曲线的极坐标方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,曲线的极坐标方程,52 曲线的极坐标方程,在极坐标系中，用,，=0表示曲线的方,程,。,一些基本曲线的方程：,=,r =,0,(0) =,0,(R),o x,o x,0,0,r,o,o,x,x,o,P,P(,2，,P(,，2/3, = 2, = ,2,3,o,o,o,o,x,x,x,x,c(a，0),c(a，,/2,),c(a，,),c(a，,-,/2,),P(,，,),P(,，,),P(,，,),P(,，,),=2,acos,=2,acos,( -)= -2acos ,=2,acos,( -3/2)= -2asin,=2,asin,x,x,x,x,P(,，,),P(,，,),P(,，,),P(,，,),o,o,o,o,a,a,a,a,=,asec,=,acsc,=,asec,(-3/2)=-,acsc,=,asec,(- )= -,asec,),c(,0，,0,),r,a,P(,，,),P(,，,),余弦定理,r,2,=,2,+,0,2,- 2 ,0,cos(-,0,),正弦定理, = ,sin(-),a,sin(-),= ,asin,sin(-),o,o,x,x,P,47,三种圆锥曲线的统一的极坐标方程,动点,M,到定点(焦点),F,与到定直线(准线),L,的,距离的比为,e，,求点,M,的极坐标方程。,分析：以焦点,F,为极点，,如图建立极坐标系。,F,到,L,的离|,FK|=p，M,，,为轨,轨上的任一点。,把条件 =,e，,用极坐标表示=,e,解出 = ,K,F,H,M(,，,),x,|MF|,|MH|,P+,cos,ep,1-,ecos,上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线,F,L,x,L,F,x,x,F,L,当0,e1,时，方程表示椭圆，,F,是左焦点，,L,是左准线。,当1,e,时，方程表示双曲线，,F,是右焦点，,L,是右准线。,当,e=1,时，方程表示抛物线，,F,是焦点，,L,是准线，开口向右。,圆锥曲线极坐标方程的应用,例 5 (1) 以抛物线,y,2,=5x,的焦点为极点，对称轴,向右的方向为极轴的正方向，且,x,轴与极轴的,长度单位相同，求抛物线的极坐标方程。,分析：设所求的抛物线的极坐标方程为,= ，基中,e=1，p,是焦点到准线的,距离，,p= ，,代入上式得所求的抛物线,= = ,ep,1-,ecos,5,2,1-,cos,1 ,2,5,2- 2cos,5,(2) 以椭圆 + = 1的左焦点为极点，长轴,向右的方向为极轴的正方向，且,x,轴与极轴的,长度单位相同，求椭的极坐标方程。,分析：根据已知条件，可设所求的椭圆的,极 坐标方程为,= ，由椭圆的直角坐标,方程求得,a=5，b=4，c=3，e= ，,p= -3+ = ，,代入上式 = =,x,2,y,2,16,25,ep,1-,ecos,3,5,3,25,3,16,3/5 16/3,1-3/5,cos,16,5-3cos,例 6 通过抛物线,y,2,=8x,的焦点,F，,作一条倾斜,角为,/4的直线，交抛物线于,A、B,两点，求,焦点弦|,AB|,的值。,分析：可用以往学过,的方法求焦点弦的长。,也可建立极坐标系解决。,点,F,为极点，,x,轴正半轴,为极轴，它的极坐标方程为,= ，,1,= ，,2,= ,|,AB|= ,1,+ ,2,=16,o F x,A,B,y,4,1-,cos,1,2,4,1-,cos,/4,4,1-,cos5,/4,P,52,53,极坐标和直角坐标的互化,以直角坐标系,xoy,的,原点为极点，,x,轴的正方,向为极轴，点,M,的直角,坐标为(,x，y)，,它的极,坐标为(,，根据三角,函数定义，同一点,M,的两种坐标有下面关系,x= ,cos, ， y=sin ，,2,=x,2,+y,2,，,tg,= (x=0),一般，根据,M,所在象限 ，取最小的正角。,o,x,y,M,),y,x,公式的应用,例 把点,M,的极坐标(-5，)化成直角坐标,直接代入公式计算,x=,cos,= -5cos/6 =(-5/2)3,y=,sin,= -5sin,/6= - 5/2,点,M,的直角坐标是(- ，- ),例 把点,M,的直角坐标(-3，-1)化为极坐标,极径取正值 =2,极角 ：,tg, = ，= ,6,),M,o,x,y,5,3,5,2,2,o,x,y,M,3,3,7,6,同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化,P,54,例 3 化圆的直角坐标方程,x,2,+y,2,-2ax=0,为,极坐标方程。,解题时，应用公式，注意整体替代。把,x,2,+y,2,=,2,，x=,cos,代入直角坐标方程得,2,-2,a,cos, = 0(-2acos)=0,所示的极坐标方程是=0或,-2,acos =0, =0,是极点， =2,acos,表示以(,a，0),为圆心，,a,为,半径，且过极点的圆，所以, =0不必写出来。,o,x,(a，0),例 5 化,=-4,sin+,cos,为直角坐标方程,解题注意整体替代。,把原极坐标方程两边同乘,2,=-4 ,sin + ,cos,，,2,=x,2,+y,2,，,cos, = x，,sin = y，,它的直角坐标方程,是,x,2,+y,2,=-4y+x (x- ),2,+(y+2),2,= ,在直角坐标系,xoy,中,方程表示的是以(，-2)为,圆心,，为半径的圆。,1,2,4,17,o,x,y,1,2,2,14,把极坐标方程,2,sin2 =2tg,化为直角坐标方程,解：把原方程化为,sin ,cos, =,tg,x= ,cos, ，y= sin ， =,tg,它的直角坐标方程是,xy,= y(x,2,-1)=0 y (x-1) (x+1)= 0,从极坐标方程直接看不出方程表示的曲线,是什么，化为直角坐标方程后知道它表示的,是三条直线：,y=0,或,x=1,或,x=-1,x,y,y,x,P,54,例 4 化圆锥曲线的极坐标方程,= ,为直角坐标方程。,解：把原极坐标方程化为 -,e,cos,=,ep, =e ,cos, +p)， = x,2,+y,2,， x = ,cos,x,2,+y,2,=e(x+p)，,两边平方得,x,2,+y,2,=e,2,(x,2,+2px+p,2,)，,整理，所求的直角坐,标方程是,(1-,e,2,)x,2,+y,2,-2pe,2,x-e,2,p,2,=0,ep,1-,ecos,