自动控制理论课件第四章 线性系统的根轨迹分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 线性系统的根轨迹分析,概述,4.2 根轨迹的基本概念,4.3 绘制根轨迹的基本条件和基本规则,根轨迹绘制举例及闭环极点的确定,4.4 广义根轨迹,4.5 利用根轨迹分析系统的性能,概述,闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由,闭环系统极点,在S平面的位置决定，因此，分析或设计系统时,确定出闭环极点位置,是十分有意义的。,1）分析系统的性能,2）确定系统的结构和参数,3）校正装置的设计,根轨迹法：,根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由,开环传递函数零、极点,绘制出,闭环传递函数极点,（,闭环特征根,）在S平面上,随参数变化,运动的轨迹。,利用根轨迹法，可以：,4.2 根轨迹法的基本概念,解：闭环传递函数为,定义,：,根轨迹是指系统,开环传递函数,中某个参数（如开环增益K,1,）从,0,时，,闭环传递函数极点,(,闭环特征根,),在S平面上移动的轨迹。,当闭环系统为,正,反馈时，对应的轨迹为,零,度根轨迹；而,负,反馈系统的轨迹为 根轨迹。,例 已知系统的结构图，请绘出 K,1,:0,时的根轨迹。,R(s),-,C(s),+,闭环特征根为,当,K,1,由0变化,，,用解析方法求,不同,1,所对应的特征根的值，将这些值标在平面上，并连成光滑的,粗实线,，这就是该系统的,根轨迹,。,箭头,表示随着,1,值的增加，根轨迹的变化趋势。,K,1,=0.25,-1,K,1,=0,K,1,=0,s,1,s,2,K,1,K,1,当,K,1,由0变化,特征根s,1,和s,2,相应的变化关系如表所示,-0.5-j,-0.5-j0.87,-0.5-j0.5,-0.854,-0.5,-1,s,2,0.5+j,-0.5+j0.87,-0.5+j0.5,-0.146,-0.5,0,s,1,1,0.5,0.125,0.25,0,K,1,闭环特征方程为,s,j,.稳定性：,当增益,K,1,由0 ，根轨迹不会越过虚轴进入S平面右半边，,即,根轨迹全部位于左半平面，故闭环系统对,K,1,0值都是稳定的。,从系统的根轨迹图，可以分析系统的性能,j,K,1,=0.25,K,1,=0,K,1,=0,K,1,K,1,-1,s,s,1,s,2,j,.稳态性能：,开环传函有一个位于坐标原点的极点，所以是,I,型系统，阶跃作用下的稳态误差为0 (p99)。,2暂态性能,）当,1,时，两特征根重合，均为，系统处于临界阻尼状态,）当,1,.25时，两特征根变为共轭复根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程。,上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的关系。,）当,1,=m，nm,条根轨迹,将,趋于无穷远处。,j,K,1,=0.25,K,1,=0,K,1,=0,K,1,K,1,-1,s,s,1,s,2,j,根轨迹的起点:,K,1,=0时特征根在s上的位置,根轨迹的终点:,K,1,时特征根在s上的位置,当,K,1，,右端表达式为0，s取m个开环零点,z,j,时等式相等，于是，,m个开环零点是根轨迹的终点。,当,s,，,左端表达式为,等式也相等,n= 起点：，;,m=0，无有限零点;,nm=2，有2条根轨迹,例,控制系统中n=m，,1）,n条,根轨迹的,从,n,个,开环极点,处起始；,2）,有m条,根轨迹,趋向,m,个,开环零点,处终止；,3）,剩下的,nm,条根轨迹,将沿着渐近线,趋于无穷远处。