结构力学 第13章结构弹性稳定

15-3,有限自由度体系的稳定,静力法和能量法,15-4,无限自由度体系稳定,静力法,15-5,无限自由度体系的稳定,能量法,15-6,无限自由度体系稳定的常微分方程求解器法,15-7,刚架的稳定,矩阵位移法,15-8,组合杆的稳定,15-9,拱的稳定,15-11,用求解器求临界荷载和失稳形态,15-12,小结,第十三章 结构弹性稳定,13-1,概述,13-2,用静力法确定临界荷载,13-3,具有弹性支座压杆的稳定,13-4,用能量法确定临界荷载,13-5,变截面压杆的稳定,13-6,剪力对临界荷载的影响,13-7,组合压杆的稳定,13-8,弹性介质上压杆的稳定,13-9,圆环及拱的稳定,13-10,窄条梁的稳定,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,13-1,概 述,结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。,图,a,所示理想中心受压直杆。当,F,值达到某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上，不能回到原来的直线位置，如图,b,。,此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式,这种现象为压杆,丧失了第一类稳定性,。,分支点失稳,13-1,概 述,图,a,所示承受均布水压力的圆环，当压力达到临界值,q,cr,时，出现了新的非圆的平衡形式。,图,b,所示承受均布荷载的抛物线拱，图,c,所示刚架，荷载达到临界值之前处于受压状态，荷载达到临界值时出现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式。,图,c,所示工字梁，荷载达到临界值前仅在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生斜弯曲和扭转。,13-1,概 述,丧失第一类稳定性的特征：,结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，,原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。,图,a,所示由塑性材料制成的偏心受压直杆，一开始就处于同时受压和弯曲的状态。当,F,达到临界值,F,cr,时，荷载不增加或减小，挠度仍继续增加如图,b,丧失第二类稳定性。,极值点失稳,工程结构实际上均属于第二类稳定问题。可将其简化为一类稳定问题来处理。,13-1,概 述,确定临界荷载的方法,静力法,应用静力平衡条件求解；,能量法,应用以能量形式表示的平衡条件。,结构稳定的自由度,：为确定结构失稳时所有可能的变形状态,所需的独立参数的数目。,图,a,所示支承在抗转弹簧上的刚性压杆，确定失稳时变形状态的独立参数为,1,，只有,一个自由度,。,图,b,所示结构，则需两个独立参数，具有,两个自由度,。,图,c,所示弹性压杆，则需无限多个独立参数，具有,无限多自由度,。,13-2,用静力法确定临界荷载,静力法,依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件，,求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值,即为临界荷载。,图,a,所示单自由度结构，设压杆偏离竖直位置时仍处于平衡状态如图,b,。,由,M,A,=0,有,当 时上式满足，对应原有的平衡形式,位移很小时可认为,故有,稳定方程或特征方程,对于新的平衡形式， 则有,13-2,用静力法确定临界荷载,由稳定方程解得,结构处于随遇平衡状态，如图,c,中的,AB,段。,若采用精确的方程则有,若只求临界荷载，可采用近似方程求解。,当 时， 与,F,的数值仍是一一对应的，如图,c,中的,AC,段。,n,个自由度的结构对新的平衡形式列出,n,个平衡方程,n,个独立参数的齐次方程,系数行列式,D,=0,的条件,建立稳定方程,n,个根中的最小值为,临界荷载,13-2,用静力法确定临界荷载,例,13-1,试求图,a,所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的刚,度均为,k,。