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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,全,等三角形,本课内容,2.5,如图是两组形状、大小完全一样的图形. 用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？,做一做,（1）,（2）,（1）,（2）,我发现它们可以完全重合,结论,我们把能够完全重合的两个图形叫作,全等图形,.,动脑筋,如图，,ABC,分别通过平移、旋转、轴反射后得到,，问,ABC,与 能完,全重合吗,？,根据平移、旋转和轴反射的性质，可知分别通过上述三个变换后得到的 与,ABC,都可以完全重合，因此它们是全等图形,.,结论,能完全重合的两个三角形叫作,全等三角形,.,全等三角形中，互相重合的顶点叫作,对应顶点,，,互相重合的边叫作,对应边,，,互相重合的角叫作,对应角,.,A,B,C,A,B,C,A,(,A,),B,(,B,),C,(,C,),例如，图,（,1,）,中的,ABC,和 全等，,其中,A,与,A,，,B,与,B,，,C,与,C,是,对,应顶点；,记作：,ABC, ,.,AB,与 ，,BC,与 ，,CA,与 是,对,应边；,A,与,A,，,B,与,B,，,C,与,C,是,对,应角,.,（,1,）,小提示,全等用符号“表示，读作“全等于.,在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上,.,结论,全等三角形,的对应边相等,；,全等三角形的,对应角相等,.,我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：,例如,，,举,例,例1 如图，ABCDCB，AB=3，,DB=4，A=60.,1写出ABC和DCB的对应边和对应角；,2求AC，DC的长及D的度数.,解1AB与DC，AC与DB，,BC,与,CB,是对应边；,A,与,D,，,ABC,与,DCB,，,ACB,与,DBC,是对应角,.,AC,=,DB,= 4,，,DC,=,AB,=3.,2 AC与DB，,AB与DC是全等三角形的对应边，,A,与,D,是全等三角形的对应角，,D,=,A,= 60.,练习,如图，ADFCBE，AD=4，BE=3，AF=6，A=20，B=120.,1找出它们的所有对应边和对应角；,2求ADF的周长及BEC的度数.,解1AF与CE，AD与CB，,DF,与,BE,是对应边；,A,与,C,，,AFD,与,CEB,，,D,与,B,是对应角,.,2ADF的周长是13，BEC=40.,两个三角形满足什么条件就能全等呢,？,下面我们就来探讨这个问题,.,每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为,50,，夹这个角的两边分别为,2cm，2.5cm.,将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗,？,由此你能得到什么结论,？,探究,50,2cm,2.5cm,50,2cm,2.5cm,50,2cm,2.5cm,我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.,下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真.,设在,ABC,和 中,， ，,（,1,）,ABC,和 的位置关系如图,.,将,ABC,作平移，使,BC,的像 与 重合，,ABC,在平移下的像为,.,由于平移不改变图形的形状和大小，因此,ABC,因为 ，,所以线段,A,B,与 重合，,因此点 与点 重合，,那么 与 重合，,所以 与 重合，,因此 ，,从而,（,2,）,ABC,和 的位置关系如图,（,顶点,B,与顶点 重合,）.,因为 ，,将,ABC,作绕点,B,的旋转，旋转角等于 ，,所以线段,BC,的像与线段 重合,.,因为 ，,所以,(,A,),B,(,C,),由于旋转不改变图形的形状和大小，,又因为 ，,所以在上述旋转下，,BA,的像与 重合，,从而,AC,的像就与 重合，,于是,ABC,的像就是,因此 ,ABC,(,A,),B,(,C,),（,3,）,ABC,和 的位置关系如图,.,根据情形1，2的结论得,将,ABC,作平移，使顶点,B,的像 和顶点 重合，,因此,（,4,）,ABC,和 的位置关系如图,.,将,ABC,作关于直线,BC,的轴反射，,ABC,在轴反射下的像为,由于轴反射不改变图形的形状和大小，,因此 ,ABC,根据情形,（,3,）,的结论得 ，,因此,由此得到判定两个三角形全等的根本领实：,结论,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,.,通常可简写成“边角边或“SAS.,例2 ：如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，,CO=DO. 求证：ACOBDO.,举,例,证明：,在,ACO,和,BDO,中，, ACOBDO.SAS,AO,=,BO,，,AOC,=,BOD,，,（,对顶角相等,）,CO = DO,，,练习,1.,如图，将两根钢条,AA,和,BB,的中点,O,连在一起，,使钢条可以绕点,O,自由转动，就可做成测量工件内,槽宽度的工具,（,卡钳,）.,只要量出,的长，就得,出工件内槽的宽,A,B,.,这是根据什么道理呢,？