,注意，以上所谓的零点是,有限零点,，可以认为系统具有n个开环零点，其中,m个为有限零点,，另外,nm个,开环零点位于无穷远处，称,无穷远零点,。,规则3：根轨迹在实轴上的分布,设系统开环零、极点分布如图所示。,p,2,z,1,p,3,p,4,p,1,n=4， 起点 ：,p,1,，,p,2,p,3,，,p,4,m=1， 终点：,z,1,nm=3，有3条根轨迹,实轴上是否存在根轨迹,取决于相角方程,是否得到满足,在,p,1,和,z,1,之间任选一个试验点,s,=,s,0,.,s,0,左侧,实轴上开环零、极点提供的相角为,右侧,的相角为180,s,0,点满足相角条件，所以,p,1,z,1,之间的线段是根轨迹,.共轭复数极点(或零点）到,s,0,的相角之和为,，相互抵消,，因此开环共轭复数极点、零点对实轴上根轨迹的位置没有影响，仅取决于实轴上的开环零、极点,p,2,z,1,p,3,p,4,p,1,相角方程,绘制根轨迹的基本规则,结论：,在S实轴上的线段,存在根轨迹的条件是：,线段,右,侧开环零点,m,r,+,开环极点数,n,r,=,奇,数。,如实轴上某点,s,满足相角条件,必有:,所以，,m,r,-,n,r,必为奇数，当然,m,r,+,n,r,也为奇数。,-2,-4,例4-2-1(p122),在s平面中确定开环零、极点的位置,j,n=3,根轨迹有三条分支,m=2, 条终止于开环零点，,有条根轨迹，,实轴上根轨迹,o,o,-3,-1,求实轴上的根轨迹,规则4：根轨迹的渐近线,控制系统中,n,m,，,n-m,条根轨迹分支,将沿着,渐近线,趋向无穷远处，且随着,K,1,的增大，根轨迹分支逐渐靠近,渐近线,，这,n-m条,渐近线,当q=0时，求得的渐近线相角最小，,q增大，,相角,值将重复出现，而独立的渐近线只有(nm)条,1）与实轴正方向的夹角为,2) 与实轴上的交点为,渐近线的交点总在实轴上，即 必为实数在计算时，考虑到,共轭复数极点、零点的虚部,总是相互抵消，只须把,零、极点的实部,代入即可,例4-2-2(p124),题1,解：,1)在s平面中确定开环零、极点的位置,2)n=3,m=0,在s平面中有3个分支，并且都趋向无穷远处,3)确定实轴上的根轨迹,4)确定渐近线的位置,-1,-2,j,-60,0,60,0,规则5：根轨迹的分离点与会合点,分离角或会合角：,在分离点或会合点上，根轨迹的切线和实轴的夹角称为分离角或会合角。,A点,称为,分离点,B点,称为,会合点,分离角或会合角,与相分离或相会合的,根轨迹的支数,r,有关：,分离点：,根轨迹分支在实轴上,某点,相遇又向复平面运动,会合点：,根轨迹分支从复平面运动到实轴上,某点,A,B,q=0时，求得的角最小,分离点,会合点,说明：,1）,若实轴上两相邻,开环极点,之间有根轨迹，则这两相邻极点之间,必,有,分离点,；,2）若实轴上相邻,开环零点,（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间,必,有,会合点。,表,4-2-2(p131),求方程式 的根，可以确定分离点或会合点,分离点和会合点的求法：极值法,分离点和会合点归结为,K,1,关于实轴变量的极值问题，,等价于关于s的极值问题,分离点,是,K,1,从0增大过程中维持特征根在实轴区间内分布,取得的,极大值,会合点,是,K,1,增大过程中特征根由复平面回到实轴上后在实轴区间内分布,取得的,极小值,令,闭环特征方程：,可得,求方程式的根，可以确定分离点或会合点。