选修2-2--1.5定积分的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.5,定积分的概念,求由连续曲线,y,=,f,(,x,),对应的,曲边梯形,面积的方法,(2),取近似求和,:,任取,i,x,i,x,i+,1,，第,i,个小曲边梯形的面积用高为,f,(,i,),而宽为,x,的小矩形面积,f,(,i,),x,近似之。,(3),取极限,:,所求曲边梯形的面积,S,为,取,n,个小矩形面积的和作为曲边梯形面积,S,的近似值：,x,i,y,=,f,(,x,),x,y,O,b,a,x,i,+1,x,i,(1),分割,:,在区间,a,b,上等间隔地插入,n-1,个点,将它等分成,n,个小区间,:,每个小区间宽度,x,一、定积分的定义,如果当,n,时，,S,的无限接近某个常数，,这个常数为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的定积分，记作,从求曲边梯形面积,S,的过程中可以看出,通过,“,四步曲,”,:,分割,-,近似代替,-,求和,-,取极限,得到解决,.,定积分的定义,：,定积分的相关名称：,叫做积分号，,f,(,x,) ,叫做被积函数，,f,(,x,),dx,叫做被积表达式，,x,叫做积分变量，,a,叫做积分下限，,b,叫做积分上限，,a,b, ,叫做积分区间。,被积函数,被积表达式,积分变量,积分下限,积分上限,按定积分的定义，有,(1),由连续曲线,y,=,f,(,x,) (,f,(,x,),0) ,直线,x,=,a,、,x,=,b,及,x,轴所围,成的曲边梯形的面积为,(2),设物体运动的速度,v,=,v,(,t,),则此物体在时间区间,a,b,内运动的距离,s,为,定积分的定义：,1,x,y,O,f(x,),=,x,2,O,v,t,1,2,(1),定积分是一个数值,它只与被积函数及积分,区间有关，而与积分变量的记法无关，即,说 明：,二、定积分的几何意义：,O,x,y,a,b,y,f,(,x,),x,=,a,、,x,=,b,与,x,轴所围成的曲边梯形的面积。,当,),f,(,x,0,时，积分,dx,x,f,b,a,),(,在几,何,上,表示由,y,f,(,x,),上述定义中原先要求,a,b,，为了运算和应用方便，有,两点规定,:,当,f,(,x,),0,时，由,y,f,(,x,),、,x,a,、,x,b,与,x,轴所围成的曲边梯形位于,x,轴的下方，,x,y,O,=-,a,b,y,f,(,x,),y,-,f,(,x,),=-,S,上述曲边梯形面积的负值。,=-,S,积分,b,a,f,(,x,),dx,在几何上表,示,二、定积分的几何意义：,a,b,y,f,(,x,),O,x,y,探究,:,根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积,?,a,b,y,f,(,x,),O,x,y,定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。,x,y,a,b,二、定积分的几何意义：,用定积分表示图中四个图形阴影部分的面积。,练习：,-1,2,x,y,0,a,x,y,f,(,x,),=x,2,f,(,x,),=x,2,用定积分表示图中四个图形阴影部分的面积。,练习：,f,(,x,),=x,2,f,(,x,),=1,a,b,x,y,-1,2,x,y,例,1:,利用定积分的定义,计算 的值,.,利用几何意义求定积分,解,:,函数,y,1,x,在区间,0, 1,上的定积分是以,y,=1-,x,为曲边,以区间,0, 1,为底的曲边梯形的面积,.,因为以,y,=1-,x,为曲边,以区间,0, 1,为底的曲边梯形是一,个直角三角形,其底边长及高均为,1,所以,例,2,用定积分的几何意义求,-,1,0,),1,(,dx,x,.,练习,:,用定积分的几何意义求,三,:,定积分的基本性质,性质,1.,性质,2.,这是因为,三,:,定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有,可加性,性质,3.,O,x,y,a,b,y,f,(,x,),性质,3,:,不论,a,，,b,，,c,的相对位置如何都有,a,b,y,=,f,(,x,),c,O,x,y,定积分的简单性质的应用,点评：,运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差,小 结,定积分的实质：,特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,分割,化整为零,求和,积零为整,取极限,精确值,定积分,求近似以,直,(,不变,),代,曲,(,变,),取极限,