离散型随机变量的均值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3.1,离散型随机变量的均值,1.,n,次独立重复试验,其中,0,p,1,p,+,q,=1,k,=0,1,2,.,n,P(,X,k,),p,k,q,n,k,C,k,n,则称,X,服从参数为,n,，,p,的二项分布，,记作,X,B,(,n,，,p,),一般地，由,n,次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即,A,与，每次试验中,P(,A,),p,0,。称这样的试验为,n,次独立重复试验,，也称,伯努利试验,。,n,次独立重复试验的特征为：,1,）每次试验是在同样的条件下进行的；,2,）各次试验中的事件是相互独立的；,3,）每次试验都只有两种结果,:,发生与不发生；,4,）每次试验,某事件发生的概率是相同的,.,2.,二项分布,复习回顾,一般地,设离散型随机变量,可能取的值为,x,1,，,x,2,，,，,x,i,，,，,取每一个值,x,i,(,i,1,，,2,，,),的概率,P(,x,i,),p,i,，则称下表,为随机变量,的概率分布,.,由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布都具有下述两个性质：,3.,离散型随机变量的概率分布,x,1,x,2,x,i,P,p,1,p,2,p,i,（,1,）,p,i,0,，,i,1,，,2,，,，,n,（,2,）,p,1,p,2,p,i,+p,n,1,复习引入,对于离散型随机变量,可以由它的概率分布确定与该随机变量相关事件的概率,.,但在实际问题中,有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征,.,例如,:,要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平,很重要的是看,平均分,；要了解某班同学数学成绩是否,“,两极分化,”,则需要考察这个班数学成绩的,方差,。,我们还常常希望,直接通过数字,来反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有,期望与方差,。,按,3,：,2,：,1,的比例混合，混合糖果中每一粒糖果的质量都相等,.,如何对混合糖果定价才合理,定价为混合糖果的平均价格才合理,问题情景,18,元,/kg,24,元,/kg,36,元,/kg,m,千克混合糖果的总价格为,18,元,/kg,24,元,/kg,36,元,/kg,情景探究,按,3,：,2,：,1,混合以下糖果,平均价格为,36,24,18,P,X,权数,加权平均,一,.,离散型随机变量的均值或数学期望,一般地,若离散型随机变量,X,的概率分布为,X,1.,定义,2.,性质,已知随机变量,X,其均值为,E,(,X,).,若,Y,aX,b,其中,a,b,为常数,则,Y,也是随机变量,.,并且随机变量,Y,的均值为：,E,(,Y,),=,E,(,aX,b,),aE,(,X,),b,p,n,x,n,p,k,x,k,p,2,x,2,p,1,x,1,P,X,p,n,ax,n,+,b,p,k,ax,k,+,b,p,2,ax,2,+,b,p,1,ax,1,+,b,P,Y,随机变量,X,的分布列为,：,随机变量,Y,=,aX,+,b,的分布列为：,随机变量,Y,的数学期望是：,例,1.,在篮球比赛中,罚球命中,1,次得,1,分,不中得,0,分,。,如果某运动员罚球命中的概率为,0.7,那么他罚球,1,次的得分,X,的均值是多少？,X,1,0,P,0.,7,0.,3,解,:,据题意,X,的分布列为,故,他罚球,1,次的得分,X,的均值是,0.7,一般地,如果随机变量,X,服从两点分布,那么,E,(,X,)=,？,X,0,1,P,1,p,p,若,X,服从两点分布,则,E,(,X,)=,p.,二,.,两点分布的均值,?,如果,X,B,(,n,，,p,),，那么,E,(,X,)=,？,三,.,二项分布的均值,若,X,B,(,n,，,p,),则,E,(,X,)=,np.,注,:(1).,随机变量的均值是常数,而样本的平均值是随着样本的不同而变化的,.,因此,样本的平均值是随机变量,;,2.,随机变量,的分布列是,4,7,9,10,P,0.3,a,b,0.2,E(,),=7.5,则,a=_,b,=,_;,0.4,0.1,3.,一个袋子里装有大小相同的,3,个红球和,2,个黄球,从中有放回地取,5,次,则取到红球次数的数学期望是,.,3,练习,:,1.,随机变量,的分布列是,1,3,5,P,0.5,0.3,0.2,(1).,则,E(,),=_;,2.4,(2).,若,=2,+1,则,E()=_;,5.8,例,2.,一次英语单元测验由,20,个选择题构成,每个选择题有,4,个选项,其中有且只有一个选项是正确答案,每题选择正确答案得,5,分,不作出选择或选错不得分,满分,100,分,学生甲选对任一题的概率为,0.9,学生乙则在测验中对每题都从,4,个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。