,解,ABO,A,B,O,，,AB= A,B,.,2.,如图，,AD,BC,，,AD,=,BC,.,问：,ADC,和,CBA,是全等三角形吗,？,为什么,？,解,ADBC,ADC,CBA.,DAC=,BCA,，,又,AD=BC,，,AC,公共,3. ：如图，AB=AC，点E，F分别是AC，,AB的中点.,求证：BE=CF.,解,AB=AC,且,E，F,分别是,AC，AB,中点,，,ABE,ACF，,AF=AE,，,又,A,公共,，,BE=CF.,类似于基本事实,“,SAS,”,的探究，同样地，我们可以通过平移、旋转和轴反射等变换使,ABC,的像与 重合，因此,ABC,结论,由此得到判定两个三角形全等的根本领实：,两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,.,通常可简写成“角边角或“ASA.,举,例,例3 ：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，,ABDC，AB=CD，B=D.,求证：ABECDF.,证明,AB,DC,，,A,=,C,.,在,ABE,和,CDF,中，, ABECDF ASA.,A,=,C,，,AB,=,CD,，,B,=,D,，,例4 如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着和,AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一,根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D,点，使D，E，B恰好在一条直线上. 于是小军,说：“CD的长就是河的宽.你能说出这个道理吗？,举,例,图,3-35,A,B,E,C,D,解：,在,AEB,和,CED,中，,A,=,C,= 90,，,AE = CE,，,AEB,=,CED,(,对顶角相等,), AEB CED.ASA,AB=CD,.,(,全等三角形的对应边相等,),因此，,CD,的长就是河的宽度.,练习,1.,如图，工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎,成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样,的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片,去,.,请问应带哪块玻璃碎片去,？,为什么,？,答：应带玻璃碎片,去;只有这块玻璃具备决定全等三角形的几个条件:在直角三角形中已知一个锐角和一条直角边，由,AAS判定定理即可确定两个三角形全等，故应带,这块玻璃去.,2.,已知：如图，,ABC,，,CF,，,分别是,ACB,和 的平分线,.,求证：,证明：,ABC,A,B,C,，,A,=,A,ACB,=,A,C,B,.,AC=A,C,证明：,CF,=,C,F,.,又,CF,，,C,F,分别是,ACB,和,A,C,B,的平分线,，, ,ACF,=,A,C,F,.,ACF,A,C,F,动脑筋,如图，在,ABC,和 中，如果,A,=,A,，,B,=,B,，,，那么,ABC,和,全等吗,？,根据三角形内角和定理，可将上述条件转化为满足,“,ASA,”,的条件，从而可以证明,ABC,在,ABC,和,中，, ,A,=,A,，,B,=,B,，, ,C,=,C,.,又,，,B,=,B,，,(,ASA,),.,结论,由此得到判定两个三角形全等的定理：,两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,.,通常可简写成“角角边或“AAS.,例5 ：如图，B=D，1=2，,求证：ABCADC.,举,例,证明,1 =2，,ACB=ACD同角的补角相等.,在,ABC,和,ADC,中，, ABCADC AAS.,B,=,D,，,ACB,=,ACD,，,AC,=,AC,，,例6 ：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，,ACFD，A=D，BF=EC.,求证：ABCDEF.,举,例,证明,AC,FD,，,ACB,=,DFE,.,BF,=,EC,，,BF,+,FC,=,EC,+,FC,，,即,BC,=,EF,.,在,ABC,和,DEF,中，, ABCDEFAAS.,A,=,D,，,ACB,=,DFE,，,BC,=,EF,，,练习,1. ：如图，1=2，AD=AE.,求证：ADCAEB., ADCAEBAAS.,1 =2，,A,=,A,，,AD,=,AE,，,证明,在,ADC,和,AEB,中，,2. ：在ABC中，ABC =ACB，,BDAC于点D，CEAB于点E.,求证：BD=CE.,证明,由题意可知,BEC,和,BDC,均为直角三角形,，,在,Rt,BEC,和,Rt,CDB,中，,ABC,=,ACB,，,BC,=,BC,，, RtBEC RtCDBAAS.,BEC,=,CDB=,90,，,探究,如图，在,ABC,和 中，如果 ，,， ，那么,ABC,与 全等吗,？