刘金旺 5特征值与二次型

第一节向量的内积,第五章 特征值与二次型,第二节方阵的特征值和特征向量,第三节相似矩阵,第四节化二次型为标准型,第五节正定二次型,5.1,向量的内积,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,上述从线性无关向量组,导出,的经过称为施密特正交化过程。它不仅满足与等价，还满足：对于任何,(,）,向量组 与等价,.,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,5.,2,方阵的特征值和特征向量,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,5.3,相似矩阵,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,定理,6,实对称矩阵的特征值都是实数。,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,定理,8,设,A,为实对称矩阵，则必存在正交矩阵,T,，,使,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,例,设,求,正交矩阵,T,，使,T,-1,AT,为对角矩阵。,解,显然,A,=,A,。,故一定存在正交矩阵,T,，使,T,-1,AT,为对角矩阵。,先求,A,的特征值,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,求得一基础解系为,正交化，令,再,单位化，令,返回,上一页,下一页,求得一基础解系为,只有一个向量，只要单位化，得,返回,上一页,下一页,以,正交单位向量组 为列向量的矩阵,T,就是所求的正交矩阵。,有,返回,上一页,下一页,5.4,化二次型为标准型,二次型写成对称形式,当 为复数时， 称为复二次型，,为实数时 称为实二次型。,定义,8,n,元变量 的二次齐次多项式,称为二次型。,（,1,）,返回,上一页,下一页,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换,（,2,）,使二次型只含平方项，也就是用（,3,）代入（,1,）,能使,返回,上一页,下一页,这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形。,由（,2,）式，利用矩阵二次型可表为,返回,上一页,下一页,记,返回,上一页,下一页,其中,A,为实对称矩阵。,任给一个二次型，就惟一地确定一个对称矩阵，反之任给一个对称矩阵，也可以惟一地确定一个二次型。这样二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系，,则二次型可记为,返回,上一页,下一页,因此，我们把对称矩阵,A,叫做二次型的矩阵，也把叫做对称矩阵,A,的二次型，对称矩阵,A,的秩叫做二次型的秩。,返回,上一页,下一页,说明经可逆变换,x=Cy,后,二次型,f,的矩阵,A,变为对称矩阵,C,AC,且二次型的秩不变,矩阵的合同关系与相似关系一样,都满足反身性,对称性,传递性,.,即,这种合同变换既不改变矩阵的秩，也不改变矩阵的对称性。,证,因,A,=,A,故,B,=(,C,A,C,),=,C,A,C,=,C,AC,=,B,即,B,为对称矩阵,.,又因为,B,=,C,AC,而,C,与,C,均为可逆矩阵,故,A,与,B,等价,于是,R,(,B,)=,R,(,A,).,定理,9,任给可逆矩阵,C,令,B,=,C,AC,如果,A,为对称矩阵,则,B,亦为对称矩阵,且,R,(,B,)=,R,(,A,),此时,也称,A,与,B,合同,.,返回,上一页,下一页,要使二次型,f,经可逆变换,x=Cy,变成标准形,这就是要使,也就是要使,C,AC,成为对角矩阵。因此，我们的主要问,题就是：对于对称矩阵,A,，,寻求可逆矩阵,C,，使,C,AC,为对角阵。,由上节内容可知，任给实对称矩阵,A,，,总有正交,矩阵,P,使得,P,-1,AP=,即,P,AP=,，,故,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,5.5,正定二次型,返回,上一页,下一页,推论 对称矩阵,A,正定当且仅当,A,的特征值全为正,.,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,判别一个二次型是否正（负）定，可以从其标准形中正（负）平方项的个数来判别，也可以判别其对应的矩阵是否正（负）定，从而判别所讨论的二次型是否正（负）定。,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,