资源描述
,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,解直角三角形,三边之间的关系,a,2,b,2,c,2,（勾股定理）；,锐角之间的关系,A, ,B,90,边角之间的关系（锐角三角函数）,tanA,a,b,sinA,a,c,1,、,cosA,b,c,a,b,c,解直角三角形的依据,2,、,30,，,45,，,60,的三角函数值,30,45,60,sina,cosa,tana,1,45,0,45,0,30,0,60,0,在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念,l,h,（,2,）坡度,tan,h,l,概念反馈,（,1,）仰角和俯角,视线,铅垂线,水平线,视线,仰角,俯角,（,3,）方位角,30,45,B,O,A,东,西,北,南,为坡角,解直角三角形,：,(,如图,),1.,已知,a,b.,解直角三角形,(,即求：,A,，,B,及,C,边,),2.,已知,A,，,a.,解直角三角形,3.,已知,A,，,b.,解直角三角形,4.,已知,A,，,c.,解直角三角形,b,A,B,C,a,c,只有下面两种情况：,（,1,）已知两条边；,（,2,）已知一条边和一个锐角,【,热点试题归类,】,题型,1,三角函数,1.,在,RtABC,中，,C=90,，,AB=5,，,AC=4,，则,sinA,的值为,_,2.,在,RtABC,中，,C =90,，,BC=4,，,AC=3,，则,cosA,的值为,_,3.,如图,1,，在,ABC,中，,C =90,，,BC=5,，,AC=12,，则,cosA,等于（ ）,D,4.,如图,2,，在,RtABC,中，,ACB =90,，,CDAB,于点,D,，已知,AC=,，,A,BC=2,，那么,sinABC=,（ ）,5,计算：,|-,|+,（,cos60-tan30,）,+,A,题型,2,解直角三角形,1.,如图,4,，在矩形,ABCD,中，,DEAC,于,E,，设,ADE=,，且,cos =,AB=4,，则,AD,的长为（ ）,，,A,3,B,年,8,月在北京召开的国际数学家大会会标如图,5,所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形若大正方形的面积是,13,，小正方形的面积是,1,，直角三角形的较长直角边为,a,，较短直角边为,b,，,则,a+b,的值为（ ）,A,35 B,5 C,89 D,97,B,B,题型,3,解斜三角形,1.,如图,6,所示，已知：在,ABC,中，,A=60,，,B=45,，,AB=8,，,求,ABC,的面积（结果可保留根号）,解：过,C,作,CDAB,于,D,，,设,CD=x,在,RtACD,中，,cot60=,在,RtBCD,中，,BD=CD=x,x+x=8,解得,x=4,（,3-,）,=16,（,3-,）,=48-16,，,AD=,x,ABCD=,84,（,3-,S,ABC,=,）,2.,如图，海上有一灯塔,P,，在它周围,3,海里处有暗礁，一艘客轮以,9,海里,/,时的速度由西向东航行，行至,A,点处测得,P,在它的北偏东,60,的方向，继续行驶,20,分钟后，到达,B,处又测得灯塔,P,在它的北偏东,45,方向，问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？,2,解：过,P,作,PCAB,于,C,点，据题意知：,AB=9,=3,，,PAB=90-60=30,，,PBC=90-45=45,，,PCB=90,PC=BC,在,RtAPC,中，,PC3,客轮不改变方向继续前进无触礁危险,tan30=,，,即,=,，,3.,如图，某校九年级,3,班的一个学生小组进行测量小山高度的实践活动部分同学在山脚点,A,测得山腰上一点,D,的仰角为,30,，并测得,AD,的长度为,180,米；另一部分同学在山顶点,B,测得山脚点,A,的俯角为,45,，山腰点,D,的俯角为,60,请你帮助他们计算出小山的高度,BC,（计算过程和结果都不取近似值）,在,RtADF,中，,AD=180,，,DAF=30,，,DF=90,，,AF=90,3,解：如图设,BC=x,，,解得,x=90,+90,（,x-90,）,FC=AC-AF=x-90,BAC=ABC=45,，,AC=BC=x,BE=BC-EC=x-90,在,RtBDE,中，,BDE=60,，,DE=,BE=,（,x-90,）,=x-90,DE=FC,，,4.,如图，在观测点,E,测得小山上铁塔顶,A,的仰角为,60,，铁塔底部,B,的仰角为,45,已知塔高,AB=20m,，观察点,E,到地面的距离,EF=35m,，求小山,BD,的高（精确到，,）,4,解：如图，过,C,点作,CEAD,于,C,x-x,解得,x=10,AB=AC-BC,，,即,20=,BD=BC+CD=BC+EF,设,BC=x,，则,EC=BC=x,在,RtACE,中，,AC=,x,，,+10,+10+3545+101.73262.3,（,m,）,所以小山,BD,的高为,62,3m,=10,题型,4,应用举例,1,有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人小敏想知道校园内一棵大树的高（如图,1,），她测得,CB=10,米，,ACB=50,，请你帮助她算出树高,AB,约为