,检验：,当解得多个s值时，其中s是根轨迹上的点才有效。,上式的根,因为,s,1,在根轨迹,-1,区间，故,s,1,为分离点的坐标，而舍弃,s,2,用幅值条件确定分离点,s,1,的增益,：,求分离点上的坐标和增益。,可得,令,分离角,例4-2-2(p124),题1,方法1：,-1,-2,j,-60,0,60,0,s,1,根据图中,K,1,为极大值的点，可以确定分离点为，对应的K,1,。,方法2：,图解法,令,s,=代入上式得,K,1,=,-(+1)(+2)=f(),高阶系统，当 不便求解时。,可得,当,在,-1区间,变化,K,1,相应的变化关系如表所示,-1,-2,j,-60,0,60,0,绘得如图所示图形,规则6：根轨迹的出射角与入射角,即为其它开环零、极点对出射点提供的相角,z,2,出射角：,根轨迹离开,开环复数极点,处的切线方向与正实轴之间的夹角,在根轨迹曲线上取试验点,s,1,，,与复极点,P,1,的距离为,。当,0,时，可近似地认为,s,1,在切线上，切线的倾角,=,复极点的出射角,p1,s,1,在根轨迹曲线上，,满足根轨迹的相角条件,q=0时，求得的出射角最小,入射角：,根轨迹进入,开环复数零点,处的切线方向与正实轴之间的夹角,为其它开环零、极点对入射点提供的相角,P,1,P,2,例 如图，试确定根轨迹,离开复数共轭极点,的出射角。,解：,根据对称性，可知,p,2,点的出射角为：,规则7：根轨迹与虚轴的交点,当,K,1,增加到一定数值时，根轨迹可能穿过虚轴，进入右半平面，这表示将出现实部为正的特征根，,系统将不稳定,。,必须确定根轨迹与虚轴的交点，,并计算对应的使系统处于,临界稳定状态的开环增益,K,1,。,在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现虚根,s,=,j,根据这一特点产生了2个确定根轨迹与虚轴的交点方法：,方法一：代数法,方法二：劳斯判据,方法二：劳斯判据,如果根轨迹与虚轴有交点，则劳斯表中必出现全为零行，求得,相应的临界,K,1,值，,进而由辅助方程确定交点,值。,联立求解，可得根轨迹与虚轴的交点,值和相应的临界,K,1,值。,方法一：代数法,将,s,=,j,代入特征方程式,D(s),就可得出实部和虚部方程组：,将,s,=,j,代入特征方程,实部,虚部,解：,当时，系统出现共轭虚根,求根轨迹与虚轴的交点,题1,-1,-2,j,-60,0,60,0,s,1,=-0.423,此时系统处于临界稳定状态。,题1(例4-2-2),可以大致画出系统的根轨迹如图所示,(,p124 图4-2-5）,根轨迹作图步骤,1、,将开环传函改写为零极点形式，,确定零极点增益K,1,，,在s平面中标出开环零、极点的位置,;,2,、,确定分支数,起始点和终点,；,3、确定实轴上的根轨迹；,4、求出,n-m条,渐近线的相角和交点，并画出,渐近线,；,5、分析是否存在分离点或会合点，若存在则求它们的值，并用幅值条件确定分离点或会合点处的,K,1,值；,6、若存在开环共轭复数极点，计算共轭复数极点的出射角，,若存在开环共轭复数极点，计算共轭复数零点的,入射角；,7、分析根轨迹是否穿越虚轴，若穿过，求根轨迹与虚轴的交点，并确定交点处,的,K,1,值,；,结合根轨迹的连续性、对称性等性质,大致画出根轨迹,。,根轨迹,说明,表4-2-2(p131),表明根轨迹有两大类：,一类：第1列1、4,根轨迹在复平面上是直线，不呈圆弧状,另一类：根轨迹在复平面上呈圆弧状， 这是,根轨迹平滑性,的表现。,1. 根轨迹的图形,2. 根轨迹的分离点与会合点,根轨迹在s平面上相遇，表明系统有,相同的根,。即根轨迹上的分离点(或会合点) 与特征方程式的,重根（闭环极点）,相对应。