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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式,(第三节),推广,微分中值定理,与,导数的应用,一、罗尔( Rolle )定理,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第,三,章,费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,且,存在,证:,设,则,费马 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间,a,b,上连续,(2) 在区间,(,a,b,),内可导,(3),f,(,a,) =,f,(,b,),使,证:,故在,a,b,上取得最大值,M,和最小值,m .,若,M,=,m ,则,因此,在(,a,b,) 内至少存在一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,M,m,则,M,和,m,中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意:,1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.,例如,则由费马引理得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,使,2) 定理条件只是充分的.,本定理可推广为,在 (,a,b,) 内可导, 且,在(,a,b,) 内至少存在一点,证明提示:,设,证,F,(,x,) 在 ,a,b, 上满足罗尔定理 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根 .,证:,1) 存在性 .,则,在 0 , 1 连续 ,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 ,a,b, 上连续,满足:,(2) 在区间 (,a,b,) 内可导,至少存在一点,使,思路,: 利用,逆向思维,找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 ,在 ,a,b, 上连续 ,在 (,a,b,) 内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立 .,拉氏 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,拉格朗日中值定理的,有限增量形式:,推论:,若函数,在区间,I,上满足,则,在,I,上必为常数.,证:,在,I,上任取两点,日中值公式 , 得,由 的任意性知,在,I,上为常数 .,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,证明等式,证:,设,由推论可知,(常数),令,x,= 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在,I,上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,证明不等式,证:,设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1) 在闭区间 ,a,b, 上连续,(2) 在开区间 (,a,b,) 内可导,(3)在开区间 (,a,b,) 内,至少存在一点,使,满足 :,要证,柯西 目录 上页 下页 返回 结束,证:,作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,思考:,柯西定理的下述证法对吗 ?,两个,不,一定相同,错!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义,:,注意:,弦的斜率,切线斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,设,至少存在一点,使,证:,结论可变形为,设,则,在 0, 1 上满足柯西中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点,使,即,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,试证至少存在一点,使,证:,法1,用柯西中值定理 .,则,f,(,x,) ,F,(,x,) 在 1 ,e, 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,试证至少存在一点,使,法2,令,则,f,(,x,) 在 1 ,e, 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的应用,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,关键:,利用逆向思维,设辅助函数,费马引理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 填空题,1) 函数,在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理,条件, 则中值,2) 设,有,个根 , 它们分别在区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上.,方程,2.,设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.,思考:,在,即,当,时,问,是否可由此得出,不能 !,因为,是依赖于,x,的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示,x,从右侧,以任意方式趋于 0 .,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P132 7, 8 , 10 , 12 , 14 , 15,提示:,题15.,题14. 考虑,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,费马,(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日,(1736,1813),法国数学家.,他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来, 数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西,(,1789,1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,备用题,求证存在,使,1.,设,可导，且,在,连续，,证,：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,证明对任意,有,证,：,2.,不妨设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达法则,第,三,章,微分中值定理,函数的性态,导数的性态,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,( 或 型),本节研究:,洛必达法则,洛必达 目录 上页 下页 返回 结束,一、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,在,x , a,之间),证:,无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以,x, a,为端点的区间上满足柯,故,定理条件:,西定理条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,存在 (或为 ),推论1.,定理 1 中,换为,之一,推论 2.,若,理1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必达法则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求,解:,原式,注意:,不是未定式不能用洛必达法则 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,求,解:,原式,思考:,如何求,(,n,为正整数) ?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、,型未定式,存在 (或为),定理 2.,证:,仅就极限,存在的情形加以证明 .,(洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1),的情形,从而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2),的情形.,取常数,可用 1) 中结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3),时, 结论仍然成立.,( 证明略 ),说明:,定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,求,解:,原式,例4.,求,解:,(1),n,为正整数的情形.,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,求,(2),n,不为正整数的情形.,从而,由(1),用夹逼准则,存在正整数,k, 使当,x, 1,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,例4.,说明:,1),例3 , 例4 表明,时,后者比前者趋于,更快 .,例如,而,用洛必达法则,2),在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决,计算问题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 若,例如,极限不存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、其他未定式:,解决方法:,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,例5.,求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,原式,例6.,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,例7.,求,解:,利用 例5,例5 目录 上页 下页 返回 结束,通分,转化,取倒数,转化,取对数,转化,例8.,求,解:,注意到,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,求,分析:,为用洛必达法则 , 必须改求,法1,用洛必达法则,但对本题用此法计算很繁 !,法2,原式,例3 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,洛必达法则,令,取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1,. 