近世代数课件(全)--2-9 群的同态、同构

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,近世代数,第二章 群论,9,群同态、同构,9/29/2024,一、定义,1,若存在群,到,群,的,同态满射,，则称,群,与,群,同态,；,若存在群,到,群,的,同构映射,，则称,群,与,群,同构,.,假定,是集合,到,的一个满射，,，称,为,在,之下的象；,，称,为,在,之下的逆象,.,为,9/29/2024,二、群同态性质,群,与,同态，,是,到,的同态,满,射，则,(1),(2),(3),(4),(5),定理,1,(6),是循环群，则,也是循环群,.,9/29/2024,定理,2,两个代数系统,同态，,与,若,是群，,则,也是群,.,证明：,，,是群，有结合律，则,也有结合律；,是同态满射，有,是,的左单位元；,是,的左逆元,也是群,.,9/29/2024,例,1,证明,关于,做成群,.,证明：取,是,到,的同态满射，,而,是群，,因此,是群,.,9/29/2024,例,2,是,到,的同态满射，,全体正负奇数,，,代数运算均为数的普通乘法,正奇数,1,负奇数,-1,是群，,而,不是群,.,9/29/2024,三、同态核,思考题,1,：,，,，那么,例,1,与,同态,9/29/2024,定义,3,设,是群,到群,的同态映射,是,的单位元,.,称,在,中的所有,的,核,记作,逆象组成的集合为同态映射,例,3,是,到,的同态映射,全体偶数,9/29/2024,引理,1,若,是,群,到,群,的同态映射,是单射,，则,证明：,而,是单射,若,，则,是单射,.,9/29/2024,引理,2,若,是,群,到,群,的同态满射,，则,证明：,9/29/2024,四、群同态基本定理,定理,3,群,同它的每个商群,定义,4,称群,到商群,的同态满射,为,的自然同态,.,同态,.,到,注：,9/29/2024,定理,4,（群同态基本定理）,群,与,同态，,是,到,满,射，则,的同态,证明：,取,9/29/2024,说明：,定理,3,说明任何群都同它的商群同态；,同另一个群,同态，,在同构意义下是,的一个商群,.,定理,4,说明一个群,则这个群,因此，在,同构意义下,，定理,3,与定理,4,的意,思,是：,每个群能而且只能同它的商群同态,.,9/29/2024,推论,1,：设,与,是有限群，且,，则,推论,2,： 循环群的商群也是循环群,.,整除,9/29/2024,五、群的同构定理,定理,5,设,是群,到群,的同态满射,，则,，又,证明：,取,9/29/2024,例,4,，则,证明：,9/29/2024,