理学n阶方阵的行列式

,-,*,-,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,理学n阶方阵的行列式,2.2 n阶(,方阵的)行列式,主要内容:,一、行列式的定义,二、行列式的性质,三、行列式的展开定理,2,上两式相加求得(设分母不为零),同理可求得,用消元法求解,引例:,一、行列式的定义,3,定义二阶行列式:,那么,如何工整简单便于记忆地表示这两个解?,4,三阶行列式,按某种运算规那么得到的一个数记为,定义,设由9个数排成的3行3列的数表,5,说明:,共3!=6项,正负项各占半,每项均为三个元素乘积,(不同行不同列),例求多项式,解：,6,问空间解析中的三个向量,是否共面？,由高等数学,三个向量共面的充要条件是混合积为零。,所以它们不共面，即异面。,例,7,把二阶行列式与三阶行列式加以推广得,应有,不同列元素的乘积,定义1,设有,排成,作出不同行不同列的,并冠以符号,称为,8,定义：,剩下的元素按原次序排成的,例如：,9,定义2,设方阵,1),2),即方阵的行列式等于第一行元素与其对应的,代数余子式乘积的和,例如求二阶，三阶行列式,10,例,证明对角行列式,其中主对角线上的元素不全为零,而其他元素全为零的行列式,证明：,11,证明下三角行列式,例,证明：,12,二、,行列式的性质,为什么要研究行列式的性质?,性质1,行列式与它的转置行列式相等。,说明 行列式的性质但凡对行成立的，对列也成立，,反之亦然。,13,计算下三角行列式,注意！,例1,14,例如,性质2 互换行列式的两行列,行列式变号。,再如，证明,15,推论 如果行列式有两行列完全一样，那么此行列式为零。,例如,16,性质3 行列式的某一行列中所有元素都乘以,同一数k，,等于用数k乘此行列式,推论行列式的某一行列中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。,例如,17,性质行列式中如果有两行列元素成比例，那么此行列式为零,例如,18,推论如果行列式有一行列为零，那么行列式等于零。,例如,19,性质 假设行列式的某一行列的元素都是两数之和，那么可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列式的和。,例如,20,性质,把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。,三角形，然后计算行列式的值。,只用,这种变换，把行列式化为,例,21,只用 变换或只用 变换一定能把行列式化为上(下)三角形.行列式的值不变.,22,则,例,23,证明,24,25,例,26,例,计算n阶行列式,解：,27,28,例,爪形行列式,29,思考题：,计算以下行列式：,30,行列式的值等于其任一行(列)的各元素与其对应,性质,的代数余子式乘积之和，即：,证明：,三行列式的展开定理,31,32,定理,行列式的值等于其任一行(列)的各元素与其对应,的代数余子式乘积之和；,行列式的任一行(列)的各元素与另一行列相应元素,的代数余子式乘积之和等于零,33,例1,计算,按第3行展开,34,求,例2,35,例,主对角线以及主对角线,以下元素全为，其它元素全为零，,所有元素的代数余子式之和,以前的考试题,解：,同理其它行的元素对应的代数余子式之和也为零,所以所有元素对应的代数余子式之为,36,范德蒙德(Vandermonde)行列式,例3,从最后一行开始,每行减去上一行的 倍.,37,按最后一列展开再提取每列的公因子,38,39,40,(1)按范德蒙行列式的结果求出 x3 的系数;,(2)按最后一列展开求出 x3 的系数(与所求可能差符号),(3)比较二者应相等.,例,求,解：提示,41,例,计算以下n阶行列式,解:,按第一列展开,42,43,推论:,行列式中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应,元素的代数余子式乘积之和为零,即:,证明：,第i行,第j行,=0,44,方阵的行列式,由,n,阶方阵,A,的元素所构成的行列式，,叫做方阵,A,的行列式，记作 或,运算规律,设,A,，,B,均为,n,阶方阵,(性质，行列式的乘法定理),45,问,：,对举例说明,设,则：,思考：,如果,为奇数阶的反对称矩阵,，则,46,设,A,是奇数阶方阵，且,证明,证,例16,47,设,求：,求,解：,例17,48,伴随矩阵,矩阵的转置矩阵,由 |,A,| 的各元素的代数余子式 所构成,称为,A,的,伴随矩阵,。,思考：,且有,在下一节将起到很重要的作用,49,设,解：,设A为阶方阵，,，证明：,证明:,设,例18,例19,50,学习重点：行列式的定义起源于解线性方程组，但解线性方程组后来被矩阵理论所代替，再也不用行列式来求解线性方程组了。行列式的价值主要表达在理论推导上，其中重要的有三大定理：,(1) 行列式的展开定理;,(2) 行列式的乘法定理;性质,(3) Cramer法那么第六节,本节的学习重点是掌握行列式的计算。在计算方法上重点掌握化三角形法和递推法。对行列式的两个等价定义，只需有一个粗略的了解，对行列式的计算不要过分地追求计算技巧。,51,作业:,52,思考题:,1.A为10阶方阵,那么:,2.计算:,满足:,求,53,4.,设,那么,5.,设,那么必有,54,开展简史：行列式起源于求解线性方程组。用行列式的方法解含有两个、三个和四个未知数的联立线性方程，可能是由Maclaurin在1729年开创的，并发表在他的遗作?代数论著?(1748)中。Vandermonder(1772)是第一个对行列式理论作出连贯的逻辑阐述的人，他给出了一条法那么，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。Laplace参照Cramer和Bezout的工作，在1772年的论文?对积分和世界体系的探讨?中，证明了Vandermonder的一些规那么，并推广了他的展开行列式的方法，现称为Laplace定理(行列式展开定理是其特殊情况)。行列式这个词是Cauchy在18世纪的著作中首先使用的，把元素排成方阵并采用双重足标的记法也是属于他的，而采用两竖线是Cayley在1841年引进的。,55,汇报结束,谢谢大家,!,请各位批评指正,