,解：结构有两个自由度，失稳时,A,、,B,点的位移如图,b,。,设位移是微小的，由,M,B,=0,，,M,C,=0,即,y,1,、,y,2,不全为零，则应有,展开,解得,临界荷载,13-2,用静力法确定临界荷载,由,(a),式不能求得,y,1,、,y,2,的确定解答，但可以求出两者的比值。,将,代回,(a),式可得,相应的位移图如图,c,。,将,代回,(a),式可得,相应的位移图如图,d,。,实际结构必先以图,d,的形式失稳，图,c,只是理论上存在。,13-2,用静力法确定临界荷载,图,a,所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则任一截面的弯矩为,挠曲线的近似微分方程为,令,微分方程的通解为,边界条件为,代入通解得,(b),方程,(b),是关于,A,、,B,、,F,S,/,F,的齐次方程组，,A,=,B,=,F,S,/,F,=0,时满足，此时各点位移,y,均为零。对新的平衡形式要求三者不全为零，方程,(b),的系数行列式应为零，得稳定方程为,13-2,用静力法确定临界荷载,展开,此超越方程图解法求解，如图,b,。,与,交点的横坐标即为方程的根。最小根,nl,在,3,/24.7,左侧附近，试算求得准确解。,求得临界荷载值为,13-3,具有弹性支座的压杆稳定,图,a,所示刚架，,AB,杆上端铰支；下端不能移动但可转动，其转动受,BC,杆的弹性约束，可用抗转弹簧表示，如图,b,。,抗转弹簧刚度,k,1,：使梁,BC,的,B,端发生单位转角时所需的力矩。由图,c,可得,图,b,所示压杆失稳时，,由,M,B,=0,可得,13-3,具有弹性支座的压杆稳定,压杆挠曲线的平衡微分方程为,令,通解为,式中三个未知常数,A,、,B,、,边界条件为,可建立,A,、,B,和 不能全为零，则,稳定方程,k,1,给定,nl,最小正根,F,cr,k,1,=0,时,sin,nl,=0,：两端铰支,k,1,=,时,tan,nl,=,nl,：,一端铰支一端固定,13-3,具有弹性支座的压杆稳定,稳定方程为,稳定方程为,一端弹性固定,另一端自由的压杆,一端固定另一端有,抗移弹簧支座的压杆,13-3,具有弹性支座的压杆稳定,两端各有一抗转弹簧，上端有一抗移弹簧的压杆如图,c,按静力法导出稳定方程为,弹性支座压杆稳定方程的一般形式,其他各种特殊情况的稳定方程均可由此推求。,13-3,具有弹性支座的压杆稳定,例,13-2,试求图,a,所示刚架的临界荷载。,解：此为对称刚架承受正对称荷载，其失稳形式为正对称,的如图,b,或反对称的如图,c,。,13-3,具有弹性支座的压杆稳定,正对称失稳时，取半结构计算如图,d,。,立柱为下端铰支上端弹性固定的压杆，弹性固定端的抗转刚度为,试算法解得最小正根为,nl,=3.83,求得稳定方程为,临界荷载为,13-3,具有弹性支座的压杆稳定,反对称失稳时，取半结构计算如图,e,。,立柱为上端弹性固定，上下两端有相对侧移而无水平反力。弹性固定端的抗转刚度为,求得稳定方程为,试算法解得最小正根为,nl,=1.45,临界荷载为,结构以反对称形式失稳，临界荷载为,13-4,用能量法确定临界荷载,势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件,的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移,（就是真实的位移）使结构的势能,E,P,为驻值，即,V,结构的应变能；,V,外力势能。,外力势能定义为,F,i,结构上的外力,i,与外力相应的虚位移,有限自由度结构所有可能的位移状态只用有限个独立参数,a,1,，,a,2,，,，,a,n,即可表示，,E,P,只是这有限个独立参数的函数。,单自由度结构,E,P,只是参数,a,1,的一元函数，势能的变分为,结构处于平衡时,是任意的,故,13-4,用能量法确定临界荷载,由,可建立稳定方程以求解临界荷载。