,解,:,设学生甲和学生乙在这次测验中选对的题数分别是,E(,),20,0.9,18,，,E( ),20,0.25,5,由于答对每题得,5,分,所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是,5,和,5 .,这样,他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5,),5E,( ),5,18,90,，,E(5 ),5E( ),5,5,25,课堂小结,1,）离散型随机变量取值的平均值,数学期望,2,）数学期望的性质,3,）若随机变量,X,服从两点分布,X,1,0,P,p,1,p,则,4,）若随机变量,X,服从二项分布,即,X,B,（,n,p,）,则,?,如果,X,B,(,n,，,p,),，那么,E,(,X,)=,？,若,X,B,(,n,，,p,),，则,E,(,X,)=,np.,则,E,(,X,),p,若,X,H,(,N,，,M,，,n,),则,E,(,X,),若,X,B,(,n,，,p,),则,E,(,X,),np,若,X,B,(1,，,p,),各种不同概率模型下的数学期望,例,1,甲、乙两名射手射击的环数为两个相互独立的随机变量,X,与,Y,，,且,X,，,Y,的分布列为,：,问：甲、乙两名射手谁的射击水平高,?,X,1,2,3,P,0.3,0.1,0.6,Y,1,2,3,P,0.3,0.4,0.3,所以，甲,射手,比,乙射手,的,射击,水平高,.,解：,例题讲解,设在一组数据,x,1,，,x,2,，,，,x,n,中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均值是：,叫做这组,数据的方差,.,方差说明了这组数据的波动情况,.,离散型随机变量的方差定义,对于离散型随机变量,X,的概率分布如下表：,(,其中,p,i,0,，,i,1,，,2,，,，,n,；,p,1,p,2,p,n,1),X,x,1,x,2,x,n,P,p,1,p,2,p,n,(,x,i,E,(,X,),2,描述了,x,i,(,i,=1,，,2,，,，,n,),相对于均值,E,(,X,),的偏离程度，故,(,x,1,E,(,X,),2,p,1,(,x,2,E,(,X,),2,p,2,.,(,x,n,E,(,X,),2,p,n,称为离散型随机变量,X,的,方差,，记为,D,(,X,).,其算术平方根为,X,的,标准差,： 记为,随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的,稳定与波动,，,集中与分散,的程度,.,离散型随机变量的方差定义,定义深析,随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别,？,0,1,2,P,0.4,0.2,0.4,0,1,2,P,0.1,0.8,0.1,甲工人：,乙工人：,例,1,甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是,、,，分布列如下,：,试求随机变量,、,的期望和方差,.,解：,从上可知，,.,所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均在,9,环左右，但射手甲所得的环数比较集中，得,9,环较多，而射手乙所得环数比较分散，得,8,环和,10,环的次数要多些,.,例题讲解,例,2,甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：,射手甲 射手乙,用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平,.,0.4,10,0.2,9,0.4,8,概率,p,击中环数,2,0.2,10,0.6,9,0.2,8,概率,p,击中环数,1,重要结论：,公式推广,例,2,一次单元测验由,20,个选择题构成，每个选择题有,4,个选项，其中仅有一个选项正确,.,每题选对得,5,分，不选或选错不得分，满分,100,分,.,学生甲选对任意一题的概率为,0.9,，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个,.,分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值,.,例题讲解,可设甲、乙两学生做对题的个数分别为,X,1,、,X,2,.,例,2,一次单元测验由,20,个选择题构成，每个选择题有,4,个选项，其中仅有一个选项正确,.,每题选对得,5,分，不选或选错不得分，满分,100,分,.,学生甲选对任意一题的概率为,0.9,，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个,.,分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值,.,解：,设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是,X,1,和,X,2,，,则,X,1,B,(20,，,0.9),，,X,2,B,(20,，,0.25),，,所以,E,(,X,1,),200.9,18,，,E,(,X,2,),200.25,5,由于答对每题得,5,分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是,5,X,1,和,5,X,2,所以，他们在测验中的成绩的期望分别是,E,(5,X,1,),5,E,(,X,1,),518,90,，,E,(5,X,2,),5,E,(,X,2,),55,25,答,:,甲、乙同学得分的期望分别是,90,分和,25,分,.,求离散型随机变量均值的步骤：,确定离散型随机变量可能的取值；,写出分布列，并检查分布列的正确与否；,求出均值,.,方法与步骤,例题讲解,例,3,一年中一辆车受损的概率为,0.03,.,现保险公司拟开设一年期租车保险，假定一辆车一年的保费为,1000,元，若在一年内该车受损， 则保险公司需赔偿,3000,元,.,一年内，一辆车保险公司,平均收益,多少？