资源描述
微分方程模型,1,传染病模型,2,药物在体内的分布与排除,3,人口的预测和控制,动态模型,描述对象特征随时间,(,空间,),的演变过程,.,分析对象特征的变化规律,.,预报对象特征的未来性态,.,研究控制对象特征的手段,.,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,.,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,.,按照内在规律或用类比法建立微分方程,.,5.1,传染病模型,描述传染病的传播过程,.,分析受感染人数的变化规律,.,预报传染病高潮到来的时刻,.,预防传染病蔓延的手段,.,不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型,.,背景 与,问题,传染病的极大危害,(,艾滋病、,SARS,、,),根本方法,已感染人数,(,病人,),i,(,t,),每个病人每天有效接触,(,足以使人致病,),人数为,模型,1,假设,假设有效接触的是病人,那么不能使病人数增加,必须区分已感染者,(,病人,),和未感染者,(,健康人,),建模,模型,2,区分已感染者(病人)和未感染者(安康人),假设,1,）总人数,N,不变，病人和健康 人的 比例分别为,.,2每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的安康人致病.,建模,日,接触率,SI,模型,模型,2,1/2,t,m,i,i,0,1,0,t,t,m,传染病高潮到来时刻,(,日接触率,) ,t,m,Logistic,模型,病人可以治愈！,t=t,m, d,i,/d,t,最大,模型,3,传染病无免疫性病人治愈成为安康人，安康人可再次被感染.,增加假设,SIS,模型,3病人每天治愈的比例为,日,治愈率,建模,日接触率,1/,感染期,一个感染期内,每个病人的有效接触人数，称为,接触数,.,m,l,s,/,=,模型,3,i,0,i,0,接触数,=1,阈值,感染期内有效接触使安康者感染的人数不超过原有的病人数,1-1/,i,0,模型,2(SI,模型,),如何看作模型,3(SIS,模型,),的特例,i,d,i/,d,t,O,1, ,1,O,t,i, ,1,1-1/,i,O,t,1,di,/,dt,1,i,0,1/,i,(,t,),先升后降至0,P,2,:,s,0,1/,i,(,t,),单调降至0,1/,阈值,P,3,P,4,P,2,S,0,模型,4,SIR,模型,预防传染病蔓延的手段,(,日接触率,) ,卫生水平,(,日,治愈率,), ,医疗水平,传染病不蔓延的条件,s,0,1/,的估计,降低,s,0,提高,r,0,提高阈值,1/,降低,(=,/,),群体免疫,忽略,i,0,模型,4,预防传染病蔓延的手段,降低日接触率,提高日,治愈率,提高移出比例,r,0,以最终未感染比例,s,和病人比例最大值,i,m,为度量指标,.,1,/,s,0,i,0,s,i,1,0.3,0.3,0.98,0.02,0.0398,0.3449,0.6,0.3,0.5,0.98,0.02,0.1965,0.1635,0.5,0.5,1.0,0.98,0.02,0.8122,0.0200,0.4,0.5,1.25,0.98,0.02,0.9172,0.0200,1,0.3,0.3,0.70,0.02,0.0840,0.1685,0.6,0.3,0.5,0.70,0.02,0.3056,0.0518,0.5,0.5,1.0,0.70,0.02,0.6528,0.0200,0.4,0.5,1.25,0.70,0.02,0.6755,0.0200,s,0, (,r,0,),s,i,m,s,i,m,模型,4,SIR,模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,x,T,c,1,(,t,),和,c,2,(,t,),按指数规律趋于零,0,t,T,药物以速率,k,0,进入中心室,3,.,口服或肌肉注射,相当于药物,(,剂量,D,0,),先进入吸收室，吸收后进入中心室,.,吸收室药量,x,0,(,t,),吸收室,中心室,D,0,参数估计,各种给药方式下的,c,1,(,t,),c,2,(,t,),取决于参数,k,12,k,21,k,13,V,1,V,2,t,=0,快速静脉注射,D,0,在,t,i,(,i,=1,2,n,),测得,c,1,(,t,i,),由较大的 用最小二乘法确定,A,由较小的 用最小二乘法确定,B,参数估计,进入中心室的药物全部排除,建立,房室模型,研究体内,血药浓度,变化过程,确定转移速率、排除速率等参数,为制订给药方案提供依据,.,机理分析确定模型形式，测试分析估计模型参数,.,药物在体内的分布与排除,房室模型：,一室模型,二室模型,多室模型,非线性,(,一室,),模型,c,1,较小时近似于线性,一级,排除过程,如,c,1,较大时近似于常数,零级,排除过程,背景,年份,1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999,人口,(,亿,) 5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年份,1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000,人口,(,亿,) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0,研究人口变化规律,控制人口过快增长,3,人口的预测和控制,做出较准确的预报,建立人口数学模型,指数增长模型,马尔萨斯,1798,年,提出,常用的计算公式,x,(,t,) ,时刻,t,的,人口,根本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口,x,0,年增长率,r,k,年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,.,与常用公式的一致,rt,e,x,t,x,0,),(,=,指数增长模型的应用及局限性,与,19,世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,.,适用于,19,世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,.,可用于短期人口增长预测,.,不符合,19,世纪后多数地区人口增长规律,.,不能预测较长期的人口增长过程,.,19,世纪后人口数据,人口增长率,r,不是常数,(,逐渐下降,),阻滞增长模型,逻辑斯蒂,(,Logistic,),模型,人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r,固有增长率,(,x,很小时,),xm人口容量资源、环境能容纳的最大数量,r,是,x,的减函数,d,x,/d,t,x,O,x,m,x,m,/2,t,x,O,x,增加先快后慢,x,m,x,0,x,m,/2,阻滞增长模型,(,Logistic,模型,),指数增长模型,Logistic,模型的应用,经济领域中的增长规律,(,耐用消费品的售量,).,种群数量模型,(,鱼塘中的鱼群,森林中的树木,).,S,形曲线,参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口,预报，必须先估计模型参数,r,或,r, x,m,.,模型的参数估计、检验和预报,指数增长模型,阻滞增长模型,由统计数据用,线性最小二乘法,作参数估计,例：美国人口数据,(,百万,),t,1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 