,多自由度结构势能的变分为,由,E,P,=0,及,a,1,，,a,2,，,，,a,n,的任意性，必须有,由此获得一组含,a,1,，,a,2,，,，,a,n,的齐次线性代数方程，要使,a,1,，,a,2,，,，,a,n,不全为零，则此方程组的,系数行列式应为零,建立稳定方程确定临界荷载。,13-4,用能量法确定临界荷载,例,13-3,图,a,所示压杆,EI,为无穷大，上端水平弹簧的刚度为,k,，,试确定其临界荷载。,解：单自由度结构失稳时发生微小的偏,离如图,b,。,弹簧的应变能为,外力势能为,结构的势能为,若图,b,结构能维持平衡则有,y,1,0,，故,临界荷载为,13-4,用能量法确定临界荷载,例,13-4,用能量法求图,a,所示结构的临界荷载。,解：结构具有两个自由度，失稳时发生,图,b,所示位移。,结构处于平衡时,结构的势能为,y,1,、,y,2,不能全为零,13-4,用能量法确定临界荷载,展开整理得,解得,最小值为临界荷载,图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳时发生弯矩变形，应变能为：,代入,将,任一微段,d,s,与其投影,d,x,之差为,此式沿杆长,l,积分得,13-4,用能量法确定临界荷载,外力势能为,结构的势能为,挠曲线,y,是未知的，它可以看作无限多个独立参数。,E,P,是挠曲线函数,y,的函数，即是一个泛函，,E,P,=0,是求泛函极值的问题,变分问题。,瑞利,-,李兹法,：将无限自由度近似简化为有限自由度。,设,满足位移边界条件的已知函数,任意参数,结构所有变形状态由,a,1,，,a,2,，,，,a,n,所确定，简化为,n,个自由度。,13-4,用能量法确定临界荷载,如果在,(1),式中只取一项：,是简化为单自由度求解。,通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作为失稳时的近似挠曲线,例,13-5,试求图,a,所示两端铰支等截面压杆的临界荷载。,解：挠曲线函数只取一项，即简化为单自由度,结构计算。,(1),设挠曲线为正弦曲线,显然,y,满足位移边界条件,结构的势能为,13-4,用能量法确定临界荷载,而,a,0,，故有,得,与精确解相同，特殊情形。,(2),设挠曲线为抛物线,满足位移边界条件,由,和,a,0,，可求得,误差达,21.6%,。,13-4,用能量法确定临界荷载,(3),图,b,所示挠曲线作为近似曲线,由,和,a,0,，可求得,误差仅为,1.3%,。,13-4,用能量法确定临界荷载,例,13-6,试求图示压杆的临界荷载。,解：按两个自由度计算，查表取级数的,前两项,a,1,、,a,2,不全为零应有,整理得,比精确解大,3.6%,。,13-4,用能量法确定临界荷载,例,13-7,试求图,a,所示等截面竖直压杆在自重作用下的临界荷载。,解：压杆承受的是均布荷载。,如图,b,，微段,d,s,的转角为,y,(,x,),，微段以上部分的竖向位移为,微段以上部分荷载,F,S,=,q,(,l,-,x,),在此位移上作功为,外力势能为,查表取三角级数的前两项有,13-4,用能量法确定临界荷载,13-4,用能量法确定临界荷载,a,1,、,a,2,不全为零应有,整理得,方程的最小根即为临界荷载,此问题的精确解为,13-5,变截面压杆的稳定,工程中变截面压杆的类型：阶形杆，,截面惯性矩按幂函数连续变化。,图,a,为一阶形直杆，以,y,1,、,y,2,分别表示压杆失稳时上、下两部分的挠度，如图,b,。两部分的平衡微分方程为,通解为,式中,是五个未知常数。,边界条件,13-5,变截面压杆的稳定,由边界条件,(1),、,(2),可得,将,y,2,和,y,1,代入边界条件,(3),、,(4),、,(5),可得齐次方程组,稳定方程为,展开整理得,给出,I,1,/,I,2,和,l,1,/,l,2,时才能求解,13-5,变截面压杆的稳定,当柱顶承受,F,1,，在截面突变处承受,F,2,作用时，可推得稳定方程为,式中,给出,I,1,/,I,2,、,l,1,/,l,2,和,F,1,/,F,2,时才能求解。