数学23数学归纳法课件新

金太阳新课标资源网,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,山东省临沂第一中学,数学归纳法,问题1：有一台晚会，假设知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？,问题2：有一台晚会，假设知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？,问题3：有一台晚会，假设知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌那么它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？,一、设置情景，导学探究：,思考2：有假设干块骨牌竖直摆放，假设将它们全部推倒，有什么方法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？,1推倒第一块骨牌；,2前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌.,多米诺骨牌课件演示,如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？,2任意相邻的两块骨牌，假设前一块倒下，那么必须保证下一块要相继倒下。,1第一块骨牌倒下,-递推关系；,即第k块倒下，那么相邻的第k+1块也倒下,-奠基；,思考3：,某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？,1始祖姓王；,2子随父姓.,第1代姓王,如果第k代姓T，那么第k+1代也姓T,思考4：数列an满足:,nN*，那么该数列,的各项能确定吗？上述递推关系只说明什么问题？假设确定数列中的每一项，还需增加什么条件？,由第k项可推出第k1项,.,给出第1项；,1,2,思考5：,上述证明方法叫做,数学归纳法,，一般地，用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，其证明步骤如何？,1证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；,2假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.,思考6：,数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是,归纳奠基,，第二步是,归纳递推,，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？,逐一验证命题对从n0开场的所有正整数n都成立.,证明：1、当,n,=1时,左=1,2,=1，右=,n,=1时，等式成立,2、假设,n,=,k,时，等式成立，即,那么，当,n,=,k,+1时,左=1,2,+2,2,+,k,2,+(,k,+1),2,=,=右,n,=,k,+1时，原不等式成立,由1、2知当,n,N,*,时，原不等式都成立,例1、用数学归纳法证明：,练习：用数学归纳法证明,证明：(1) n=1时，左边,=,那么,(2) 假设,n=k（k,N*),时等式成立，即,右边,=,等式成立,。,即当n=k+1时等式也成立。,根据（1）和（2），可知等式对任何,n,N*,都成立。,这就是说当 时等式成立，,所以 时等式成立,.,思考1：,下列推证是否正确，并指出原因,.,用数学归纳法证明：,证明：假设 时，等式成立，,就是,那么,思考2：,下面是某同学用数学归纳法证明命题,的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?,(1)当n=1时,左边= , 右边=,(2)假设n=k(kN*)时命题成立 ，,那么n=k+1时,即n=k+1时,命题也成立.,由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.,=右边,左边,思考3：,下列证法对吗？,用数学归纳法证（nN,+,):,1+2+3+,+ 2n = n(2n+1 ),证明：1)左边=1=,2)假设n=k时等式成立,即:,1+2+3+,+ 2k = k(2k+1).,1+2+3+,+ 2k +2(k+1),= k( 2k+1)+2(k+1)=,那么,，n = k+1,时,，,1+2+3+,+ 2k = k(2k+1).,1+2+3+,+ 2k+,(2k+1)+ 2(k+1),= k(2k+1)+,(2k+1)+ 2(k+1),=,那么,，n = k+1,时,，,证明：1)左边=1+2=3=右边,2)假设n=k时等式成立,即:,(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到,n=k命题成立这一归纳假设,否那么就打破数学,归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无,效.,证明中的几个注意问题：,(1)在第一步中的初始值,不一定从1取起,，证明时,应根据具体情况而定.,(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要,分析命题的构造特点,分析“n=k+1时命题是什,么，并找出与“n=k时命题形式的差异.弄清,应增加的项.,例2 数列：,试猜测其前n项和Sn的表达式，并数学归纳法证明.,小结作业,1.数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从n0开场的所有正整数n都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证明.,数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：,（1）,证明当 取第一个值 （如 或,2,等）时结论正确；,（2）,假设时 结论正确，证明,时结论也正确,递推根底,递推依据,“找准起点，奠基要稳,“用上假设，递推才真,注 意：,1、一定要用到归纳假设；,2、看清从k到k1中间的变化。,2.归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能作用.但在数学归纳法的实施过程中，还有许多细节有待进一步明确和认识.,(1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.,练习1:欲用数学归纳法证明2nn2,试问n的第一个取值应是多少,答:对n=1,2,3,逐一尝试,可知初始值为n=5.,证明中需要注意的问题,练习2,:用数学归纳法证明3,n,n,2,.,此题在第二步的证明过程中在假设n=k时,3,k,k,2,成立的基础上,当n=k+1时,要说明此式大于零,则必须k,2.故在证明的第一步中,初始值应取1和2两个值.,(2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否那么就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系,造成推理无效.,练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题,的过程.你认为他的证法正确吗为什么,(1).当n=1时,左边= , 右边=,(2).假设n=k时命题成立 即,那么n=k+1时,左边,=右边,即n=k+1时,命题也成立.,由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.,(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的构造特点,分析“n=k+1时命题是什么，并找出与“n=k时命题形式的差异.弄清应增加的项.,学案P74例题1,1,.已知: ,则 等于( ),A: B:,C: D:,C,练习：,2.学案P74 A 2.,重点：两个步骤、一个结论；,注意：递推根底不可少，,归纳假设要用到，,结论写明莫忘掉。,分析:找到“递推关系就等于把握住解决问题的“灵魂。,有几项？,是什么,它比,多出了多少，是首要问题。,例3对于nN,*,用数学归纳法证明：,事实上f(k+1)不但比fk多一项，而且前k项中每一项分别比fk中多了1,2,3,4k,f(k+1)=f(k)+1+2+3+k,证明：设f(n)=,(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立,(2)设当nk,时等式成立，即,则n=k+1时，,f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+,+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1),=f(k)+1+2+3+k+(k+1),由12可知当nN*时等式都成立。,归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；,数学归纳法的科学性：根底正确；可传递；,数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；,数学归纳法优点：抑制了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又抑制了不完全归纳法结论不可靠的缺乏，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷,数学归纳法的根本思想：,在可靠的根底上利用命题本身具有传递性,运用“有限的手段来解决“无限的问题,数学归纳法的核心:,在验证命题n=n0正确的根底上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。,课堂小结,用数学归纳法证明恒等式的步骤及本卷须知：, 明确首取值n0并验证真假。必不可少, “假设n=k时命题正确并写出命题形式。,分析“n=k+1时命题是什么，并找出与“n=k时,命题形式的差异。弄清左端应增加的项。,明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的,方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，,并 用上假设。,可明确为：,作业：,P95练习：,1，2.,