第四节 独立性

单击此处编辑母版标题样式,一、事件的独立性,二、伯努利概型,三、例题讲解,四、小结,第四节 独立性,第一章,一、,事件的独立性,引例,袋中有,3,个红球和,2,个白球，有放回地抽取两,次，每次抽,1,个球,求,:,(1),第二次取得白球的概率；,(2),第一次取得红球的条件下第二次取得白,球的概率。,解：,A,i,表示第,i,次取到白球，,i=1,2,则,定义,1.5,两事件相互独立,两事件互斥,两事件相互独立与两事件互斥的关系,.,请,同学们思考,二者之间没,有必然联系,例如,由此可见,两事件,相互独立，,但两事件,不互斥,.,由此可见,两事件,互斥,但,不独立,.,三事件两两相互独立的概念,三事件相互独立的概念,伯恩斯坦反例,例,一个均匀的正四面体,，,其第一面染成红色,，,第二面染成白色,，,第三面染成黑色,，,而第四面同,时染上红、白、黑三种颜色,.,现以,A,，,B,，,C,分别,记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，,问,A,，,B,，,C,是否相互独立,?,解,由于在四面体中红、,白、黑分别出现两面，,因此,又由题意知,故有,因此,A,，,B,，,C,不相互独立,.,则三事件,A,B,C,两两独立,.,由于,例,(,补,),若有一个均匀正八 面体，其第,1,、,2,、,3,、,4,面染红色，第,1,、,2,、,3,、,5,面染白色，第,1,、,6,、,7,、,8,面染黑色。,用,A,、,B,、,C,分别表示投一次正八面体,出现红、白、黑色。,P(A)=P(B)=P(C)=0.5,，,P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C),但是,P(AB)=3/81/4=P(A)P(B).,n,个事件相互独立,n,个事件两两相互独立,推广,(,定义,1.6),独立性有以下性质,：,1.,设,A,、,B,为两个事件，若,P(A)0,，则事件,A,与,B,相互,独立的充分必要条件是,P(B|A)=P(B),。,若,P(B)0,，则事件,A,与,B,相互独立的充分必要条件是,P(A|B)=P(A),。,2.,若事件,A,与,B,相互独立，则,中的每一对事件都相互独立。,特别地，若,A,、,B,、,C,相互独立，则,3.,若事件,A,1,A,2,A,n,相互独立，则,例,1,.,(2),至少有两种新产品能研制成功的概率。,某企业欲通过开发新产品来摆脱目前困境，组织了,三个攻关小组独立研制三种新产品，成功的把握,分别为,60%,、,50%,、,60%,。求：,(1),能研制出新产品的概率；,解：,A,i,表示第,i,个攻关小组成功研制出新产品，则,如图，开关,电路中开关,a,b,c,d,闭合的概率都是,0.5,，且各开关是,否闭合相互独立。,求,:,(1),灯亮的概率；,(2),若灯已经亮，求开关,a,与,b,同时闭合的概率,.,a,b,c,d,例,(,补,),解,：,设,A,、,B,、,C,、,D,分别表示开关,a,、,b,、,c,、,d,闭合,E,表示灯亮，则,因此，,例,(,补,),.,甲、乙、丙,3,部机床独立工作,由一个工人照管,.,某段时间,内它们不需要工人照管的概率均为,0.8,求在这段时间内，,(1),有机床需要工人照管的概率；,(2),机床因无人照管而停工的概率；,(3),恰有一部机床需要工人照管的概率。,解,：,A,、,B,、,C,分别表示甲、乙、丙,3,部机床需要工人照管，,则,二、贝努里概型,定理,在,n,重贝努里试验中，事件,A,发生的概率,为,p,(0,p,1),则,A,发生,k,次的概率为,对于,n,次重复独立试验，若每次试验都只有两个可能结果,为,n,重贝努里试验，相应的数学模型为贝努里概型,(,如,有放回的摸球模型,),。,A,与 ，且,P(A)=,p,(0,p,1),，则称这一系列重复试验,例,3,.,一条自动生产线上的产品,次品率为,4%,，求：,(1),从中任取,10,件，求至少有两件次品的概率；,(2),一次取,1,件，无放回抽取，求当取到第二件次品时，,之前已取到,8,件正品的概率。,解,：,设,A,表示,10,件产品中至少有两件次品，,C,表示“前,9,次中抽到,8,件正品,1,件次品”，,D,表示第,10,次抽到次品。,例,(,补,),.,三、例题讲解,一台设备由,10,个元件组成，在保修期间，每个元件的,失效率为,0.05,，各元件是否失效是相互独立的。若有一,个元件失效，设备不能正常工作的概率为,0.5,，若有两,个元件失效，设备不能正常工作的概率为,0.8,，若有三,个或三个以上元件失效，设备一定不能使用。,(1),求设备在保修期间不能使用的概率；,(2),已知设备不能使用，求是一个元件失效的概率。