第四章 平均指标

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第四章 平均指标与标志变异指标,第一节 平均指标,第二节 标志变异指标,第三节 偏度与峰度,2,基本要求：,平均指标和标志变异指标是进行统计描述的重要指标。通过本章的学习，要求学生深刻理解平均指标和变异指标的基本概念和分析方法；掌握各种平均指标的计算方法和运用原则以及几种平均数的关系，并能对平均指标进行分析；了解影响平均指标大小的因素；明确平均指标与标志变异指标的区别；掌握各种标志变异指标的计算方法，并能运用标志变异指标说明平均指标的代表性。,3,第一节 平均指标,一、平均指标概述,二、数值平均数,(,*,),三、位置平均数,(,*,),4,一、平均指标概述,（一）含义,反映社会经济现象总体各单位某一,数量标,志,在一定时间、地点条件下所到达的一般水平,的综合指标，概括地表明各种统计数列的基本,数值特征，显示数列的一般水平或分布的,集中,趋势。,5,平均指标在统计中的作用,1.,可以消除因总体不同而带来的总体数量上的差异，从而使不同总体可以对比。,2.,可以对比现象在不同时间的一般水平的变化，反映现象发展变化的趋势及规律性。（职工工资水平）,3.,可以分析现象之间的依存关系。（劳动生产率水平与职工平均工资）,4.,可以进行数量上的估计推断。（抽样调查中平均指标推算总体平均指标）,6,基本特点,1.,必须应用于,同质总体（仅是标志值之间的差别）。,2.,是一种代表值，把总体单位数量标志值间的差异抽象化，反映总体分布的集中趋势。（平均工资）,3.,说明一定历史条件下的一般水平，并不是固定不变的。,4.,以大量观察法为基础，将现象偶然性的差异性相互抵消。,7,平均指标的种类,算术平均数,调和平均数,几何平均数,中位数,众数,数值平均数,位置平均数,数值平均数：是由变量值先求和再求平均得到的平均数，它能够概括整个数列中所有各项数据的平均水平，并受数列中每一个标志值变动的影响。,位置平均数：是由数据的结构获得的平均数，反映数据结构的集中特点，受数据结构中一些特殊位置个别单位标志值的影响较大。,8,9,二、数值平均数,算术平均数,(,*,),调和平均数,(,*,),几何平均数,(,*,),10,基本形式：,例：,直接承担者,注意区分算术平均数与强度相对数,算术平均数,11,1.,简单算术平均数,适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况,算术平均数的计算方法,12,平均年龄为：,算术平均数的计算方法,某小组共,7,人，其年龄分别为,20,、,25,、,24,、,21,、,22,、,23,、,33,（岁）,【,例,】,13,2.,加权算术平均数,适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况,算术平均数的计算方法,14,【,例,】,某生产小组某日工人的日产量资料如下：,日产量（件）,x,工人人数（人）,f,xf,10,11,12,13,14,70,100,380,150,100,700,1100,4560,1950,1400,合计,800,9710,计算该小组该日全部工人的平均日产量。,15,若上述资料为组距数列，则应取各组的,组中值,作为该组的代表值用于计算；,以组中值作为各组的代表值，假定各组标志值在组内分布是均匀的。,所以求得的,算术平均数只是其真值的近似值,。,说,明,16,2.,某班同学英语考试成绩如下，计算其平均成绩,成绩分组（,X,）,人数（,f,）,比重,(%),组中值,X f,60,以下,60,70,70,80,80,90,90,100,5,9,15,8,3,12.5,22.5,37.5,20,7.5,55,65,75,85,95,275,585,1125,680,285,合 计,40,100,2950,17,加权算术平均数的另一公式,18,a,）加权算术平均数受两个因素的影响，一个是分配数列中各组的标志值,x,i,，另一个是各组标志值出现的次数,f,i,或频率,f/f,b,）各组标志值出现的次数在计算平均数的过程中起着权衡轻重的作用，故常将其称作,“,权数,”,。,c,）权数的形式：次数和频率,权数尽管可以以绝对数或相对数的形式出现，但权数的实质是,结构相对数。,（,3,）权数的作用和形式,19,d,）下列情况，分组资料可以不考虑权数，而用简单算术平均数。,当各组的权数相同时。,20,变量值与其算术平均数的离差之和等于零，即：,变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：,算术平均数的主要数学性质,21,【,例,】,设,X=,（,2,，,4,，,6,，,8,），则其调和平均数可由定义计算如下：,再求算术平均数：,求各标志值的倒数 ： ， ， ，,再求倒数：,是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫,倒数平均数,调和平均数,22,A.,简单调和平均数,适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况,式中： 为调和平均数,;,为变量值 的个数； 为第 个变量值。