,q=0时，求得的角最小,分离角一般表达式,q=0,1,2,r,为在该点根轨迹分支数,其中,K,1,=,K,G,K,H,开环系统根轨迹增益，,n,=,q,+,h,m,=,f,+,k,闭环极点,与开环零、极点与,根轨迹增益均有关，,是随参数K,1,变化的动点,闭环传递函数,闭环零点,由前向通道的零点和反馈通道的极点组成，,闭环零点是固定的点,n=m,闭环极点个数为开环极点个数,n,3闭环传函零、极点,由已知的开环零、极点分布以及根轨迹增益K,1,，通过图解的方法找到闭环极点的位置分布,根轨迹的基本任务：,例4-2-5（p127),已知系统的开环传递函数为,绘制系统的根轨迹，并求其稳定临界状态的开环增益。,解：,1）将开环传函改写为零极点形式，确定零极点增益,在平面中标出开环零、极点,n = 3 , m = 0,根轨迹有3个分支,且这,3条根轨迹分支从3个开环极点出发，当K,1,时沿,渐近线,趋向无穷远处,j,2),确定分支数,起始点和终点,j,3),实轴上的根轨迹,-,-1/,4),n-m=3,条,渐近线的相角和交点为,5),分离点,上式的根为,s=-1/,6),出射角与入射角：,由,开环零、极点分布知，不存在,开环复,数极点、零点,r,=,3,j,实轴上的根轨迹 -, -1/, s=-1/,是,实际分离点,7),根轨迹与虚轴的交点,方法一：代数法,将,s=j,w,代入,D,(,s,),实部,虚部,方法二：劳斯判据,在复平面上是直线,j,例,4-2-6（p128),设一负反馈控制系统的开环传函,绘制,K,1,变化时的系统根轨迹,分析系统性能。,解：,n = 4 , m = 0 ,根轨迹有4个分支,且这,4条根轨迹分支从4个开环极点出发，当K,1,时趋向无穷远处,3),实轴上的根轨迹,3，0,2),确定分支数,起始点和终点,P,3,P,4,P,2,P,1,A,B,C,D,1),在平面中标出开环零、极点,4),n-m,=4,条渐近线的相角和交点,为,P,3,P,4,P,2,P,1,A,B,C,D,5),分离点,根据图中,K,1,为极大值的点，可以确定分离点为。,图解法：,令,s,=代入上式得,K,1,=,-(+3)(,2,+2,+2,),当,在,-3,0区间,变化,可得K,1,图形,K,1,6),出射角与入射角：,由,开环零、极点分布知，存在,开环复数极点,P,3,P,4,求根轨迹在p,3,的出射角,由根轨迹的对称性可直接得出,P,3,P,4,P,2,P,1,A,B,C,D,K,1,利用劳斯判据，由特征方程,列劳斯表,7),根轨迹与虚轴的交点,令，得,根据行的系数写出辅助方程,将 代入，得,至此，即可绘出大致根轨迹。,该点对应的,K,1,为系统处于临界稳定状态的值。,P,3,P,4,P,2,P,1,A,B,C,D,K,1,三闭环极点的确定,其中,K,1,=,K,G,K,H,开环系统根轨迹增益，,n,=,q,+,h,m,=,f,+,k,闭环传递函数,闭环零点,由前向通道的零点和反馈通道的极点组成，,闭环零点是固定的点,闭环极点,与开环零、极点与,根轨迹增益均有关，,是随参数K,1,变化的动点,n=m,闭环极点个数为开环极点个数,n,由已知的开环零、极点分布以及根轨迹增益，通过图解的方法找到闭环极点的位置分布,根轨迹的基本任务：,三闭环极点,的确定,在根轨迹上确定闭环极点往往是先在一个分支上选好一个闭环极点，,由于这点的,K,1,值是确定的，其余的闭环极点在各自分支上的位置随之而定了,。