,解,：,B,表示“在保修期间设备不能使用”，,A,i,表示“,10,个元件中有,i,个元件失效”,i,=0,1,2,，,A,3,表示“,10,个元件中有,3,个或,3,个以上元件失效” ，,则,A,0,A,1,A,2,A,3,构成一个完备事件组，且,P(B|A,0,)=0,，,P(B|A,3,)=1,，,(1),利用全概率公式，有,(2),利用贝叶斯公式，有,例,4(,综,),.,某型号高炮，每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率,为,0.6,。现若干门炮同时各射一发，,(1),问欲以,99%,的把握,击中一架来犯的敌机，至少需要配置几门炮？,解,：,A,表示击中敌机,. (1),设至少应该配置,n,门炮,.,由于每门炮独立发射，因此,(2),现有,3,门炮，欲以,99%,的把握击中一架来犯的敌机，问：,每门炮的命中率应提高到多少？,(2),设命中率为,p.,例,3(,综,),.,已知,100,件产品中有,4,件次品，今从中任取,3,件进行检验，,如果发现次品，则认为这批产品不合格。由于检验有,误差，正品被认为次品的概率为,0.05,；次品被误认为正品,的概率为,0.01,。,(1),求检验结果认为这批产品合格的概率；,(2),若检验合格，但实际上所取的,3,件产品中恰有,1,件次品,的概率是多少？,B,表示“检验合格”，,A,i,表示,解,：,“任取的,3,件产品中有,i,件次品”,i=0,1,2,3,则,例,(,补,),甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为,0.4, 0.5, 0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为,0.2 ,被两人击中而被击落的概率为,0.6 ,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率,.,解,A, B, C,分别表示甲、乙、丙击中飞机,飞机被击落用,D,表示，因而,由全概率公式得：,例,(,补,),三架飞机,(,一架长机、二架僚机,),一同飞往某目的地进行,有此设备。到达目的地之前必须经过敌方的高射炮阵地,上空，这时任一飞机被击落的概率为,0.2,，到达目的地,后，各机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是,0.3,。,求目标被炸毁的概率。,解：,设,A,0,=“,三机均未到达目的地”,= “,长机未到达目的地”,A,1,= “,只有长机到达目的地”,A,2,= “,长机同一僚机到达目的,地” ，,A,3,= “,三机均到达目的地”，,B= “,目标被炸毁”，,则,A,0,、,A,1,、,A,2,、,A,3,构成一个完备事件组，且,轰炸，但要达到目的地需要无线电导航，而只有长机,(2),并联系统,(1),串联系统,可靠性理论,1,1,2,2,n,n,系统,2:,1,2,n,1,2,n,系统,1,：,如果一个系统的每个元件的可靠性均为,r,(0,r,1),且各元件是否正常工作是相互独立的，试分析下面,两个系统的可靠性。,解,：对于系统,1,，每条通路的可靠性为,r,n,发生故障的概率为,1-,r,n,整个系统发生故障,的概率为,(1-,r,n,),2,，从而系统的可靠性为,R,1,=,1-(1-,r,n,),2,=,r,n,(2-,r,n,),。,对于系统,2,，每对并联元件的可靠性为,1-(1-,r,),2,=,r,(2-,r,),从而系统的可靠性为,R,2,=,r,n,(2-,r,),n,。,注,:,由于,R,2,R,1,，,因此系统,2,具有比系统,1,更好的可靠性。,1,2,3,4,5,例,(,补,),一个混联系统如图所示,四、小结,练习 已知,P(A)=0.6, P(C)= 0.2, P(AC)=0.1,P(B| )=0.7,且,求,解：,练习：商店论箱出售玻璃杯，每箱,20,只，其中每箱含,0,，,1,，,2,只次品的概率分别为,0.8, 0.1, 0.1,，某顾客选中一箱，从中任选,4,只检查，结果都是好的，便买下了这一箱,.,问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解,:,设,B,表示从一箱中任取,4,只检查,结果都是好的,.,A,0, A,1, A,2,分别表示事件箱中含,0,，,1,，,2,只次品,已知,:P(A,0,)=0.8, P(A,1,)=0.1, P(A,2,)=0.1,由,Bayes,公式,:,练习：,12,个乒乓球都是新球，每次比赛时取出,3,个用完后,放回去，求第,3,次比赛时取到的,3,个球都是新球的概率,.,解 设事件,B,i,表示第二次比赛时取到,i,个新球,(i=0,1,2,3) .,C,表示第,3,次取到的,3,球都是新球。,作业：,P,32,25,27,29,30,32,33,