中，作截面,-,，由,M,C,=0,，可求出,a,杆内,力。又如图,5-9(b),所示桁架中，作截面,-,，由,X = 0,，可求出,b,杆内,力。图,5-10,所示的工程上多采用的联合桁架，一般宜用截面法将联合杆,DE,的内力求出。即作,-,截面，取左部分或右部分为隔离体，由,M,C,=0,求出,F,NDE,。这样左、右两个简单桁架就可用结点法来计算。,图,5-9,图,5-10,截面法和结点法的联合应用,结点法和截面法是计算桁架内力的两种基本方法。两,种方法各有所长，应根据具体情况灵活选用。,例,5-3,试求图,5-11,所示桁架中,a,、,b,及,c,杆的内力。,解,：从几何组成看，桁架中的,AGB,为基本部分，,EHC,为,附属部分。,(1),作截面,-,，取右部分为隔离体，由,M,C,=0,，得,F,Na,d,+,Fd,= 0,F,Na,= -F,(2),取结点,G,为隔离体，由,F,y,= 0,，得,F,Nc,= -F,由,F,x,= 0,，得,F,NFG,= F,Na,= -F,(3),作截面,-,，取左部分为隔离体，由,M,A,=0,，得,F,Nb,d+Fd-Fd,= 0,，,F,Nb,= 0,例,5-4,求图,5-12,所示桁架中,a,杆的内力。,解,：,1.,求支座反力。,M,B,= 0, F,A,=(2015+2012+209),/18=40kN(),M,A,= 0, F,B,=20,kN,(),校核,;,Fy,=40+20-20-20-20 = 0,故知反力计算无误。,2.,计算,a,杆内力。,作,-,截面，取左部分为,隔离体，由,M,F,=0,，得：,F,NHC,4-203-403 = 0,，,F,NHC,= 45,kN,。,图,5-12,图,5-11,取结点,H,为隔离体，由,F,x,= 0,，,得：,F,NGH,=F,NHC,= 45,kN,(3),作截面,-,，仍取左部分为隔离体，由,M,F,= 0,，得,F,Na,3/ 4+454-403 = 0,，,F,Na,= -5 = -18.0,kN,在该题中，若取截面,-,所截取的一部分为隔离体,(,图,5-12),，由于,ED,杆为零，,F,NED,= 0,。,由平衡方程,M,C,= 0,，可得,F,Na,2/ 3+F,Na,3/ 2+203 = 0,，,F,Na,= -5 = -18.0,kN,可见，按后一种方法计算更简单。,组合结构的计算,组合结构是指由链杆和受弯为主的梁式杆组成的结,构。链杆只受轴力作用，梁式杆除受轴力外，还要受弯,矩、剪力的作用。用截面法计算组合结构内力时，为了使,隔离体上的未知力不致过多，应尽量避免截断受弯杆件。,因此，计算组合结构的步骤一般是先求支座反力，然后计,算各链杆的轴力，最后计算受弯杆的内力。,例,5-5,求图,5-13(a),所示组合结构各杆的轴力，作受弯杆,的,M,、,F,S,图。,解,：,1.,计算支座反力。,M,B,= 0, F,A,= (2063)/12 = 30,kN,(),M,A,= 0, F,B,= (2069)/12 = 90,kN,(),校核：,F,y,= 30+90-206 = 0,故知反力计算无误。,2.,求链杆内力。,(1),作截面,-,，拆开铰,C,及截断,DE,杆，取左边为隔离,体，由,M,C,= 0,，得,F,NDE,3-306 = 0,，,F,NDE,= 60,kN,(2),取结点,D,、,E,为隔离,体，由平衡条件,F,x,=0,、,F,y,= 0,可求得各链杆轴力如,图,5-13(a),所示。,图,5-13,3.,计算受弯杆内力。,(1),取出,CB,杆为隔离体，如图,5-13(b),所示。由平衡条件,可得,F,CH,= 60,kN,(),，,F,CV,=3 0,kN,(),据此可作出,CB,杆的弯矩图及剪力图。,(2) AC,杆的内力可与,CB,杆相同的方法求得。最后受弯,杆的弯矩图及剪力图如图,5-13(c),、,(d),所示。,