设,是未定式极限 , 如果,不存在 , 是否,的极限也不存在 ?,举例说明 .,极限,说明 目录 上页 下页 返回 结束,原式,分析:,分析:,3.,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,4.,求,解:,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P137,1,(6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),4,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达,(1661,1704),法国数学家,他著有无穷小分析,(1696),并在该书中提出了求未定式极,限的方法,后人将其命名为“ 洛必达法,的摆线难题 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降,线 ” 问题 ,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆,锥曲线的书 .,则 ”.,他在15岁时就解决了帕斯卡提出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求下列极限 :,解:,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,则,原式 =,解:,(用洛必达法则),(继续用洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,原式 =,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、泰勒公式的应用,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒,( Taylor ),公式,第,三,章,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,x,的一次多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 求,n,次近似多项式,要求:,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,则,2. 余项估计,令,(称为余项) ,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,公式,称为 的,n,阶泰勒公式,.,公式,称为,n,阶泰勒公式的,拉格朗日余项,.,泰勒中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,泰勒 目录 上页 下页 返回 结束,公式,称为,n,阶泰勒公式的,佩亚诺(Peano) 余项,.,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,注意到,*,可以证明:, 式成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特例:,(1) 当,n,= 0,时, 泰勒公式变为,(2) 当,n,= 1,时, 泰勒公式变为,给,出拉格朗日中值定理,可见,误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为,麦克劳林（,Maclaurin,）公式 .,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可得,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知,其中,类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、泰勒公式的应用,1. 在近似计算中的应用,误差,M,为,在包含 0 ,x,的某区间上的上界.,需解问题的类型:,1) 已知,x,和误差限 , 要求确定项数,n,;,2) 已知项数,n,和,x, 计算近似值并估计误差;,3) 已知项数,n,和误差限 , 确定公式中,x,的适用范围.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知,例1.,计算无理数,e,的近似值 , 使误差不超过,解:,令,x,= 1, 得,由于,欲使,由计算可知当,n,= 9,时上式成立 ,因此,的麦克劳林公式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,:,注意舍入误差对计算结果的影响.,本例,若每项四舍五入到小数点后,6,位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差为,这时得到的近似值,不能保证,误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,用近似公式,计算 cos,x,的近似值,使其精确到 , 试确定,x,的适用范围.,解:,近似公式的误差,令,解得,即当,时, 由给定的近似公式计算的结果,能准确到 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 利用泰勒公式求极限,例3.,求,解:,由于,用洛必塔法则不方便,!,用泰勒公式将分子展到,项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 利用泰勒公式证明不等式,例4,.,证明,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 泰勒公式,其中余项,当,时为,麦克劳林公式 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 常用函数的麦克劳林公式,( P140 P142 ),3. 泰勒公式的应用,(1) 近似计算,(3) 其他应用,求极限 , 证明不等式 等.,(2) 利用多项式逼近函数 ,例如 目录 上页 下页 返回 结束,4,2,2,4,6,4,2,0,2,4,6,泰勒多项式逼近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,2,2,4,6,4,2,0,2,4,6,泰勒多项式逼近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,计算,解:,原式,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P143 1 ;,4 ; 5 ; 7 ; 8;,10,(1),(2),泰勒,(1685,1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一 ,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理论的奠基人 .,麦克劳林,(1698,1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数 .,由题设对,证:,备用题,1.,有,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下式减上式 , 得,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两边同乘,n,!,= 整数 +,假设,e,为有理数,(,p , q,为正整数) ,则当,时,等式左边为整数;,矛盾 !,2.,证明,e,为无理数,.,证:,时,当,故,e,为无理数 .,等式右边不可能为整数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节,一、函数单调性的判定法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,第,三,章,一、 函数单调性的判定法,若,定理 1.,设函数,则 在,I,内单调递增,(递减) .,证:,无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在,I,内单调递增.,在开区间,I,内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,例1.,确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的,单调增,区间为,的,单调减,区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点,.,例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性 .,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,证明,时, 