电动力学静电场

,电动力学静电场5,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 静电场,电多极矩展开,哈尔滨工程大学理学院,电动力学静电场5,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,电动力学静电场,=,x,y,z,O,a,Q,x,y,z,O,Q,+,x,y,z,O,Q,Q,x,y,z,O,Q,零级近似,x,y,z,O,a,Q,x,y,z,O,Q,+,+,=,x,y,z,O,Q,Q,a/2,一级近似,x,y,z,O,Q,+,x,y,z,O,Q,Q,a/2,x,y,z,Q,Q,Q,Q,a,/2,2,x,y,z,O,a,Q,x,y,z,O,Q,二级近似,x,y,z,O,Q,=,x,y,z,O,Q,Q,a/2,+,x,y,z,Q,+,Q,Q,a,/4,Q,+,z,x,y,Q,Q,Q,Q,Q,Q,Q,Q,Q,+,x,y,z,O,Q,Q,a/2,+,x,y,z,Q,+,Q,Q,a,/4,Q,+,3,总之，移动一个点电荷到原点，对场点产生一个偶极子分布的误差；移动一个偶极子到原点，对场点产生一个电四极子分布的误差；移动一个电四极子到原点，对场点产生一个电八极子分布的误差；,。,2,、,点电荷系的多极展开式,设,V,内都是点电荷，其中第,i,个点电荷,q,i,位于点,A,处。,y,A,q,i,l,x,z,P,O,符合,R,l,条件，,P,点的电势,4,那么相对于原点，有,令,y,A,q,i,l,x,z,P,O,5,在点,O,处的电偶极矩的电势,在,O,处的电荷,Q,的电势,6,表示在点,O,处的电四极矩 的电势,每个包含,cos,的因式就是级数的勒让德多项式,P,n,(cos,),。,7,3,、,连续分布电荷体系的多极子展开式,假设区域V内电荷是连续分布的，且电势为,z,x,P,y,V,o,由于源点到场点的距离远大于带电区域,V,的线度，故可将 对 在原点附近作泰勒级数展开。,8,在,x=,0,邻域展开,在,x,=,a,邻域展开,对于三元函数,f,(,x,y,z,),，在原点,x,=0,y,=0, z=,0,邻域展开,9,在,x=a,，,y=b,，,z=c,点邻域展开,10,把 代替,f,(,x,),，因,r,是 的函数，,场点 固定，而让源点 变化，在 附近展开,11,因为,12,令,13,讨论展开式的每项物理意义：,展开式的第一项,表示体系总电荷集中于原点的势，零级近似。,展开式的第二项,表示体系总偶极子集中于原点所产生的势，一级近似。,展开式的第三项,表示体系总四极矩集中于原点产生的势，二级近似。,一个小区域内连续分布的电荷在远处激发的场等于一系列多极子在远处激发的场的迭加。,14,讨论：,1如果带电体系的总电荷为零，计算电势时必须考虑偶极子，只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩；如果带电体系的总电荷为零，总电偶极矩也为零，计算电势时必须考虑电四极矩。只有对原点不是球对称的电荷分布才有电四极矩。,（,2,）对电四极矩 的进一步认识,电四极矩是一个张量，有,9个分量,15,证明电四极矩 的9个分量，只有5个分量是独立的。,则 的,9,个分量只有,6,个分量独立。,单位张量,将此式加到 中去，并不改变 的值，即,16,重新定义,17,3几种典型的多极矩产生的场,a,z,P,(,x,y,z,),q,(0,0,z,),O,l,R,r,-,r,+,q,(0,0,z,),体系可看成小区域,(,R,l,),，体系对原点而言是不对称的，总电荷为零，故没有零级近似。,总偶极矩不为零,18,体系为小区域 Rl ，体系内总电荷为零，总偶极矩为零，故没有零级和一级近似。由于电荷分布不具有球对称性，存在电四极矩。,r,+,z,P,o,l,R,r,-,q,-q,b,a,-q,q,b,19,c),半轴为,a,b,c,椭球体均匀带电，总荷为,Q,，求它相对于椭球中心的电偶极矩、电四极矩及准确到二级近似下的电势，讨论旋转椭球,(,a=b,),和球体(,a=b=c,),的情况。,分析,电荷体,密度,积分都是对椭球进展的，为此引入广义球坐标变换,20,雅可比行列式为,21,对于广义球坐标,是从原点积分到椭球面上,所以，对于,r,积分区域，,r,: 0,1,这个变换是把半轴为,a,b,c,的椭球变在单位球。,22,该电荷系统电偶极矩各分量为,均匀带电椭球相对于原点的偶极矩为零。,23,对于电四极矩,24,25,另外,26,至此，根据电势的表达式，即有,27,当a=b时，是回转椭球，此时x2+y2=R2z2，那么,当,a=b=c,时，是均匀带电球体，此时,28,4,、电荷体系在外电场中的能量,设电荷系,e,的电势为,e,，另一个电荷系,的电势为,，,e,分布于 ，,分布于,总电场能量,自作用能,W,m,：,e,和,单独存在时的能量,两电荷系间相互作用能,W,i,总电荷分布,29,因此电荷体系在外电场中的能量为,因为,交换积分次序，故得到,电荷体系 在外场 中的能量。,30,假设电荷系,分布的区域,V,2,是外场中一个小区域，在其中外场的势 变化不大，取其中一点为坐标原点，则可对 在原点附近作泰勒级数展开,1,、展开式第一项,表示把体系电荷集中于原点时，一个点电荷在外场中的能量，作为零级近似的结果。,31,2,、展开式第二项,表示把体系的电偶极矩集中到原点时，一个电偶极矩在外场中的能量，作为一级近似的结果。,3,、展开式第三项,表示把体系的电四极矩集中到原点时，一个电四极矩在外场中的能量，作为二级近似的结果。,综上所述，一个小区域内连续分布的电荷在外场中的能量等于一系列多极子在外场中的能量之和。,32,5,、,电偶极子在外场中所受到的力和力矩,一个电偶极子在外场中的能量为,假设电偶极子相对外场有一平移或转动，而偶极矩的大小和外场保持不变，那么由平移或转动引起的系统能量的变化也就等于相互作用能的变化，即,若偶极矩平移 ，则由能量守恒得,33,利用,同理，将偶极矩转动一个,，力矩 作的功为,因为 的大小不变，仅改变方向，故,34,谢谢观赏！,2020/11/5,35,