,_,米（注：树垂直于地面；供选用数据：，）,12,2.,如图,2,，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是米和,15,米，已知小华的身高为米，,那么分所住楼房的高度,为,_,米,3,如图,3,，两建筑物,AB,和,CD,的水平距离为,30,米，从,A,点测得,D,点的俯角为,30,，测得,C,点的俯角为,60,，则建筑物,CD,的高为,_,米,48,20,4.,如图，花丛中有一路灯杆,AB,在灯光下，小明在,D,点处的影长,DE=3,米，沿,BD,方向行走到达,G,点，,DG=5,米，这时小明的影长,GH=5,米如果小明的身高为米，求路灯杆,AB,的高度（精确到米）,4,解：设,AB=x,米，,BD=y,米,由,CDEABE,得, ,由,FGHABH,得, ,由，得，米,所以路灯杆,AB,的高度约为米,5.,如图，在两面墙之间有一个底端在,A,点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在,B,点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在,D,点已知,BAC=65,，,DAE=45,，点,D,到地面的垂直距离,DE=3,m,，,求点,B,到地面的垂直距离,BC,（精确到）,5,解：在,RtADE,中，,DE=3,DAE=45,，,sinDAE=,AD=6,又,AD=AB,，,在,RtABC,中，,sinBAC=,答：点,B,到地面的垂直距离,BC,约为米,，,，,，,6.,如图，我市某广场一灯柱,AB,被一钢缆,CD,固定，,CD,与地面成,40,夹角，且,DB=5m,，现要在,C,点上方,2m,处加固另一条钢缆,ED,，那么,EB,的高为多少米？（结果保留三个有效数字）,6,解：在,RtBCD,中，,BDC=40,，,DB=5m,，,tanBDC=,BC=DBtanBDC,答：略,，,7.,如图，在电线杆上的,C,处引位线,CE,、,CF,固定电线杆，拉线,CE,和地面成,60,角，在离电线杆,6,米的,B,处安置测角仪，在,A,处测得电线杆,C,处的仰角为,30,，已知测角仪,AB,高为米，求拉线,CE,的长（结果保留根号）,7,解：过点,A,作,AHCD,，垂足为,H,由题意可知四边形,ABDH,为矩形，,CAH=30,，,AB=DH=1.5,，,BD=AH=6,在,RtACH,中，,tanCAH=,，,CH=AHtanCAH=6tan30=6,=2,在,RtCDE,中 ，,CED=60,，,sinCED=,CE=,=,（,4+,）（米）,DH=1.5,，,CD=2,+1.5,答：拉线,CE,的长为（,4+,）米,8,已知：如图，在山脚的,C,处测得山顶,A,的仰角为,45,，沿着坡度为,30,的斜坡前进,400,米到,D,处（即,DCB=30,，,CD=400,米），测得,A,的仰角为,60,，求山的高度,AB,在矩形,DEBF,中，,BE=DF=200,米，,在,RtACB,中，,ACB=45,，,AB=BC,，,即,8,解：如图，作,DEAB,于,E,，作,DFBC,于,F,，在,RtCDF,中,DCF=30,，,CD=400,米，,DF=CDsin30=,400=200,（米）,CF=CDcos30=,400=200,（米）,+x,x+200=200,x=200,，,AB=AE+BE=,（,200,+200,）米,在,RtADE,中，,ADE=60,，设,DE=x,米，,AE=tan60x=,x,（米）,9.,如图，在一个坡角为,15,的斜坡上有一棵树，高为,AB,当太阳光与水平线成,50,时，测得该树在斜坡的树影,BC,的长为,7m,，求树高（精确到）,BCD=15,，,ACD=50,，,在,RtCDB,中，,CD=7cos15,，,BD=7sin15,在,RtCDA,中，,AD=CDtan50=7cos15tan50,AB=AD-BD,=,（,7cos15tan50-7sin15,）,=7,（,cos15tan50-sin15,）（,m,）,答：树高约为,9,解：如图，过点,C,作水平线与,AB,的延长线交于点,D,，则,ADCD,体会一下,:,这节课你有哪些收获,?,你能否用所学的知识去解决一些,实际问题吗,?,题型,5,综合与创新,1.,小明骑自行车以,15,千米,/,小时的速度在公路上向正北方向匀速行进，如图,1,，出发时，在,B,点他观察到仓库,A,在他的北偏东,30,处，骑行,20,分钟后到达,C,点，发现此时这座仓库正好在他的东南方向，则这座仓库到公路的距离为,_,千米（参考数据：,1.732,，结果,保留两位有效数字）,1.8,2.,先将一矩形,ABCD,置于直角坐标系中，使点,A,与坐标系的原点重合，边,AB,、,AD,分别落在,x,轴、,y,轴上（如图,2,），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转,30,（如图,3,），若,AB=4,，,BC=3,，则图（,2,）和图（,3,）中点,B,的坐标为,_,，点,C,的坐标为,_,答案：图（,2,）中：,B,（,4,，,0,），图（,3,）中：,B,（,2,，,2,）；,图（,2,）中：,C,（,4,，,3,），图（,3,）中：,C,（,）,3.,数学活动课上，小敏、小颖分别画了,ABC,和,DEF,，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作,S,ABC,，小颖画的三角形面积记作,S,DEF,，那么你认为（ ）,A,S,ABC,S,DEF,B,S,ABC,S,DEF,C,S,ABC,=S,DEF,D,不能确定,小敏画的三角形 小颖画的三角形,C,4.,已知：如图，在,ABC,中，,AD,是边,BC,上的高，,E,为边,AC,的中点，,BC= 14,，,AD=12,，,sinB=,，求：（,1,）线段,DC,的长；,（,2,）,tanEDC,的值,CD=BC-BD=14-9=5,（,2,）,E,是,RtADC,斜边,AC,的中点，,DE=EC,，,EDC=C,tanEDC=tanC=,4,解：（,1,）在,RtABD,中，,AB=,=15,BD=,=9,5.,某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，,BCAD,，斜坡,AB,长,22m,，坡角,BAD=68,，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过,50,时，可确保山体不滑坡,（,1,）求改造前坡顶与地面的距离,BE,的长（精确到）；（,2,）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚,A,不动，坡顶,B,沿,BC,削进到,F,点处， 问,BF,至少,是多少米（精确到）？,（,参考数据：,sin680.927 2,，,cos680.374 6,，,tan682.475 1,，,tan500.766 0,，,cos500.642 8,，,tan501.191 8,）,5,解：如图，（,1,）作,BEAD,，,E,为垂足,，,BF=AG-AE=8.888.9,（,m,）,即,BF,至少是,则,BE=ABsin68=22sin6820.40=20.4,（,m,）（,2,）作,FGAD,，,G,为垂足，,连结,FA,，则,FG=BE,AG=,=17.12,，,1.73,）,6.,如图，小岛,A,在港口,P,的南偏西,45,方向，距离港口,81,海里处甲船从,A,出发，沿,AP,方向以,9,海里,/,时的速度驶向港口，乙船从港口,P,出发，沿南偏东,60,方向，以,18,海里,/,时的速度驶离港口，现两船同时出发，,（,1,）出发后几小时两船与港口,P,的距离相等？,（,2,）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果精确到,0.1,小时）,（参考数据：,1.41,，,6,解：（,1,）设出发后,x,小时时两船与港口,P,的距离相等,根据题意，得,81-9x=18x,，,解这个方程，得,x=3,出发后,3,小时两船与港口,P,的距离相等,在,RtCEP,中，,CPE=45,，,PE=PCcos45,在,RtPED,中，,EPD=60,，,PE=PDcos60,（,81-9x,）,cos45=18xcos60,解这个方程，得,出发后约小时乙船在甲船的正东方向,（,2,）如图，设出发后,x,小时乙船在甲船的正东方向，此时甲、乙两船的位置分别在点,C,、,D,处，连结,CD,过点,P,作,PECD,，垂足为,E,则点,E,在点,P,的正南方向,1.,如图，一架长,4,米的梯子,AB,斜靠在与地面,OM,垂直的墙,ON,上，梯子与地面的倾斜角,为,60,（,1,）求,AO,与,BO,的长；（,2,）若梯子顶端,A,沿,NO,下滑，同时底端,B,沿,OM,向右滑行如图，设,A,点下滑到,C,点，,B,点向右滑行到,D,点，并且,AC,：,BD=2,：,3,，试计算梯子顶端,A,沿,NO,下滑多少米；如图，当,A,点下滑到,A,点，,B,点向右滑行到,B,点时，梯子,AB,的中点,P,也随之运动到,P,点，若,POP=15,，,试求,AA,的长,题型,6,中考新题型, ,2.,如果正方形网格中的每一个小正方形边长都是,1,，则每个小格的顶点叫做格点,（,1,）在图中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为,3,，,2,（,2,）在图中，线段,AB,的端点在格点上，请画出以,AB,为一边的三角形，使这个三角形的面积为,6,（要求至少画出,3,个）,（,3,）在图中，,MNP,的顶点,M,、,N,在格点上，,P,在小正方形的边上，问这个三角形的面积相当于多少个小方格,的面积？在你解,出答案后，说说,你的解题方法, ,（,3,）若在（,1,）的条件下，,S,AMN,：,S,ABE,=9,：,64,，且线段,BF,与,EF,的长是关于,y,的一元二次方程,5y,2,-16ky+10k,2,+5=0,的两个实数根，求,BC,的长,3.,已知：如图，,AD,为,RtABC,斜边,BC,上的高，点,E,为,DA,延长线上一点，连结,BE,，过点,C,作,CFBE,于点,F,，交,AB,、,AD,于,M,、,N,两点,（,1,）若线段,AM,、,AN,的长是关于,x,的一元二次方程,x,2,-2mx+n,2,-mn+,m,2,=0,的两个实数根，,求证：,(1)AM=AN,（,2,）若,AN=,，,求,DE,的长；,
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