成立不等式,证:,令,从而,因此,且,证,证明 目录 上页 下页 返回 结束,*,证明,令,则,从而,即,定义 .,设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是,凹,的;,(2) 若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点,称为,拐点,.,图形是,凸,的 .,二、曲线的凹凸与拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.,(凹凸判定法),(1) 在,I,内,则 在,I,内图形是凹的 ;,(2) 在,I,内,则 在,I,内图形是凸的 .,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明 (1) 成立;,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,在区间,I,上有二阶导数,证毕,例3.,判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得,拐点的判别法,如下:,若曲线,或不存在,但,在 两侧,异号,则点,是曲线,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点,( 0 , 0 ),为曲线,的拐点 .,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点,( 0 , 1 ),及,均为拐点.,凹,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 可导函数单调性判别,在,I,上单调递增,在,I,上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,+,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是 ( ),提示:,利用,单调增加 ,及,B,1.,设在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2.,曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,作业,P151 3,(1),(7),; 4,(2), (4),; 8,(3), (6),;,9,(3),; 10 ; 12 ; 13 ; 14,;,;,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,有位于一直线的三个拐点.,1.,求证曲线,证明：,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,当,时，,有,证明:,令, 则,是,凸,函数,即,2 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(自证),二、,最大值与最小值问题,一、,函数的极值及其求法,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极值与,最大值最小值,第,三,章,一、,函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的,极大点,称 为函数的,极大值,;,(2),则称 为 的,极小点,称 为函数的,极小值,.,极大点与极小点统称为,极值点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在,导数为,0,或,不存在的点,.,1) 函数的极值是函数的,局部性质,.,例如,(P146例4),为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 1,(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(1),“左,正,右,负,” ,(2),“左,负,右,正,” ,(自证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,点击图中任意处动画播放暂停,例1.,求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2,(极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,证:,(1),存在,由第一判别法知,(2) 类似可证 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3,(判别法的推广),则:,数 , 且,1) 当,为偶数,时,是极小点 ;,是极大点 .,2) 当,为奇数,时,为极值点 , 且,不是极值点 .,当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 ,故结论正确 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,利用 在 点的泰勒公式 ,可得,例如,例2中,所以,不是极值点 .,极值的判别法( 定理1,定理3 ),都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .,例如:,为极大值 ,但不满足定理1,定理3 的条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、,最大值与最小值问题,则其最值只能,在,极值点,或,端点,处达到 .,求函数最值的方法:,(1),求 在 内的极值可疑点,(2),最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别:,当 在 内只有,一个,极值可疑点时,当 在 上,单调,时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题,有时可根据,实际意义,判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解:,显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,在,及,取最大值 5.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此也可通过,例3.,求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相同 ,由于,令,( 自己练习 ),在闭区间,上的最大值和最小值 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,k,为某一常数 ),例4.,铁路上,AB,段的距离为100 km , 工厂,C,距,A,处20,AC,AB ,要在,AB,线上选定一点,D,向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3,:,5 ,为使货,D,点应如何选取?,20,解:,设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故,AD,=15 km 时运费最省 .,总运费,物从,B,运到工厂,C,的运费最省,从而为最小点 ,问,Km ,公路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,把一根直径为,d,的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面,的高,h,和,b,应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解,:,由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用开始移动,例6.,设有质量为 5 kg,的物体置于水平面上 , 受力,作,解:,克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题 .,为多少时才可使力,设摩擦系数,问力,与水平面夹角,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的大小最小?,令,解得,而,因而,F,取最小值 .,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,清楚(视角,最大) ?,观察者的眼睛,m ,例7.,一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于,解:,设观察者与墙的距离为,x,m ,则,令,得驻点,根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙,2.4 m,处看图最清楚 .,问观察者在距墙多远处看图才最,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由,正,变,负,为极,大,值,过,由,负,变,正,为极,小,值,(3) 第二充分条件,为极,大,值,为极,小,值,(4) 判别法的推广,( Th.3),定理3 目录 上页 下页 返回 结束,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的实际意义判别 .,思考与练习,(L. P500 题4),2. 