,调和平均数的计算方法,23,B.,加权调和平均数,适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况,式中： 为第 组的变量值； 为第 组的标志总量。,24,例：某工厂工人日产零件数资料：,日产量（件）,各组工人日总产量（件）,X,m,35,55,60,65,70,700,1650,4560,1950,1470,合计,10330,计算该企业该日全部工人的平均日产量。,25,加权调和平均数可以作为算术平均数的变形使用,。（见书）,因为：,26,（,三）几何平均数（性质见书）,是,n,项标志值连乘积的,n,次方根,1.,简单几何平均数：,应用：平均发展速度的计算,2.,加权几何平均数,27,【,例,1】,某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为,95,、,92,、,90,、,85,、,80,，求整个流水生产线产品的平均合格率。,28,【,例,2】,某金融机构以复利计息。近,12,年来的年利率有,4,年为,3,，,2,年为,5,，,2,年为,8,，,3,年为,10,，,1,年为,15,。求平均年利率。,平均年利率为,=106.85%-100%=6.85%,29,（四）三者的关系,算术平均数受极大值的影响较大，调和平均数受极小值的影响较大,同一资料而言，其结果有如下关系：,30,三、位置平均数,指总体中出现次数最多的变量值，用 表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。,众数,31,有时众数是一个合适的代表值,比如在服装行业中，生产商、批发商和零售商在做有关生产或存货的决策时，更感兴趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。,32,日产量（件）,工人人数（人）,10,11,12,13,14,70,100,380,150,100,合计,800,【,例,1】,已知某企业某日工人的日产量资料如下,:,众数的确定,1.,单项数列,计算该企业该日全部工人日产量的众数,。,33,2.,组距数列,先确定众数组，然后计算：,34,例：上年某市,80,个中型工业企业资料,35,当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；,当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（,前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数,）。,众数的应用,36,（二）中位数（,Me,）,将总体各单位,按其标志值大小顺序排列,，处于,中点位置那个单位的标志值，即为中位数。,1.,由未分组资料确定中位数。,确定方法：首先将各总体单位的标志值，按照大小顺序排列，然后确定中位数的位置，处于中位数的位置的标志值就是中位数。,37,（当,n,为奇数，中位数为处于中间位置的标志值）,（当,n,为偶数，中位数为处于中间位置的两个标志值的平均数）,例,:(1) 7,个人的身高为：、,169,、,170,、,172,、,173,、,175cm,，则中位数为：,170cm,(2),若,8,个人的身高为：、,169,、,170,、,172,、,173,、,175,、,179 cm,，则中位数为（,170+172,）,/2,，即,171cm,。,38,2.,由单项式分组资料确定中位数。,确定方法：单项式分组已经将资料序列化，这时总体单位数,n=f,，确定确定中位数的位置要通过累计次数计算。,（当,f,为奇数）,（当,f,为偶数）,39,中位数,例如，,某工厂工人的,日产量分配数,列如,下,表。,f,30,为偶数,40,3.,由组距分组数列确定中位数,（,1,）确定“中位数组”,向上累计次数等于,（,2,）假定中位数组内分布是均匀的，计算出中位数。,41,向上累计时,向下累计时,中位数计算公式,42,中位数组为“,20-30”,43,众数、中位数、算术平均数的关系,当次数分布呈对称的钟分布时，三者相等；,当次数右偏时，,当次数左偏时，,皮尔逊经验公式：,44,（三）其他分位数,有四分位数、十分位数和百分位数,意义：反映总体分布的位置特征，作为考察分布的集中趋势和变异状况的有效工具，尤其在强调,“,稳健性,”,和,“,耐饥性,”,等数据分析中有重要运用。,45,四分位数,(Quartile),：,将全部总体单位按标志值大小等分为四部分的三个数值，分别记为,Q,1,、,Q,2,、,Q,3,，分别叫做,“,下分位数,”,、,“,中位数,”,和,“,上分位数,”,。,46,第二节 标志变异指标,一、标志变异指标概述,二、极差与分位差,三、平均差,四、标准差与方差,五、成数指标,六、变异系数,平均指标：说明总体各单位标志值的共性，反映总体变量分布的集中趋势。,标志变异指标：表明总体中各单位标志值的差别大小程度和变异状况，说明总体变量分布的离散趋势。,47,48,语文,数学,英语,总成绩,平均成绩,甲,乙,丙,60,65,55,65,65,65,70,65,75,195,195,195,65,65,65,某班三名同学三门课程的成绩如下：,请比较三名同学学习成绩的差异。,49,一、标志变异指标的概述,（一）概念：反映总体各单位标志值之间差异程度的综合指标。