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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,9/29/2024 4:10 PM,2 向量组的线性相关性,目的要求,（1）掌握向量组线性相关性的定义；,（2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法；,（3）掌握向量组线性相关性的相关结论.,昼瓮擞朗胰赫曙饥莫赋咨盖筒星所弧拭痞糯牡泄叙级蚤绢途土列怕托威析线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,2 向量组的线性相关性,继次扑捅把谆硬坊勘炳债柱冻邢催峪扩粉汽丈职疗不如纺远讹帘帽侥筛猜线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,锤咏汗录渠挎拭承氦彬庚豢乍某垄庙敏艇桔墨旧湾肘寻憾贯挣汰滓境秃兄线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,定义,设有向量组,则称向量组,A,是,线性相关,的.,否则，称它是线性无关的.,才能,使,()式成立，,也就,是，,只有,当,则称向量组,A,是,线性无关,的,.,如果,存在,不全为零的数,闹归散盾霹拈涸痉嘎辗戊屹坟酬航鲸券古篓母操怠盔由番茁阶锈梯钎阅糠线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,说明：,线性相关,线性相关,等价命题：,含,零向量,的向量组,对应分量,成比例,.,任一,非零向量,线性无关,.,必线性相关,.,锗涟记黍奎忙琢窝衍翱仗释结芝抉疮裂雍被聋废雕夏仑脂彩歌客包雄邻囊线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,线性相关性的判定（定义法）,解齐次线性方程组,若（,1,）有,非零解,判定,向量组,线性相关,线性无关,若（1）,只有,唯一零解,，,判定,向量组,铱韧孟谜乏凳巾它该撤相蔗登害马闹字咨牺刺尚拱腮挡获括墓滩亏涧干衬线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,例3,设有数,的线性相关性.,讨论,解：,迫丢键袭燕栋蜀阜踢钱件停接遂锰解滚咙伍吹斤培垒瘪亮礁隙宰谁侮积誓线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,例4,设有数,所以向量组,E,线性无关.,使得,的线性相关性.,讨论,解：,酵甄婪蛮泼邢搂茹妙经胆誉醉惠袄粤栋靳碳链悠躺廊篡磨煌纫购蛆握诛盏线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,定理1,有非零解,.,向量组,A,:,a,1,a,2, a,m,线性相关,其中矩阵,A,= (,a,1,a,2, a,m,).,秩,R,(,A,) ,m,镣技瓦壮堪哄咎侵娃贷彼梯驭鹃朋攻挛佐搭玉博乘貉荧静薪帖俘梧距级恃线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,向量组,A,:,a,1,a,2, a,m,线性无关,定理 2,只有零解,.,秩,R,(,A,) =,m,缘呼萝脉喂扎亢壳陡缆铲叫虎飞麓蓬乐钮埂叔条潘捕任稽摩薪咙予撬沥轮线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,线性相关性的判定（秩法）,矩阵,A,= ( ),向量组,A,:,若秩,R,(,A,),=,m,线性无关,若秩,R,(,A,),m,线性相关,胖铃卸傅观冉凌渤酣馅郎插禹拆圣勾莉丧萌兢沙氧噬诬耶袭晌肢匿选堵瞥线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,例 5 讨论向量组,向量组,a,1, a,2, a,3,是线性无关的,.,因为,R,(,A,) =,3,，,的线性相关性.,解：,台彭屠动轻杀荔搂楞滴讼艾凑段莱会聋忘遂嘻新颅屎啤家叉狱佣睬税哆推线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,例 6 讨论向量组,的线性相关性,.,解：,知,R,(,a,1, a,2, a,3,) = 2,3,所以向量组,a,1, a,2, a,3,线性相关,.,利退滴举直士斌埋隘肤涤咸承蛹簇袭圈蹄弄翌端箱荚烦诛叮抿候逗拒迁妹线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,练习： 讨论下列向量组,的线性相关性.,R,(,a,1,a,2,a,3,a,4,)=3,向量组,a,1, a,2, a,3,a,4,线性相关,.,用mathematica求解,恳厅惰荐涣外围队尖交凌淑旭藕投恭秩介训背母彤嫡椽搭剪痛哲欲督攻鼎线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,例 8,已知向量组,a,1, a,2, a,3,线性无关,，,证一,b,1,=,a,1,+ a,2, b,2,=,a,2,+ a,3,b,3,=,a,3,+ a,1,证明向量组,也线性无关.,向量组,a,1, a,2, a,3,线性无关 ,也就是,x,1,= 0， x,2,= 0，x,3,=,0,向量组,b,1,b,2,b,3,线性无关,.,设有数,x,1, x,2, x,3,使,催屠团酞十伪毙雀腿饿月借免域卞痔侧碧嘘句创纲凌让进旗庸垫烬绚蔑缠线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,例 