,如图所示压杆,稳定方程,(c),成为,最小根为,可得临界荷载为,13-5,变截面压杆的稳定,图,a,所示压杆的截面惯性矩按幂函数变化，任一截面的惯性矩为,I,1,柱顶截面惯性矩,I,2,柱底截面惯性矩,有,不同的,m,值对应不同形状的杆件,如图,b,，具有直线外形的圆形截面或正方形截面的实心压杆，,m,=4,。,13-5,变截面压杆的稳定,如图,c,，具有直线外形由四个截面不变的角钢组成的组合压杆，,m,=2,。,图,b,、图,c,两种情况,图,d,所示压杆，,m,=2,时微分方程为,或,变系数微分方程,令,t,=ln,x,常系数方程,令,解为,13-5,变截面压杆的稳定,将,t,=ln,x,代入,边界条件,由条件,(1),：,B,=0,由条件,(2),得稳定方程为,若,已知，可用试算法解出,k,的最小根，进而求得临界荷载,F,cr,。,m,=4,时微分方程为,令,解为,边界条件,导出稳定方程为,令,13-6,剪力对临界荷载的影响,设,y,M,和,y,S,分别表示弯矩和剪力影响所产生的挠度，总的挠度为,对,x,求二阶导数可得曲率的近似公式,弯矩引起的曲率为,如图,a,、,b,，先求由剪力引起的杆轴切线的附加转角 。,从而有,挠曲线微分方程为,对图,a,所示结构,可求得,13-6,剪力对临界荷载的影响,挠曲线方程可写为,令,微分方程的通解为,边界条件,导出稳定方程为,最小正根,可得,欧拉临界荷载,修正系数,E,欧拉临界应力,13-6,剪力对临界荷载的影响,设压杆由钢材制成，取,E,为比例极限,切变弹性模量,G,=80GPa,，则有,在实体杆件中，剪力影响很小，通常可略去。,13-7,组合压杆的稳定,组合压杆通常由两个型钢用若干联结件相联组成，联结件的形式有：缀条式，缀板式。如图,a,、,b,。,当组合压杆的节间数目较多时，其临界荷载可用实体压杆的公式计算。即,对式中,k,/,GA,需另行处理，以反映联结件的影响。,单位剪力作用下的剪切角。,用,代替式中的,k,/,GA,即可。,(d),13-7,组合压杆的稳定,1,、缀条式组合压杆,缀条通常采用单根角钢，其截面较小，其两端可视为铰结。现取出一个节间来分析，如图。,位移,缀条的横杆,缀条的斜杆,杆长,杆长,因而,13-7,组合压杆的稳定,A,d,主要杆件的截面积；,I,d,主要杆件的截面对其本身形心轴的惯性矩，近似认为其,形心轴到,z,轴的距离为,b,/2,。,当斜杆与横杆,EA,相同,=45,时，有,斜杆的影响,横杆的影响,用,代替,(d),式中的,k,/,GA,，即得,13-7,组合压杆的稳定,斜杆比横杆对临界荷载的影响更大，略去横杆的影响，则,A,q,一根斜杆的截面积。,设,临界荷载写成欧拉问题的基本形式,r,两主要杆件的截面对整个截面形心轴,z,的回转半径。,一般,=3060,，设长细比,=,l,/,r,，可得,换算长细比,钢结构规范中推荐的公式,13-7,组合压杆的稳定,2,、缀板式组合压杆,组合压杆采用缀板联结时，缀板与主要杆件的联结可视为刚结。近似认为主要杆件的反弯点在节间中间，剪力平均分配于两主要构件。取图,a,所示部分分析。,由图,b,所示弯矩图图乘得,13-7,组合压杆的稳定,节间长度,d,增加，修正系数,2,减小。一般情况下缀板的刚度很大，近似取,EI,b,=,，则,用,代替,(d),式中的,k,/,GA,，即得,整个组合杆件的截面惯性矩,整个组合杆件的长细比；,d,一根主要杆件在一个节间内的长细比。,13-7,组合压杆的稳定,近似地以,1,代替,0.83,则有,相应的长度系数为,换算长细比为,规范中确定缀板组合压杆长细比的公式,可得,13-8,弹性介质上压杆的稳定,支承于弹性介质上的压杆由于失稳发生弯曲时，弹性介质将对它产生分布反力。如图所示。,采用,文克勒假定,：分布反力的集度,q,与挠度,y,成正比，即,k,基床系数,能量法,设挠曲线为,压杆弯曲时的应变能为,弹性介质的应变能为,荷载势能为,13-8,弹性介质上压杆的稳定,因,并有,可得,a,不能为零，故有,(e),半波数,m,的确定条件,必须是大于零的整数，否则不能满足两端铰支的边界条件。,(2),应使特征荷载,F,值为最小。,13-8,弹性介质上压杆的稳定,F,与,m,的关系曲线如图所示,由极值条件,可得,(f),F,虽为极小，但,m,不一定是整数。,取按,(f),式算出的,m,值的邻近整数,m,i,和,m,i,+1,，代入式,(e),求,F,，取其较小者为临界荷载,F,cr,。