反映总体变量的分布特征、变动范围或离散程度。,标志变异指标和平均指标是一对相互联系的对应指标，平均指标反映总体各单位标志值的,集中,趋势，而标志变异指标则是总体各单位标志值的,离中,趋势,50,用来衡量和比较平均数代表性的大小,变异指标值越大，平均指标的代表性越小；反之，平均指标的代表性越大,用来反映社会经济活动过程的均衡性和,稳定性,如产品的耐用时间。变异,指标值越大,，则说明产品质量不稳定；,反之,，说明产品质量稳定。,（二）作用,51,测定标志变异度的绝对量指标,测定标志变异度的相对量指标,全距,平均差,标准差,全距,系数,平均差,系数,标准差,系数,标志变异指标的种类,:,52,(,一,),全距,(,极差,),特点,:,优点,:,计算方法简单、易懂；,缺点,:,易受极端数值的影响，不能全面反映所有标志值差异大小及分布状况，准确程度差,往往应用于生产过程的质量控制,.,书例。,53,(,二,),分位差,是对全距指标的改进,从变量数列中剔除部分极端,值后重新计算的类似于全距的指标，有四分位差等。,四分位差：从总体分别中剔除最大和最小各,1/4,的,单位，再对中间剩下的总体半数单位计算全距，称为,“,内四分位间距（）,四分位差（,QD,）,54,三、平均差,是总体各单位标志值与其算术平均数的离差绝对值,的算术平均数，用,A.D,表示,作用：平均差反映各标志值的差异程度，平均差越,大，说明总体各标志值差异程度越大，平均数的代表,性越小；平均差越小，说明各标志值差异程度越小，,平均数的代表性越大。,55,公式：,56,例如：假定某车间两个小组工人的月工资（元）资料如下。 甲：,800,，,900,，,1000,，,1100,，,1200,。 乙：,900,，,950,，,1000,，,1050,，,1100,。,57,例：根据下列资料，计算平均差,按日产量（件）,工人数,组中值,Xf,30,40,40,50,50,60,60,70,10,20,15,5,35,45,55,65,350,900,825,325,130,60,105,85,合 计,50,2400,380,58,优点,:,不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；,缺点,:,用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。,平均差的特点,59,四、标准差与方差,（一）,标准差,是各单位标志值与其算术平均数的离差平方的算,术平均数的开平方根，用,来表示,60,仍用前面车间两小组工人月工资的例子,：,61,按日产量分组（件）,工人数,组中值,Xf,30,40,40,50,50,60,60,70,10,20,15,5,35,45,55,65,350,900,825,325,1690,180,735,1620,合 计,50,2400,4225,62,（二）方差（,2,）,用于抽样调查、相关分析及质量控制等,标准差和方差的性质（见书）,（三）性质,在总体分组的条件下，总方差可以分解为组内方差的平均数和组间方差两部分，即加法定理,:,63,五、成数指标,分 组,单位数,变量值,具有某一属性,不具有某一属性,N1,N0,1,0,合 计,N,为研究是非标志总体的数量特征，令,指总体中全部单位只具有,“是”,或,“否”,、,“有”,或,“无”,两种表现形式的标志，又叫,交替标志,是非标志,64,具有某种标志表现的,单位数所占的成数,不具有某种标志表现,的单位数所占的成数,指是非标志总体中具有某种表现或不具有某种表现的单位数占全部总体单位总数的比重,成数,65,均,值,标,准,差,66,平均差系数,标准差系数,六、变异系数,用来对比不同水平的同类现象，或者是不同类现象总体平均数代表性的大小,:,标准差系数小的总体，其平均数的代表性大；反之，亦然。,应用,:,67,【,例,】,某年级一、二两班某门课的平均成绩分别为,82,分和,76,分，其成绩的标准差分别为分和分，比较两班平均成绩代表性的大小。,解：,一班成绩的标准差系数为：,二班成绩的标准差系数为：,因为,所以一班平均成绩的代表性比二班好。,68,第三节 偏度与峰度,一、矩及测度,矩：又叫动差，用来描述分布的特征,（一）矩的基本形式,69,（二）原点矩,显然，一阶原点矩是变量的算术平均数，二阶原点矩是变量平方的算术平均数,70,（三）中心矩,显然，任何分布的一阶中心矩永远等于零，二阶中心矩就是分布的方差,性质（了解）,71,二、偏度及测度,1.,含义：偏度是反映变量数列偏斜程度的指标，即指分布不对称的方向和程度。,单峰分布,对称分布,非对称分布,左偏态,右偏态,72,2.,偏度系数,SK,通常取值在,-3+3,之间，其绝对值大，则偏斜程度大，反之，亦然。,当分布呈右偏时，,SK0,；当分布呈左偏时，,SK0,；若,SK=0,，则为对称分布。,73,三、峰度,峰度是用于衡量分布的集中程度或分布曲线的尖峭或扁平程度的指标。,峰度指标,的计算公式：,判断标准（都是与相同标准差的正态分布比较）：,0,，高峰度分布,=0,，正态分布,0,，低峰度分布,74,当峰度指标,0,时，表示分布比正态分布更集中在平均数周围，分布呈尖峰状态；,=0,分布为正态分布；,0,时，表示分布比正态分布更分散，分布呈低峰态，如下图所示：,