,分析：,设,保险公司平均收益,为,X.,则,X,的分布列为：,X,-,2000,100,0,P,0.03,0.97,答：一辆车保险公司平均收益,910,元,.,1.,现要发行,10000,张彩票，其中中奖金额为,2,元的彩票,1000,张，,10,元的彩票,300,张，,50,元的彩票,100,张，,100,元的彩票,50,张，,1000,元的彩票,5,张,.,问,1,张彩票可能中奖的均值是多少元？,2.,在只需回答“是”与“不是”的知识竞赛时，每个选手回答两个不同问题，都回答失败，输,1,分，否则赢,0.3,分,.,用,X,表示甲的得分，如果甲随机猜测“是”与“不是”，计算,X,的数学均值,.,小试身手,方案,2,：,建,保护,围墙,，,建设费,2000,元,，但围墙只能,防小洪水,；,试比较哪一种方案好？,遇大洪水损失,60000,元,遇小洪水损失,10000,元,有小洪水的概率为,0.25,有大洪水的概率为,0.01,大型设备,方案,3,：,不采取措施,.,方案,1,：运走设备运费为,3800,；,能力展现,离散型随机变量的方差,例,1,甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是,、,，分布列如下,：,0,1,2,P,0.4,0.2,0.4,0,1,2,P,0.1,0.8,0.1,甲工人：,乙工人：,E,(,),=,E,(,),=1,那么甲、乙两人的技术水平相同吗？,情景引例,设在一组数据,x,1,，,x,2,，,，,x,n,中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均值是：,叫做这组,数据的方差,.,方差说明了这组数据的波动情况,.,离散型随机变量的方差定义,对于离散型随机变量,X,的概率分布如下表：,(,其中,p,i,0,，,i,1,，,2,，,，,n,；,p,1,p,2,p,n,1),X,x,1,x,2,x,n,P,p,1,p,2,p,n,(,x,i,E,(,X,),2,描述了,x,i,(,i,=1,，,2,，,，,n,),相对于均值,E,(,X,),的偏离程度，故,(,x,1,E,(,X,),2,p,1,(,x,2,E,(,X,),2,p,2,.,(,x,n,E,(,X,),2,p,n,称为离散型随机变量,X,的,方差,，记为,D,(,X,).,其算术平方根为,X,的,标准差,： 记为,随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的,稳定与波动,，,集中与分散,的程度,.,离散型随机变量的方差定义,定义深析,随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别,？,0,1,2,P,0.4,0.2,0.4,0,1,2,P,0.1,0.8,0.1,甲工人：,乙工人：,例,1,甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是,、,，分布列如下,：,试求随机变量,、,的期望和方差,.,重要结论：,公式推广,解：,从上可知，,.,所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均在,9,环左右，但射手甲所得的环数比较集中，得,9,环较多，而射手乙所得环数比较分散，得,8,环和,10,环的次数要多些,.,例题讲解,例,2,甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：,射手甲 射手乙,用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平,.,0.4,10,0.2,9,0.4,8,概率,p,击中环数,2,0.2,10,0.6,9,0.2,8,概率,p,击中环数,1,例,3,袋中有,4,只,红,球，,3,只黑球，今从袋中随机取出,4,只球,.,设取到一只红球得,2,分，取到一只黑球得,1,分，试求得分,的分布列，数学期望,E,(,),，方差,D,(,),.,例题讲解,例,4,每人在一轮投篮练习中最多可投篮,4,次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到,4,次为止,.,已知一选手的投篮命中率为,0.7,，求一轮练习中该选手的实际投篮次数,的分布列，并求出,的期望,E,(,),与方差,D,(,),和标准差,(,),.,例,5,将一枚硬币抛掷,10,次，求正面次数与反面次数之差,的概率分布，并求出,的期望,E,(,),与方差,D,(,),.,例题讲解,