,k,/,EI,愈大，,m,值愈大。即介质与杆件的刚度比愈大时，压干失稳时挠曲线的半波数愈多。,k,=0,时取,m,=1,，与无介质的两端铰支压杆的结果相符。,13-8,弹性介质上压杆的稳定,半穿式桁架桥的上弦杆在各结点处受到斜杆传来的压力,D,i,cos,如图,a,，压力由跨中向两端逐渐增大。,上弦杆失稳时将离开原桁架平面发生侧向弯曲，从而受到起横向联结系作用的刚架的抵抗。如图,b,。,将上弦杆看作在各结点处具有弹性支座，在两端处为刚性铰支座。计算简图如图,c,。,13-8,弹性介质上压杆的稳定,若将上弦杆看作是支承于连续弹性介质上的压杆，则介质的基床系数可表示为,d,节间长度；,F,R0,结点侧向位移为,1,时弹性支座的反力。,由图,d,I,1,、,h,竖杆的惯性矩和长度,I,2,、,b,横梁的惯性矩和长度,作用在各结点处的集中力,D,i,cos,近似地用三角形分布荷载代替，如图,e,。,可得,13-8,弹性介质上压杆的稳定,能量法计算,压杆弯曲时的应变能为,弹性介质的应变能为,x,处微段,d,s,倾斜时引起的位移为,使该微段以右（,l,-,x,）长度上的外力作功为,推得外力势能为,13-8,弹性介质上压杆的稳定,采用三角级数表示挠曲线,求得临界压力的近似值，为便于实用将临界压力写为,式中长度系数,与比值 有关，可查表,13-3,。,结构的势能为,13-9,圆环及拱的稳定,在半径为,R,的等截面圆弧曲杆上取出长为,d,s,的微段,AB,，其失稳后的位置为,A,B,，如图,(a),。,设,A,、,B,两点的环向位移分别为,u,、,u+,d,u,，径向位移分别为,w,、,w+,d,w,。如图,b,。,曲率的改变与弯矩之间的关系如下,弯矩,M,以使曲率减小为正，上式可为,即,13-9,圆环及拱的稳定,当仅发生环向位移时如图,c,，两截面相对转角为,当仅发生径向位移时如图,d,，两截面相对转角为,13-9,圆环及拱的稳定,故有,轴向变形忽略不计，应有,可得,得,代入,有,用位移,w,和弯矩,M,表达的平衡微分方程,或,(g),13-9,圆环及拱的稳定,圆形曲杆承受均布径向荷载,q,时，失稳前只承受轴力，弯矩和剪力均为零，取微段,d,s,如图,(a),所示。,由平衡条件,失稳后微段的受力如图,(b),所示,其轴力为,由隔离体的平衡方程得,13-9,圆环及拱的稳定,将,F,N0,、,F,N,、,d,s,=,R,d,代入上式有,将上式整理消去,F,N,和,F,S,可得,(h),将,(g),式代入,(h),式可得,(i),弯矩与位移之间的微分关系,以位移,w,和荷载,q,表达的圆形曲杆弯曲平衡微分方程,13-9,圆环及拱的稳定,令,则式,(i),的一般解可表示为,由式,(g),有,(j),(k),(m),对具体问题，根据边界条件写出含积分常数,A,0,A,5,的齐次代数方程，其系数行列式应为零稳定方程求解临界荷载。,13-9,圆环及拱的稳定,圆环承受均布水压力时的失稳情况如图所示。显然其解答应是以,2,为周期的函数。应有,将式,(j),代入上式有,题意要求,可推得,应取,n,=2,，可得,q,的最小值即临界荷载为,13-9,圆环及拱的稳定,两铰圆拱的失稳形式有反对称和正对称两种，如图,a,、,b,所示。,反对称失稳时，,w,和,M,应为,的奇函数，由式,(m),有,边界条件,=,，,M,=0,，可得,取,q,的最小正值为临界荷载，,，,k,=1,有,可推得,=/2,时,q,cr,的值与圆环的临界荷载相同,13-9,圆环及拱的稳定,正对称失稳时，,w,和,M,应为,的偶函数，,u,应为,的奇函数，故有,边界条件,=,，,u,=0,，,M,=0,，可建立稳定方程,展开得,给定,解出,n,求得临界荷载。计算表明：,对于两铰圆拱，临界荷载是反对称时的临界荷载。,13-9,圆环及拱的稳定,无铰圆拱的最小临界荷载发生于反对称失稳情况下；,三铰圆拱的最小临界荷载发生于正对称失稳情况下。,各种圆拱的临界荷载可表示为,式中：,l,跨度；,K,1,与高跨比,f,/,l,有关的系数，可查表。,抛物线拱在竖向均布荷载作用下的稳定问题很复杂，采用数值积分法求解，其临界荷载也可表示为,系数,K,2,查表可得。