连续函数的最值,1.,设,则在点,a,处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:,利用极限的保号性 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,设,在,的某邻域内连续, 且,则在点,处,(,A,) 不可导 ;,(,B,) 可导, 且,(C) 取得极大值 ;,(,D,) 取得极小值 .,D,提示:,利用极限的保号性 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,设,是方程,的一个解,若,且,则,在,(,A,) 取得极大值 ;,(,B,) 取得极小值 ;,(,C,) 在某邻域内单调增加 ;,(,D,) 在某邻域内单调减少 .,提示:,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P160 1,(5), (9);,2 ; 3 ; 5 ;,10; 14; 15,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,试问,为何值时,在,时取得极值 ,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,备用题,1.,求出该极值,并指出它是极大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求,解:,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求最大值为,第六节,一、 曲线的渐近线,二、 函数图形的描绘,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数图形的描绘,第,三,章,无渐近线 .,点,M,与某一直线,L,的距离趋于 0,一、,曲线的渐近线,定义 .,若曲线,C,上的点,M,沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线,L,为,曲线,C,的,渐近线 .,例如, 双曲线,有渐近线,但抛物线,或为,“纵坐标差”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 水平与铅直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例1.,求曲线,的渐近线 .,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 斜渐近线,斜渐近线,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( P75 题13),例2.,求曲线,的渐近线 .,解:,所以有铅直渐近线,及,又因,为曲线的斜渐近线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、函数图形的描绘,步骤 :,1. 确定函数,的定义域 ,期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .,为 0 和不存在,的点 ;,并考察其对称性及周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,描绘,的图形.,解:,1) 定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(极大),(拐点）,(极小),4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,描绘方程,的图形.,解:,1),定义域为,2) 求关键点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 判别曲线形态,(极大),(极小),4) 求渐近线,为铅直渐近线,无定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又因,即,5) 求特殊点,为斜渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6）绘图,(极大),(极小),斜渐近线,铅直渐近线,特殊点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无定义,例5.,描绘函数,的图形.,解:,1) 定义域为,图形对称于,y,轴.,2) 求关键点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 判别曲线形态,(极大),(拐点),(极大),(拐点),为水平渐近线,5) 作图,4) 求渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,水平渐近线 ; 垂直渐近线;,内容小结,1. 曲线渐近线的求法,斜渐近线,按作图步骤进行,2. 函数图形的描绘,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 曲线,(,A,) 没有渐近线；,(,B,) 仅有水平渐近线；,(,C,) 仅有铅直渐近线；,(,D,) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,拐点为,凸区间是,2.,曲线,的凹区间是,提示:,及,渐近线,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P75 13,(2);,P166 2 ; 5,作业,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,求笛卡儿叶形线,的渐近线 .,解:,令,y,=,t,x,代入原方程得曲线的参数方程 :,因,所以笛卡儿叶形线有斜渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,笛卡儿叶形线,参数的几何意义:,图形在第四象限,图形在第二象限,图形在第一象限,点击图中任意点,动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,主要内容:,一、 弧微分,二、 曲率及其计算公式,三、 曲率圆与曲率半径,平面曲线的曲率,第,三,章,一、 弧微分,设,在(,a,b,)内有连续导数,其图形为,AB,弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则弧长微分公式为,或,几何意义:,若曲线由参数方程表示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点,M,开始取弧段, 其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点,M,处的曲率,注意:,直线上任意点处的曲率为 0 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,转角为,例1.,求半径为,R,的圆上任意点处的曲率 .,解:,如图所示 ,可见:,R,愈小, 则,K,愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R,愈大, 则,K,愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率,K,的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,(1) 若曲线由参数方程,给出, 则,(2) 若曲线方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,处的曲率.,点击图片任意处播放暂停,说明:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,l,R,.,其中,R,是圆弧弯道的半径,l,是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化 ,因此铁道的,曲率应连续变化 .,例2.,我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且,l, 0 时,从而,在,上单调增.,得,例9.,设,在,上可导, 且,证明,f,(,x,),至多只有一个零点 .,证:,设,则,故,在,上连续单调递增,从而至多只有,一个零点 .,又因,因此,也,至多只有一个零点 .,思考:,若题中,改为,其它不变时, 如何设辅助函数?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.,求数列,的最大项 .,证:,设,用对数求导法得,令,得,因为,在,只有唯一的极大点,因此在,处,也取最大值 .,又因,中的最大项 .,极大值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,列表判别:,例11.,证明,证:,设, 则,故,时,单调增加 ,从而,即,思考:,证明,时, 如何设辅助,函数更好 ?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,例12.,设,且在,上,存在 , 且单调,递减 , 证明对一切,有,证:,设,则,所以当,令,得,即所证不等式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.,证:,只要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用一阶泰勒公式, 得,故原不等式成立.,例14.,证明当,x, 0 时,证:,令,则,法1,由,在,处的二阶泰勒公式 ,得,故所证不等式成立 .,与 1 之间),机动 目录 上页 下页 返回 结束,法2,列表判别:,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法3,利用,极值第二判别法,.,故,也是最小值 ,因此当,时,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15.,求,解法1,利用中值定理求极限,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2,利用泰勒公式,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法,3,利用罗必塔法则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P180,5 ; 7 ; 8 ; 10,(2) , (3) ;,11,(1),;,17,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,
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