2000,x,31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4,r,=0.2022/10,年，,x,0,=6.0450,模型的参数估计、检验和预报,指数增长模型,阻滞增长模型,r,=0.2557/10,年，,x,m,=392.0886,年,实际人口,计算人口,(,指数增长模型,),计算人口,(,阻滞增长模型,),1790,3.9,6.0,3.9,1800,5.3,7.4,5.0,1960,179.3,188.0,171.3,1970,204.0,230.1,196.2,1980,226.5,281.7,221.2,1990,251.4,344.8,245.3,2000,422.1,指数增长模型,阻滞增长模型,用模型计算,2000,年美国人口,误差约,2.5%,与实际数据比较(2000年281.4),=,274.5,模型的参数估计、检验和预报,为作,模型检验,在参数估计时未用,2000,年实际数据,参加2000年数据重估模型参数,r,=0.2490,，,x,m,=434.0,x,(2010)=306.0,预报美国2021年人口,美国人口普查局2021年12月21日公布：截止到2021年4月1日美国总人口为3.087亿.,预报误差不到,1%,！,考虑年龄构造和生育模式的人口模型,年龄分布对于人口预测的重要性,.,只考虑自然出生与死亡，不计迁移,.,人口开展方程,F,(,r,t,),人口分布函数,(,年龄,r,的人口,),p,(,r,t,),人口密度函数,N,(,t,),人口总数,r,m,(,),最高年龄,人口开展方程,一阶偏微分方程,人口开展方程,O,t,r,定解条件,函数(人口调查),生育率,(,控制手段,),生育率,f,(,t,),的分解,总和生育率,h,生育模式,O,k,(,r,t,) (,女性,),性别比函数,b,(,r,t,) (,女性,),生育数,r,1,r,2,(,女性,),育龄区间,人口控制系统,总和生育率,控制生育的多少,生育模式,控制生育的早晚和疏密,正反响系统,滞后作用很大,输入,输入,输出,反响,人口指数,1人口总数,2平均年龄,3平均寿命,t,时刻出生的人，死亡率按,(,r,t,),计算的平均存活时间,4老龄化指数,控制生育率,控制,N,(,t,),不过大,控制,(,t,),不过高,5.7,烟雾的扩散与消失,现象和,问题,炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形,成圆形不透光区域,.,不透光区域不断扩大，然后区域边界逐,渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失,.,建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分,析消失时间与各因素的关系,.,问题分析,无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，,用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化,.,观察到的烟雾消失与烟雾对光线的吸收、,以及仪器对明暗的灵敏程度有关,.,模型假设,1烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风,的影响；扩散服从扩散定律.,2光线穿过烟雾时光强的相对减少与烟雾,浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强.,3穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，,明暗界限由仪器灵敏度决定.,模型建立,1,）烟雾浓度 的变化规律,扩散定律：,单位时间通过单位法向面积的流量,q,与浓度,C,的,梯度成正比,.,曲面积分奥,-,高公式,1,）烟雾浓度 的变化规律,的微分形式，并利用积分中值定理,初始条件,Q,炮弹释放的烟雾总量,单位强度的点源函数,对任意,t,C,的等值面是球面,x,2,+,y,2,+,z,2,=,R,2,，,R,C,仅当,t,对任意点,(,x,y,z,),C,0,1,）烟雾浓度 的变化规律,2光强穿过烟雾时的变化规律,假设2光强的相对减少与烟雾浓度成正比.,I,(,l,) ,沿,l,方向的光强，,C,(,l,) ,沿,l,方向的烟雾强度,记未进入烟雾,(,l,l,0,),时光强为,I,(,l,0,)=,I,0,3仪器灵敏度与烟雾明暗界限,烟雾浓度连续变化,烟雾中光强连续变化,仪器,z,-,设光源在z=-, 仪器在z=,那么观测到的明暗界限为,不透光区域有扩大、缩小、消失的过程,穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定,.,不透光区域边界,4不透光区域边界的变化规律,对任意,t,不透光区域边界是圆周,不透光区域边界半径,r,(,t,),r,m,O,t,1,t,2,t,结果分析,观测到不透光区域边界到达最大的时刻t1，可以预报烟雾消失的时刻t2,5.8,万有引力定律的发现,背景,航海业开展,天文观测准确,“地心说动摇,哥白尼：“日心说,伽利略：落体运动,开普勒：行星运动三定律,变速运动的计算方法,牛顿：一切运动有力学原因,牛顿运动三定律,牛顿：研究变速运动，创造微积分流数法,开普勒三定律,牛顿运动第二定律,万有引力定律,自然科学之数学原理(1687),模型假设,极坐标系,(,r,),1.,行星轨道,a,长半轴,b,短半轴,e,离心率,3.,行星运行周期,T,行星位置：向径,2.,单位时间,扫过面积为常数,A,m,行星质量,绝对常数,4.,行星运行受力,太阳,(0,0),O,r,P,行星,模型建立,O,(,太阳,),P,(,行星,),r,向径 的基向量,模型建立,只需证明 4A2/p =kMA2/p与哪一颗行星无关,A,单位时间,扫过面积,与万有引力定律,比较,T,运行周期,可以证明,(,习题,10),l,p,/,/,2,2,=,p,A,4,A,2,/,p =kM,在正确假设根底上用数学建模方法得到万有引力定律,
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