递推最小二乘法

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,2024/9/29,2,考虑系统模型：,回顾,最小二乘法辨识,3,则可写为,N,维输出向量,2n+1,维,参数向量,N,维噪声向量,N,(,2n+1),维,测量矩阵,最小二乘法：,4,最小二乘估计要求残差的平方和为最小，即按照指标函数,为最小来确定估值 。求,J,对 的偏导数并令其等于,0,可得 的最小二乘估计,J,为极小值的充分条件是,即矩阵 为,正定矩阵,。,5,2024/9/29,图,4.1,动态系统递推最小二乘在线辨识过程原理图,6,2024/9/29,令 ，则递推最小二乘算法,递推最小二乘法,7,2024/9/29,该递推公式有明显的,物理意义：,称 为新息，表示实测值与预报值之差，,而 为新息的校正增益。,8,数据饱和现象,在实际应用中，递推最小二乘法常常会出现数据饱和现象。,所谓数据饱和现象是指随着时间的推移，采集的数据越来越多，新数据提供的信息被旧数据所淹没。,9,数据饱和现象,可见，随着递推次数的增加，,P(N),将越来越小,最后可能趋于零。,因此根据上式，新的采样值对参数估计的改进，已不再起作用了。,为了克服数据饱和现象，可以用降低旧数据影响的办法来修改算法。,10,4.6,渐消记忆递推算法,渐消记忆法是对每个数据按指数加权，老的数据作用逐渐减弱。,如果再获得一对新的观测值 ，,则有,由,n+N,个观测数据获得 的最小二乘估计为,此时，由,n+N+1,个观测数据获得 的最小二乘估计为,（,*,）,将上面的结果带入,（,*,）,式，并展开得,又因为 ，则上式变为,令 ，,则得,渐消记忆,的递推最小二乘算法,渐消记忆,递推最小二乘算法,渐消记忆,递推最小二乘算法,其中，,称为“遗忘因子”。选择不同的,就得到不同的遗忘效果。,越小，遗忘的速度越快。, =1,：无遗忘；, =0,：全遗忘,一般来说，,必须选择接近于,1,的正数，对于线性系统，应选择,0.95,1,。,限定记忆法,思路,：限定每次估计都用最新的,n+N,个数据，增加一个新数据就去掉一个老数据。,17,2024/9/29,4.7.1,最小二乘估计的特点,1,） 唯一性,3,）应用简单，鲁棒性好,4.7,最小二乘估计的性质,2,）适用范围广,18,2024/9/29,4.7.2,最小二乘估计的概率性质,如果,(k),是不相关随机序列，且均值为,0,。,1,） 无偏性,2,）一致性,4,） 渐进正态性,辅助变量法、广义最小二乘法、增广矩阵法,如果,是均值为,0,且服从正态分布的白噪声向量，则最小二乘参数估计值服从正态分布。,3,） 有效性,在众多无偏估计中，方差最小。,最小二乘估计法的缺陷,最小二乘估计的无偏性、一致性等概率性质，都是在,(k),为零均值、不相关随机序列的前提下得到的。,但实际系统中,(k),往往是相关的，有些系统即使外加干扰为不相关的随机序列，但在参数估计过程中，也变成相关的随机序列了。,最小二乘估计法的缺陷,系统,B(z,-1,)/A(z,-1,),u(k),x(k),(k),y(k),+,最小二乘估计法的缺陷,可见,(k),是相关序列，进而得到的最小二乘参数估计不是无偏、一致估计。,因而，,LS,估计方法的应用受到一定限制，下面介绍在,LS,基础上加以改进的方法。,22,4.8,辅助变量法,现在开始讨论如何克服最小二乘法的有偏估计问题。,对于原辨识方程,（,4.8.1,）,当 是不相关随机序列时，最小二乘法可以得到参数向量 的一致性无偏估计。但是，在实际应用中 往往是相关随机序列。,23,式中,Q,是非奇异的。,假定存在着一个 的矩阵,Z,（与 同阶数）,满足约束条件,（,4.8.2,）,用 乘以式（,4.8.1,）等号两边得,（,4.8.3,）,由上式可得,（,4.8.4,）,24,如果取,（,4.8.5,）,作为 的估值，则称估值 为辅助变量估值，矩阵,Z,称为辅助变量矩阵，,Z,中的元素称为辅助变量。,从式（,4.8.5,）可以看到， 与最小二乘法估值 的计算公式具有相同的形式，因此计算比较简单。,根据式（,4.8.1,）和式（,4.8.5,）可得,（,4.8.6,）,25,（,4.8.7,）,当,N,很大时，对上式等号两边取极限得,（,4.8.8,）,根据式（,4.8.2,）所假定的约束条件，可得,因此辅助变量估计是无偏估计。,26,剩下的问题是如何选择辅助变量，即如何确定辅助变量矩阵,Z,的各个元素。选择辅助变量的基本原则是式（,4.8.2,）所给出的两个条件必须得到满足。,这可以简单地理解为所选择的辅助变量应与 不相关，但与 中的 和 强烈相关。,27,Z,可以有多种选择方法，下面介绍两种常用的选择方法。,1,）迭代辅助变量参数估计法,辅助变量取作,是辅助模型,（,4.8.9,）,的输出向量 的元素，辅助变量矩阵,Z,为,28,29,迭代辅助变量参数估计法,计算步骤：,30,2,）自适应滤波法,这种方法所选择的辅助变量 和辅助变量矩阵,Z,的形式与上一种方法完全相同，只是辅助模型中参数向量 的估计方法与上一种方法有所不同。取,式中： 取 ；,d,取 ； 为,k,时刻所得到的参数向量估计值。当 是持续激励信号时，所选的辅助变量可以满足式（,4.8.2,）所给出的,2,个约束条件。,31,2024/9/29,本次课内容总结,递推最小二乘法带来的数据饱和问题,最小二乘估计法的缺陷,辅助变量法,渐消记忆递推最小二乘法,