,P,3,P,4,P,2,P,1,A,B,C,D,K,1,=4.33,-2.3,若要求系统的闭环共轭复数极点的阻尼比为0.5，试,确定系统闭环极点,的位置，并写出此时闭环传递函数,例4-2-6（p128),P,3,P,4,P,2,P,1,A,B,C,D,K,1,=4.33,-2.3,与根轨迹交与A、B两点。,解：,1）在系统的根轨迹图中,画两条,，其和负实轴的夹角为,）,通过求A、B两点的坐标，,可得闭环系统的一对共轭极点：,从图上测得,s,1,2,0.4,j0.7,s,1,s,2,s=tf(s);,GH=1/(s*(s+3)*(s2+2*s+2);,rlocus(GH),sgrid,相角条件为：,（2）,共轭极点为：,S,1,2,0.4,j0.7,P,3,P,4,P,2,P,1,A,B,C,D,K,1,=4.33,-2.3,L,1,L,2,L,3,L,4,设A点坐标为：-,+j,，则：,（1）,由(1)，(2)式解得：,s,1,s,2,用幅值条件求共轭极点处对应的K,1,值,根轨迹有4个分支，相应系统有,4,个特征根（,极点,），根据确定的,K,1,比分离点,K,1,要小，可判断出在实轴上由两个根，即,系统在,K,1,时有两个实根和两个共轭复根,。,K,1,= 4.33,确定K1=2.62 系统闭环极点,用除法找另两个闭环极点,故闭环系统的特征方程,可用除法,S,2,=,-2.75,S,1,=,=-1.45,单位负反馈闭环传函为,余数较小,当,K,1,时，系统的闭环传函为,1稳定性分析：,当,K,1,时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在S左半平面，系统是稳定的,2暂态性能性分析：,P,3,P,4,P,2,P,1,A,B,C,D,3稳态性能分析：,开环传函有1个位于坐标原点的极点，所以是I型系统。阶跃作用下的稳态误差为0。,4.4 广义根轨迹,以开环根轨迹增益,K,1,作为参变量的,负反,馈,单回路,根轨迹称为,常规根轨迹,。,广义根轨迹,包括：,1）参数根轨迹：,除K,1,以外其他参数作为可变参数绘制的根轨迹,方法1：,将多回路系统化简为单回路系统，再绘制其根轨迹,方法2：,先内环、后外环分层次地绘制根轨迹,3）,正反馈回路的根轨迹,（,零度,根轨迹）,是指除了有主反馈回路，还设置了内环通道,(负或正反馈）,的系统,2）,多回路系统的根轨迹,G,1,(s),R(s),C(s),+,+,G,3,(s),G,2,(s),一、参数根轨迹,1、参数根轨迹的绘制,规 则：,与常规根轨迹绘制方法完全相同。,关键点：,将,控制系统的特征方程,进行等效变换，,求出,等效开环传递函数,。,参数根轨迹的绘制步骤可归纳如下：,（3）根据常规根轨迹绘制规则，绘制等效的参数根轨迹,以所选可变参量,代替,K,1,的位置,（2）用含待分析参数,的项除以特征方程，得,（1）求出原系统的特征方程,所以，等效开环传递函数为,“等效”的含义仅限在闭环极点相同。,例4-3-1(p133),设反馈系统的开环传递函数为,解：,1)给定系统的特征方程为,试绘制系统以,为参变量的根轨迹。,2）以特征方程中含,的项除以方程式各项，得,所以，等效开环传递函数为,给定,K,1,1值，可以绘制以,为变量的根轨迹图。,3）根据常规根轨迹绘制规则,的临界值为,6,当0,6，系统变为不稳定。,0,0,0,6,二、多回路系统的根轨迹,若G,1,(s)、G,2,(s)和G,3,(s)为已知，则系统的开环传递函数为,若需要绘制的是G,2,(s)的某个参数变化时多回路系统的根轨迹，则因为这个参数变化时,内环G,2,(s)的极点也跟着变化,，,G,1,(s),R(s),C(s),+,+,G,3,(s),G,2,(s),这时，应列写多回路系统的特征方程1 G(s)=0，,将多回路系统等效为单回路系统，,直接绘制,其根轨迹。