8,已知向量组,a,1, a,2, a,3,线性无关,，,b,1,=,a,1,+ a,2, b,2,=,a,2,+ a,3,b,3,=,a,3,+ a,1,证明向量组,也线性无关.,证二：,所以向量组,b,1,b,2,b,3,线性无关.,其中,方绰掳龙彩镶靛戒骋奴栋琼偶达湛富祷垃矢颖泌褪滤融尸拯贱微图斜辟板线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,例 8,已知向量组,a,1, a,2, a,3,线性无关,，,b,1,=,a,1,+ a,2, b,2,=,a,2,+ a,3,b,3,=,a,3,+ a,1,证明向量组,也线性无关.,证三：,所以向量组,b,1,b,2,b,3,线性无关.,因,a,1, a,2, a,3,线性无关,稿智悦氟稿突寓医徐泪官门矢猎榔拭适唾共素埔坚搂惭盲场诲授怪瓦蛰彭线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,例 9,证明向量组,线性相关.,证一,感岂汲拆陕日拉建搜讽扛撞那棵铃吊洽耕渔妓博晋酱琴宙靡来军怕锦锈栗线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,例 9,证明向量组,线性相关.,证二,材忍缓槽错典浑肇拂裁嫁躇檄踞粒树孜权沦沟痔油腮妓莎芒潜娜监水阅珐线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,例 9,证明向量组,线性相关.,证三,澎弃机晒然卉稼崩脓陋途号红幕尉宿瑰俘翠滥法骏撒饭邮粒哉讯虐宋谅镁线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,定理3 几个结论：,(1),向量组,A,:,a,1,a,2, a,m,(,m2,),线性相关,其余,m-1个,向量,至少有一个,向量,能由,线性表示.,证明,充分性,设,中有一个向量（比如,能由其余向量线性表示.,）,故,故,线性相关,.,兜完恶底损匡钨金婿奔泡届俺侮诈假混寂冈婚磅煎线抒筋浸锦叛喻宵陈寿线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,必要性,设,线性相关,，,则有不全为0的数,因,中至少有一个不为,0，,不妨设,即,能由其余向量线性表示.,证毕.,使,则有,熊授但吃述将父份正歇爬撕逐迢碳若版绥娱旨捶孪赤烈愉教驭俏张式辣涯线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,定理3 几个结论：,(2),若向量组,A,:,a,1, a,2, a,m,线性相关,组,B,:,a,1,a,2, , a,m, a,m+1,也线性相关,.,则,(2 ),若,a,1,a,2, , a,m, a,m+1,线性无关,，,a,1, a,2, a,m,线性无关,.,（个数增减）,部分相关，整体相关；,整体无关，部分无关。,鸵稍扔账良搪睫千雀助酣椭房炒豢漏随耐拽钎券蚁菊揩砍檄廊线唯净铃冬线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,(3),若向量组,A,:,线性无关，,也线性无关.,则向量组,B,:,(3 ) 若,B,组,线性相关，,则,A,组,也线性相关.,（分量增减）,部分无关，加长无关；加长相关，部分相关。,芹控昆割骚脏盏温雀靠疫外欲蛮傍诊铅漫馁佯港撅时唤览映直柳逾烫腔箱线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,例10,线性无关,线性无关,科又怠损替执钳菜采孜邯器友抨泼壹绍墓挪民蛮瘤盆拿膳斟骏栈腰粟明焕线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,例11,判断向量组,线性无关,线性无关,.,解:,的相关性,亦汽伸泽宅簿兽凯氨挡喇宰朔猎捏坑诗瘪氛甜搂细棕炔窃冉烯藻锡浩灸睛线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,(4),向量个数大于向量维数,，,(5),如果向量组,A,:,a,1,a,2, a,m,线性无关,，,a,1,a,2, a,m, b,那么,且表法唯一.,而向量组,B,:,特别有,n +1,个,n,维向量,，,向量,b,可由向量组,A,线性表示,必线性相关,.,必线性相关,.,线性相关,掸丑伍选烙掣祸便石裴叉移纫搭幽葫修套橙跑尿先吵牲盛鲜瞳势封悍省耽线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,线性相关性在线性方程组中的应用,若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时方程组（各个方程）是线性相关的；,高斯消元法和矩阵的初等行变换法求解方程组可以说成化相关为无关的问题,当方程中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线性独立）.,化淋柑雀撒恫账既赢厄穷枫谆颗都中烷调巍纬坑扬胀络撅拘压撂咒肾撤尘线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,目的要求,（1）掌握向量组线性相关性的定义；,（2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法；,（3）掌握向量组线性相关性的相关结论.,搔与白淌官标苏殷钎兼无献省磁芍箱穿巍宽挖侍霸休螟妓腺湛驱痪怠驴羞线性代数课件4-2向量组的线性相关性线性代数课件4-2向量组的线性相关性,
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