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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、区间与邻域,1.集合:,具有某种特定性质的事物的,总体.,组成这个集合的事物称为该集合的,元素,.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为,空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,二 有界集,确界原理,1 有无界数集:定义(上、下有界, 有界),数集S有上界,数集S无上界,数集S有下界,数集S无下界,数集S有界,数集S无界,闭区间 、开区间 为有限数、邻域等都是有界数集，,集合 也是有界数集., 等都是无界数集,集合 也是无界数集.,例1 证明集合,是无界数集., 存在,由无界集定义，E 为无界集。,证明：对任意,2 确界:,定义 R, 数M假设满足,1M是E的上界,2 是任一上界，必有 那么称M是E的最小上界或上确界，记 作,或 。,命题1 的充要条件,1M 是E上界，,2 使得 。,证 必要性，用反证法。设2不成立， 那么 使得 ，均有 ，与M是上确界矛盾。,充分性， 用反证法。设M不是E的上确界，即 是上界,但 。令 ，由2)， ，使得 ，与 是E的上界矛盾。,定义2 R，m满足,1 m 是下界，,2 是E的任意下界，必有 .,那么称m为E的下确界或最大下界。记作： 或 .,命题2 m= 的 充要条件,1m是E的下 界，,2 使得 .,例2 那么,那么,例3 设S和A是非空数集，且有 那么有 .,例4 设A和B是非空数集. 假设对 和,都有 那么有,证 y 是A的上界,是B的下界,例4,设,A, B,为非空数集,满足,:,证明数集,A,有上确界,数集,B,有下确界,且,证,:,故有确界原理知,数集,A,有上确界,数集,B,有下确界,.,是数集,A,的一个上界,而由上确界的定义知,由假设,数集,B,中任一数,都是数集,A,的上界,A,中任一数,都是,B,的下界,是数集,A,的最小上界,故有,而此式又表明数,是数集,B,的一个下界,故由下确界的定义证得,例5,为非空数集,试证明,:,证,有,或,由,和,分别是,的下界,有,或,即,是数集,的下界,.,和,又,的下界就是,的下界,是,的下界,是,的下界,同理有,.,于是有,综上, 有,例5,为非空数集,试证明,:,证,有,或,由,和,分别是,的下界,有,或,即,是数集,的下界,.,和,命题3,：,设数集,有上下确界，那么这上,，,且,，那么不妨设,有,对,，,使,，矛盾。,下确界必是唯一的。,证：设,3.数集与确界的关系:,确界不一定属于原集合. 以例1为例做解释.,4.确界与最值的关系: 设 E为数集., E 的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点., 非空有界数集必有确界(见下面确实界原理), 但未必有最值., 假设 存在, 必有 对下确界有类似的结论.,5 确界原理,定理1 (确界原理). 设 E 为非空数集，假设E有上界，那么E必有上确界；假设E有下界，那么E必有下确界。,非空，有上界,：,，,(1).假设,中有最大数,，那么,即为上确界；,中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；,，其余的实数归入下类,，那么,是实数的一个分划。,证明,设,.,(2).假设,的一切上界归入上类,。其次,，由于,不是,的最大数，所以它不是,的上界，即,。这说明,中任一元素都属于下类,；,A,B不空.首先,取,A、B不漏性由A、B定义即可看出；,A、B不乱.设,，,因a不是E的上界，,，使得,，,而E内每一元素属于A，所以,.,由,的证明可见,无最大数.,所以,是实数的一个分划.由戴德金定理，,知上类B必有最小数，记作c.,由 知,，即得,.,这说明c,是,的一个上界.,假设b是E的一个上界，那么,，由此得,，所以c是上界中最小的，,由上确界定义，,为集合的上确界，记作,。,下证:,非空的有下界的集合必有下确界。,事实上，设集合,有下界b，,那么非空集合,有上界-b，,利用集合,上确界的存在性，,即可得出集合E的下确界存在。,定理1解决了非空有上(下)界集合的上(下)确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研究的某一类量如弧长的存在性。,假设全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的。定理1刻划了实数集是完备的。,
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