（,方法1,）,例4-3-3 (p136),二、多回路系统的根轨迹,若G,1,(s)、G,2,(s)和G,3,(s)为已知，则系统的开环传递函数为,若需要绘制的是G,1,(s)或G,3,(s)的某个参数变化时多回路系统的根轨迹，由于,内环,G,2,(s),的零、极点固定不变,G,1,(s),R(s),C(s),+,+,G,3,(s),G,2,(s),则可根据内环特征方程 、内环开环传函,外环特征方程1G(s)=0 、外环开环传函G(s),内环,外环,先,内环,后,外环,分层次地绘制根轨迹。（,方法2,）,例4-3-4 (p136) 例4-3-5 (p138),例4-3-8 (p144),例1 (与例4-3-3类似） 方法1：绘制以,为参数根轨迹,1）系统开环传递函数为,特征方程为,所以，等效开环传递函数为,2）以特征方程中含,的项除以方程式各项，得,反馈控制系统的根轨迹分析,开环极点,开环零点,出射角,为实际会合点,会合点,实轴上的根轨迹,渐近线相角,交点,3）,P,1,P,2,z,三、,正反馈回路的根轨迹（,零度,根轨迹）,+,1. 绘制根轨迹的,相角条件与幅值条件,开环传递函数：,闭环传递函数：,闭环特征方程：,根轨迹的方程:,负反馈系统 是180度等相角条件,(,180,0,根轨迹),正反馈系统 是0度等相角条件,(,0,0,根轨迹),此时，幅值条件和相角条件可写成,幅值方程,相角方程,相应地，,1)实轴上根轨迹的确定方法、2)渐近线相角求法、3）出射角和入射角的计算,和常规180,0,根轨迹不同,与负反馈系统根轨迹比较，,幅值条件相同，相角条件不同。,绘制0度根轨迹的7条基本准则：,渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但,与实轴正方向的夹角,不同，为： ，有,n-m,个角度；,实轴上的根轨迹：其,右,方实轴上的开环零、极点之和为,偶,数（包括,0,）的区域；,出射角,入射角,常规根轨迹不同,连续性、对称性和分支数,；,起点和终点,；,分离点、会合点和分离角；,与虚轴的交点；,同180,0,常规根轨迹,例4-3-8（p144),若取K,0,=4,绘制以Kc为变量的根轨迹。,根轨迹绘制步骤：,(1)根据内环开环传函,内环,特征方程,(负/正),绘制内环根轨迹,(2),根据内环性能要求确定根轨迹增益,K,0,根据此,K,0,确定内环的闭环极点,(3)由以上求出的内环闭环极点，求出外环的开环传函,(4)由,外环开环传函，外环,特征方程,(负),，绘制外环根轨迹,C(s),G,1,(s),H,i,(s),R(s),+,+,G,i,(s),+,具有正反馈的多回路系统,需要绘制的是G,1,(s)的,K,c,参数变化时多回路系统的根轨迹，,由于内环的零、极点固定不变,，则可,先内环、后外环分层次地绘制根轨迹。,（方法2）,解:,(1),绘制正反馈内环根轨迹,1),在平面中标出开环零、极点,3),实轴上的根轨迹,0,+, -3,-1 ,j,0,-1,-3,4),n-m条,渐近线的相角和交点为,根轨迹有3个分支,且这,3条根轨迹分支从3个开环极点出发，当K,0,时趋向无穷远处,2),n = 3 , m = 0,5),分离点,内环的特征方程,上式的根为,s,1,，s,2,，,可判断,是,实际分离点,对应,分离点的,K,0,值,可按幅值条件确定,j,0,-1,-3,分离角为,-2.22,K,0,=2.11,内环系统有,3 分支,，,相应有,3,个特征根(,极点,)，由图可判断出系统在,K,0,= 4,时有,1,个正实根和,2,个共轭复根。