第三章 采样与量化

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 采样与量化,3.1,采样,3.2,量化,3.3,重构与内插,3.4,仿真采样频率,本课的主要目的是研究利用数字计算机对通信系统进行精确的仿真所需的基本方法。在大多数的通信应用中，是通过要研究的系统来产生和处理信号波形的。当然，计算机只能处理所关心的表示信号波形的采样点的数值。另外，采样点的值是经过量化的。因此，在所有的数字仿真中，采样和量化都是基本的操作，其中每一个操作都会给仿真结果带来误差。而完全消除这些误差是不可能的，故往往需要作折中。我们所能做的顶多是使采样和量化对仿真精度的影响最小化。,3.1,采样,数字信号是通过对模拟信号进行采样、量化和编码得到的。,模拟信号,：,是时间和幅度都连续的信号，记作,x,（,t,）。,采样数据信号,：,对模拟信号采样，采样结果是产生幅度连续而时间离散的信号，,数字信号,：,通过将时间采样值编码到一个有限的数值集合，可由采样数据信号得到数字信号。,注意：,在这些处理的每一步中都会引入误差。,3.1.1,低通采样定理,从时间连续信号,X(t,),到数字信号转换第一步就是，对,X(t,),进行等时间间隔采样，得到采样值 。参数,Ts,是采样周期，其倒数就是采样频率,fs,。,采样操作的模型如下图所示。,采样操作和采样函数,采样信号,Xs(t,),是用信号,X(t,),乘以周期脉冲,p(t,),来产生。也即,信号,p(t,),叫采样函数。假设采样函数为窄脉冲，其取值为,0,或,1,。当,p(t,)=1,时，,Xs(t,)=,X(t,),，当,p(t,)=0,时,Xs(t,) =0,，,p(t,),可以是任意的。,由于,p(t,),是周期信号，可以用傅里叶级数表,示为,式中的傅里叶系数由下式给出：,将式,(3.2),带入式,(3.1),中得采样后的信号为,采样信号的傅里叶变换为,交换上式中积分和求和的顺序，有,由于连续信号,X(t,),的傅里叶变换为,则由式,(3.6),可得,采样信号的傅里叶变换,从上式可以看出，对时间连续信号的采样导致了信号频谱在直流点（,f=0,）和所有采样点的谐波（,f=,nfs,）处产生重复。,由于假定采样是瞬时的，,p(t,),可定义为：,这就是所谓的冲击函数采样，其中采样的值由冲击函数的权来表示，将式,(3.9),代入式,(3.3),有,应用 函数的移位特性，有,利用式（,3.2,）显示的结果，,p(t,),的傅里叶变换可写成,对脉冲函数采样，对所有的,n,，式,都成立。因此应用式,(3.8),，,采样后信号的频谱变为,这个结果也可从下面的表达式得到,采样在频域表示,下图为由式,(3.14),产生的带限信号的采样,x,s,(f,),的情况。,重构：,通过使用低通滤波器在,n,0,附近提取,x,s,(f,),的频谱，可以完成从,x,s,(t,),到,x(t,),信号的重构。,要求：,要完成无差错的信号恢复，要求,x,s,(f,),在,f=,fs,附近的频谱与在,f=0,处的频谱没有重叠。换句话说式,(313),中的频谱必须是分离的。,定理一,如果采样频率,fs,大于,2f,h,，那么带限信号就可以无差错地通过其采样信号恢复，这里,f,h,表示被采样信号中出现的最高频率。,注：这个定理通常指低通信号的采样定理，但它对带通信号同样适用。,混叠：,如果,fs,W,这种典型情况下，用宽带信号所需的采样率对窄带信号进行采样，其结果将导致仿真的时间过大，效率会很低。理想的是每个信号的采样就采用适合本信号的采样率。,上采样和内插,上采样,就是提高采样频率。上采样使得采样周期降低,M,倍。,因此，根据对应的连续时间信号,x(t,),，上采样过程从原有的采样值 生成新采样值 。作为例子，假定通过对重构信号,x,r,(t,),在,t=,n,T,s,/,M,处内插来构造一组新的采样，其中重构信号,x,r,(t,),由式,(3-49),给出。