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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高数复习重点上,一、函数的极限，连续、可导,1. 函数的极限,1重要极限；,2等价无穷小代换；,3洛必塔法那么；,2. 函数连续左右连续，间断点类型、可导的 定义,重点：分段函数在分界点处之连续性与可导性,二、函数求导和微分、复合函数求导，高阶导数，,利用参数方程求曲线的切线方程和法线方程，微分,中值定理的应用,1. 函数求导和微分,重点: 隐函数和参数方程求导(包括二阶导数,变上限函数求导.,2. 复合函数求导,3. 高阶导数,重点: 二阶导数,4. 利用参数方程求曲线的切线方程和法线方程,6. 微分中值定理的应用,1零点定理 P61,2中值定理的应用证明题,5. 导数的应用：单调区间、凹凸区间，极值与最值，拐点，渐近线,三、不定积分与定积分,1. 求积分：原函数与不定积分的概念，换元法和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分.,2.定积分的几何应用：平面图形的面积和旋转体的体积,四、微分方程：一阶线性微分方程，可降阶微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数,非齐次,线性微分方程的特解形式.,例1：,求极限,解：,/,参考题,答案：,答案：1,例1,解,例2：设,解：,例3,解：微分法,解：,例4：,已知,可导，求,例5：,解：令,那么 y = f (u) ,x =,0 时,u,=,1,例1,解,例5,证明：,例5,证明：,f (x) 在0，+ 上单调增加，,故当,x ,0 时,，必有,亦即,/,例1,:求 的单调增减区间和极值,解：,令,得驻点,x,= 1 ,又,x,= 0 为不可导点,不存在,极大值,极小值,在,(, , 0),和,( 1 , +,),上单调增加，在,( 0 , 1 ),上,单调减少，,f,( 0 ) = 0,为极大值，,f,( 1 ) =,0.5,为 极小值,五、不定积分计算,重点： 1凑微分法与分部积分法的结合,例1：,设,解：,求,2两次分部积分后，表达式含所求不定积分,重点： 1对称区间上奇函数和偶函数积分性质,假设 f (x) 为偶函数，即,假设 f (x) 为奇函数，即,1. 求积分：原函数与不定积分的概念，换元法和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分.,例1：求,解：,2分段函数的积分,例2：设,解：,类似地有被积函数为绝对值或开根号，例如,3定积分的换元法和分部积分法,解：,例1,：设,f,(,x,),有一个原函数 ，求,例2,计算,解：原式,换元时，假设不写出代换变量，那么不要换上、下限.,例3,计算,解,令,原式,原式,例3,计算,解,令,原式 =,例4：,计算,解：这是一个以 1 为瑕点的反常积分,4瑕积分计算,三、不定积分与定积分,1. 求积分：原函数与不定积分的概念，换元法和分部积分法，倒代换，对称性，广义积分.,2.定积分的几何应用：平面图形的面积和旋转体的体积,图形的面积元素为,x,y,o,1A 可以看作为两个曲边梯形面积的差,2右边的被积函数可以看作是上边曲线方程与,下边曲线方程的差,曲边扇形的面积,二、极坐标系情形,面积元素,问题：一般地，考虑如下图的曲边梯形绕 x 轴旋,转一周而形成的空间立体，其体积为多少？,旋转体的体积,x,y,o,所以,考虑以,d x,为底的窄曲边梯形,绕,x,轴旋转而成的薄片,V,体积的近似值,其体积可以近似看作以,f,(,x,) 为底半径，高为,d x,的,薄圆柱体的体积，即,体积元素,或,4平面两曲线所围之平面图形面积,重要题型：,设曲线,将圆,分为两局部，两局部面积之比为 1 : 3 ，,试确定 a 的值,七、微分方程,1。一阶线性微分方程的通解,例1 函数 f (x) 满足:,解,求,f,(,x,) .,其通解为,为确定常数,C,，需要一个初始条件。,考虑,t,= 1，,1.函数 f (x) 满足:,求,f,(,x,) .,参考习题,答案：,2.,设连接两点,A,(0 , 1),B,( 1 , 0) 的一条凸弧，,P,(,x,y,),为凸弧 AB 上的任意一点，凸弧与弦 AP 之间的,面积为,求此凸弧的方程。,答案：,例4：函数 f (x) 满足:,求,f,(,x,) .,解：两边求导,例4：函数 f (x) 满足:,求,f,(,x,) .,解：两边求导,2。二阶常系数非齐次微分方程满足初始条件的特解,非齐项为,类型,重点：,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根：,代入方程, 化简得,原方程通解为,例1,求二阶常系数齐次线性微分方程,1,的通解的步骤如下：,第一步 写出方程1的特征方程,2,第二步 求出特征方程2的两个根,第三步 根据特征方程2的两个根的不同,情形，对应写出方程1的通解.,（1）,（2）,特征方程2,的根的判别式,特征方程2,的根的情形,微分方程1的,通解,两个不相等的,实根,两个相等的,实根,一对共扼复根,其中：,是常数，,对应齐次方程的,特征方程：,综上讨论，方程的特解总可设为,其中：,可用待定系数法确定.,方程3的特解已在前面讨论过，,特征方程是实系数,二次方程，,所以 只有两种情况.,方程3的特解：,是与 同次的多项式，系数待定.,
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