,13-10,窄条梁的稳定,图,a,所示狭长矩形截面梁，两端简支处截面可绕,z,、,y,轴转动。两端作用一对,xy,平面内的力偶。,v,、,w,梁失稳时任一截面形心的竖向位移、侧向水平位移，与,坐标轴一致为正。,截面绕,x,轴的转角，右手螺旋规则。如图,b,、,c,所示。,13-10,窄条梁的稳定,x,y,z,截面新位置形心处的坐标系；,x,沿梁轴的切线方向；,y,、,z,截面的两主轴。,可建立方程,GI,t,截面抗扭刚度；,I,t,截面抗扭二次矩。,h,、,b,矩形截面的高度、宽度。,取隔离体如图,d,(n),将,M,沿,y,、,z,向分解,将以上,M,i,代入式,(n),得,13-10,窄条梁的稳定,整理得,命,(o),则有,一般解为,边界条件,得,B,=0,稳定方程为,最小正根为,nl,=,，代入式,(o),得临界弯矩为,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,压杆单元,：单元分析中考虑轴力对弯矩变形的影响。,图示一等截面压杆，两端压力为,F,，杆端之间无荷载。不计轴向变形，杆端位移和杆端力列向量可表示为,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,假设杆件的挠曲线为,边界条件,求出,A,、,B,、,C,、,D,代入上式,可写为,式中,分别表示 所引起的挠曲线。未考虑轴向力的影响，是近似的。,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,单元的总势能为,由势能驻值原理，体系平衡时,式中,可得,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,压杆单元的刚度方程为,(p),式中,式,(p),写成矩阵形式,简写为,或,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,整理得,不计纵向力影响的,普通单元的刚度矩阵。,考虑纵向力影响的,附加刚度矩阵，,又称,单元几何刚度矩阵,。,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,补充轴向力和轴向位移间的刚度关系，单元刚度方程仍为,式中,表达式与矩阵位移法相同，略。,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,在结构整体坐标系下，单元刚度方程为,式中,整体坐标系中,结构的总刚度方程为,式中：,结点位移列向量；,(,K,-,s,),修改后的总刚度矩阵；,F,修改后的结点外力列阵，全部元素都是零。,总刚度方程成为,失稳时出现新的弯曲,平衡，,不全为零故有：,稳定方程,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,例,13-8,试用矩阵位移法计算图,a,所示刚架的临界荷载。,解,：,(1),各单元、结点,编号，整体和,各单元局部坐,标系如图,b,。,(2),求,各单元刚度矩阵。,单元和为压杆单元，局部坐标系中的单元刚度阵为,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,、,单元,=90,，坐标变换后可得整体坐标系中的单元刚度阵。,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,单元,为普通单元,=0,，故有,(3),形成并修改总刚,。,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,各单元刚度矩阵对号入座,1212,阶的原始总刚度矩阵。,支承条件,忽略轴向变形,需求解的独立未知量有,结构的总刚度方程为,即为,式中,13-11,用矩阵位移法计算刚架的稳定,若按先处理法，结点位移编号如图,c,所示，同样得到上述总刚度方程。,(4),求临界荷载,。,由稳定方程,将总刚度矩阵的行列式展开并令其为零,方程最小根为,临界荷载为,精确解为,误差与,Fl,2,/,EI,值有关，,当,Fl,2,/,EI,10,时误差较大。,