,如果能够说明,A,=,A,，那么就可以由,“,边角边,”,得出,ABC,将,ABC,作平移、旋转和轴反射等变换，使,BC,的像 与 重合，并使点,A,的像 与点 在 的两旁，,ABC,在上述变换下的像为,由上述变换性质可知,ABC,，,则 ，,连接,1=2，3=4.,从而,1+3=2+4,，,， ，,即,在 和 中，,（,SAS,）.,ABC,，,，,，,结论,由此可以得到判定两个三角形全等的根本领实：,三边分别相等的两个三角形全等,.,通常可简写成“边边边或“SSS.,举,例,例7 ：如图，AB=CD ，BC=DA.,求证： B=D.,证明：,在,ABC,和,CDA,中，,ABC,CDA.,(,SSS,),AB=CD,，,BC=DA,，,AC=CA,，,(,公共边,),B,=,D,.,举,例,例8 ：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E,在BC上，且AD=AE，BE=CD.,求证：ABDACE.,证明,BE,=,CD,，,BE,-,DE,=,CD,-,DE,.,即,BD,=,CE,.,在,ABD,和,ACE,中，, ABDACE SSS.,AB,=,AC,，,BD,=,CE,，,AD,=,AE,，,结论,由“边边边可知，只要三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.,结论,三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.,如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都采用三角形构造，其道理就是运用三角形的稳定性.,练习,1. 如图，AD=BC，AC=BD.,那么1与2相等吗？,答：相等.,因为,AD=BC,，,AC=BD,，,AB,公共,，,所以,ABD,BAC,(,SSS,),.,所以,1,=,2,(,全等三角形对应角相等,).,2.,如图，点,A,，,C,，,B,，,D,在同一条直线上，,AC=BD,，,AE=CF,，,BE=DF,.,求证：,AE,CF,，,BE,DF,.,证明,AC=BD,，,AC,+,BC=BD,+,BC,，,即,AB,=,CD,.,所以,AE,CF,，,BE,DF,.,又,AE=CF,，,BE=DF,，,所以,ABE,CDF,(,SSS,),.,所以,EAB,=,FCD,EBA,=,FDC,(,全等三角形对应角相等,).,议一议,根据下列条件，分别画,ABC,和,（,1,）,， ，,B,=,B,= 45；,满足上述条件画出的,ABC,和 一定全等吗,？,由此你能得出什么结论,？,满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等,.,2 A=A= 80，B=B= 30，,C=C=70.,满足上述条件画出的,ABC,和 一定全等吗,？,由此你能得出什么结论,？,满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：三角分别相等的两个三角形不一定全等,.,举,例,例9 ：如图，AC与BD相交于点O，,且AB= DC，AC = DB.,求证：A =D.,证明,连接,BC,.,在,ABC,和,DCB,中，, ABC DCB SSS.,A,=,D,.,AB,=,DC,，,BC,=,CB,（,公共边,），,AC,=,DB,，,举,例,例10 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道.,为估测这条隧道的长度如图，需测出这,座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给,出什么好方法吗？,解 选择某一适宜的地点O，,使得从,O,点能测出,AO,与,BO,的长度,.,这样就构造出两个三角形,.,连接,AO,并延长至,A,，使 ；,连接,BO,并延长至,B,，使 ，,连接 ，,O,A,B,在,AOB,和 中，,，,，,，,AOB,（,SAS,）.,AB,=,因此只要测出 的长度就能得到这座山,A,，,B,间的距离,.,练习,1. ：如图，AB=AD，BC=DC. 求证：B =D.,证明,如图，连接,AC,.,所以,ACB,ACD,(,SSS,),.,所以,B,=,D,.,在,ACB,和,ACD,中，,AB,=,AD,，,BC,=,CD,，,AC,=,AC,（,公共边,） ，,2. 如图，在ABC和DEC中，一些相等的边,或角见下表，请再补充适当的条件，从而能,运用已学的判定方法来判定ABCDEC.,AB=DE,B,=,E,ACB,=,DCE,BC=EC,如图，在ABC与DEF中，条件AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是 .,A.B=E，BC=EF B. BC=EF，AC=DF,C. A=D，B=E D. A=D，BC=EF,中考 试题,例,1,AB=DE,A=,D,BC=EF,但,ABC,与,DEF,不全等.,解,D,中考 试题,例,2,如图4.2-2，ACB ，BCB=30，那么ACA的度数为 .,A.20 B. 30 C. 35 D. 40,B,解,ACB,，,，,.,故选,B,.,结 束,
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