进行操作后为：,对,sinc,(.),进行截断有,对,sinc,(.),进行截断有,虽然不完美但是这是一个更实际的内插器，增大,L,就可以降低内插的误差。然而，由于每个内插采样点需要,2L+1,个样点，对于大的,L,，计算负荷往往是难以接受的。因此，在计算负荷和精度之间就有一个折中，这种折中在我们的仿真研究中会多次碰到。,更实用的内插器是线性内插器，,它比,sinc,(),函数内插所需的计算量要小得多。线性内插器的脉,冲响应定义为：,内插操作图如下：,很明显，上采样和下采样郡引入了很多的额外开销。如果上采样倍数,M,适度，比方说是,2,或,3,，通常最好用单采样频率开发仿真系统，从而窄带信号的过采样会出现在系统中。,然而，如果,B,和,W,相差太多，那么通常最有效的方法是对仿真中每个具有不同带宽的信号采用合适的采样频率。,上采样和内插操作,下采样（抽值）,下采样,是频率降低的过程。,实现方法：,这个过程通过用单个采样代替,M,个采样来完成，因此下采样比上采样简单得多。,下采样器输出的采样点是通过在采样过程中对采样周期增加,M,倍来完成的，因而下采样器输出的采样点记作 。由 给出。采样值由下式得到,3.4,仿真采样频率,开发仿真时要作的一个基本决定是选择多大的采样频率。对于没有反馈的线性系统，必须的采样频率是由可接受的混叠误差决定的，而这又有赖于成型脉冲的功率谱密度。因为成形脉冲对选择合适的采样频率很重要。,问题：,从采样的研究得知，要完全消除混叠误差需要无限的采样频率，这在实际中显然是不可能的。,随着采样频率的增加，对每个通过系统的数据符号都要处理更多的采样点，而这会增加执行仿真所需时间。在实际中不可能消除混叠现象，一个自然的策略就是选择合适的采样频率，以便在混叠误差和仿真时间之间达成折中。,表示数据随机序列。在二进制系统中，,ak,的典型取值是十,1,和,-1,，,P(t,),是脉冲成形函数，,T,是符号周期，而是在采样周期上的均匀随机变量，参数,A,是用于确定传输信号功率的比例常量。假定 和,分别表示数据序列的均值和自相关函数,。,传输通用模型如下,其中,3.4.1,通用开发,传输信号的自相关函数为：,式中,所需采样频率由传输信号的,PSD,确定。应用维纳,辛钦定理。,有：,我们目标是选择合适的采样频率，而这个采样频率依赖于出现在仿真模型中的波形。,其中，,G(f,),是脉冲成形函数,P(t,),的能量谱密度，,=,G(f,),P(f,),是,p(t,),的付里叶变换,3.4.2,仿真采样率,现在回到将采样频率和给定脉冲成形相关的问题上来。这种关联是通过考虑采样过程的信噪比来完成的，其中的噪声功率来自于混叠。目标是选择一个采样频率，使得混叠误差相对于所考察的系统性能的降低是可以忽赂的。我们将看到，所需的采样频率依赖于出现在仿真模型中的波形。,以每个符号六个采样的速率进行采样的矩形脉冲序列,如上图所示假设采样频率是符号频率的六倍，,数据序列的功率谱密度为：,以每个符号,m,个采样（,f,s,=,m,/,T,）对数据序列进行采样有,即,由于混叠的信噪比可以表示为,信号功率：,噪声功率：,我们利用,PSD,是频率的偶函数这一事实。信号功率可以通过在仿真带宽 内，对 的,n=0,项作积分确定。混叠噪声的功率是落在仿真带宽内的所有频率平移项,(n 0),的功率总和，,因此,矩形脉冲波形的信号混叠噪声比,注意到，对每个符号进行,M,10,个采样的情况，,(,SNR)a,的值稍稍小于,17dB,而且,(,SNR)a,的值随,m,的增加而增大。然而，随着,m,的增加，它对,(,SNR)a,的影响减小。同时注意到，对矩形成形脉冲，采样后信号的,PSD,以,1,f,2,减小。对于三角成形脉冲，采样信号的,PSD,以,1,f,4,减小。因此，对于给定的,m,，三角成形脉冲的,(,SNR)a,比矩形成形脉冲的要大，,矩形成形脉冲代表了一种最坏的情况。,总结：,在实际的通信系统中 ，要选择成形脉冲,P(t,),来达到所需带宽效率。高带宽效率意味着,x(t,),的频谱在,f=0,附近是紧凑的。因此，对给定的,(,SNR)a,高带宽效率的信号需要更小的,m,。,