球的内切与外接问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,内切与外接问题,球,球的体积、表面积公式：,4.,若两球体积之比是,1:2,，则其表面积之比是,_,.,练习,1.,若球的表面积变为原来的,2,倍,则半径变为原来的,_,倍,.,2.,若球半径变为原来的,2,倍，则表面积变为原来的,_,倍,.,3.,若两球表面积之比为,1:2,，则其体积之比是,_,.,课堂练习,如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证,:,(1),球的表面积等于圆柱的侧,面积,.,(2),球的体积等于圆柱体积的三分之二,.,O,用一个平面去截一个球,O,，截面是圆面,O,球的截面的性质：,1、球心和截面圆心的连线垂直于截面,2、球心到截面的距离为d，球的半径为R，则,截面问题,O,A,B,C,例,.,已知过球面上三点,A,、,B,、,C,的截面到球心,O,的距离等于球半径的一半，且,AB=BC=CA=,cm,，求球的体积，表面积,例题讲解,球与多面体的接、切,定义,1,：若一个多面体的,各顶点,都在一个球的球面上,， 则称这个多面体是这个球的,内接多面体,， 这个球是这个多面体的,外接球,。,定义,2,：若一个多面体的,各面,都与一个球的球面相切,， 则称这个多面体是这个球的,外切多面体,， 这个球是这个多面体的,内切球,。,棱切：,一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。,内切球球心到多面体各面的距离均相等，,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等,正方体的内切球,正方体的,内切球,的半径是棱长的一半,中截面,切点：,各个面的中心,。,球心：,正方体的中心,。,正方体的外接球,正方体的,外接球,半径是体对角线的一半,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,对角面,正方体的棱切球,切点：,各棱的中点,。,球心：,正方体的中心,。,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,中截面,.,正方体的棱切球,正方体的,棱切球,半径是面对角线长的一半,.,球与正方体的“接切”问题,典型,：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比,.,变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为,24,，则该球的体积为,.,1,、求正方体的外接球的有关问题,例,1,、若棱长为,3,的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为,.,2,长方体与球,长方体的外接球,长方体的（体）对角线等于球直径,一般的长方体有内切球吗？,没有。,一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的,5,个面相切。,如果一个长方体有内切球，,那么它一定是,正方体,？,2,、求长方体的外接球的有关问题,例,2,、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为,1,2,3,，则此球的表面积为,.,解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为 ，故球的表面积为,.,变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为,4,，体积为,16,，则这个球的表面积为（ ）,A. B. C. D.,C,如何求,直棱柱的外接球,半径呢？（底面有外接圆的直棱柱才有外接球）,（,1,）先找外接球的球心：,它的球心是连接上下两个多边形的,外心,的线段的中点；,（,2,） 再构造直角三角形，勾股定理求 解。,正四面体与球,1.,求棱长为,a,的正四面体的外接球的半径,R,.,2.,求棱长为,a,的正四面体的棱切球的半径,R,.,正四面体的外接球和棱切球的球心重合。,3.,求棱长为,a,的正四面体的内切球的半径,r,.,正四面体的外接球和内切球的球心为什么重合？,？,正四面体的外接球和内切球的球心一定重合,R:r=3:1,正四面体的内切球,棱切,球,外接球,三个球心合一,半径之比为,：,P,A,B,C,R,.,正四面体的外接球还可利用直角三角形勾股定理来求,D,O,B,D,A,M,R,O,P,A,B,C,D,K,H,.,正四面体的,内切球还可利用截面三角形来求,O,1,A,B,E,O,1,F,求棱锥外接球半径常见的补形有：,正四面体常补成正方体；,三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长（正）方体；,三组对棱（两条棱所在任意平面都不平行）分别相等的三棱锥可补成长（正）方体；,侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱,总结,SA=BC,SC=AB,SB=AC,小结,2,求棱锥外接球半径的方法：,（,1,）补形法（适用特殊棱锥）,（,2,）勾股定理法 （通法）,关键是,找球心,，画出截面图，构造与,R,有关的直角三角形。,已知长方体的长、宽、高分别是 、 、,1,，,求长方体的外接球的体积。,变题：,2.,已知球,O,的表面上有,P,、,A,、,B,、,C,四点，且,PA,、,PB,、,PC,两两互相垂直，若,PA=PB=PC=a,，求这个球的表面积和体积。,A,C,B,P,O,1,、正多面体的内切球和外接球的球心重合,2,、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合,3,、体积分割是求内切球半径的通用做法,【,典例,】,(2012,新课标全国卷,),已知三棱锥,S-ABC,的所有顶点都在球,O,的球面上，,ABC,是边长为,1,的正三角形，,SC,为球,O,的直径，且,SC=2,，则此棱锥的体积为,( ),(A) (B) (C) (D),A,2.(2013,昆明模拟,),一个几何体的,三视图如图所示，它们都是腰长为,1,的等腰直角三角形，则该几何体,的外接球的体积等于,( ),(A) (B),(C) (D)2,B,