,(2),确定K,0,=4时,内环闭环极点的位置,通常采用的方法是试探法，即,首先在根轨迹实轴上找实数闭环极点,作为试验点，用幅值方程计算它对应的K,0,值，直到找出K,0,值恰好等于给定值为止。,在找出一个或 n个闭环极点后，最后的两个就可以用,闭环系统特征方程作除法,得出。,已知系统根轨迹增益,K,0,值找出系统的闭环极点值， 通常是比较麻烦和困难的。,j,0,-1,-3,K,0,=0,-2.22,K,0,=2.11,先求正实轴上的闭环极点p,1,p,1,点应满足幅值条件，即,用试探法，最终确定p,1,内环闭环传函为,故可用除法,解得,内环系统的两个共轭复根,余数：0.0062,（2）,确定K,0,=4时,内环闭环极点的位置,闭环系统特征方程作除法,j,0,-1,-3,K,0,=0,-2.22,K,0,=2.11,(3),求出外环的开环传函,G,1,(s),H,i,(s),R(s),C(s),+,+,G,i,(s),+,内环闭环传函为,外环开环传函为,绘制以Kc为变量的,180,0,根轨迹。,外环,特征方程,为,(4),绘制负反馈外环根轨迹,比较正、负反馈的根轨迹方程：,若开环传递函数为：,可见，正反馈根轨迹相当与负反馈根轨迹的,K,1,从 0 时的根轨迹,所以，可将正负反馈系统的根轨迹合并，得K,1, 时的整个区间的根轨迹,则正、负反馈的根轨迹方程分别为：,左图为正反馈（0度）根轨迹图；右图为负反馈（180度）根轨迹图；,s=tf(s);,G0= -1/(s*(s+1)*(s+5);,Figure(1),subplot(221);rlocus(G0),subplot(222);rlocus(-G0),4.5 利用根轨迹法分析系统的性能,系统开环零、极点的分布,根轨迹图,分析系统的稳定性，闭环极点分布位置,系统性能随之发生变化的规律,4.5 利用根轨迹法分析系统的性能,系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系（暂态响应）,开环零点和极点对根轨迹的影响,增加开环极点的影响,增加一个惯性环节,增加开环零点的影响,加入一阶微分环节,系统闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系,稳态性能分析,系统闭环主导极点与偶极子、,高阶系统二阶系统举例,一、系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系,设 n 阶系统的闭环传递函数为,式中：z,i,为闭环零点, s,i,为闭环极点,单位阶跃响应为,若,(s)无重极点,经拉氏反变换，可求出系统的单位阶跃响应:,从上式可看出：系统的单位阶跃响应将由闭环极点,S,k,及系数,A,k,决定，而系数,A,k,与闭环零，极点分布有关。,系统的,零、极点,分布决定了,c,(,t,)响应,1、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系,稳定性,所有闭环极点位于s平面的左半部；,则系统的暂态响应呈收敛性，系统必定稳定,平稳性,复数极点最好设置在S平面中与负实轴成45,0,夹角线附近。,由二阶系统的分析可知，,共轭复数极点位于45,0,线上，对应的阻尼比（ =0.707 ）为最佳阻尼比，这时系统的平稳性与快速性都较理想。,快速性,动态过程尽快消失,小，闭环极点之间间距大,零点与极点间间距小。,要求系统快速性好，应使阶跃响应式中的每个分量 衰减得快，则闭环极点,s,k,应远离虚轴,；,2、主导极点和偶极子,主导极点,：,就是对动态过程影响占主导地位的极点，一般是离虚轴最近的极点。,偶极子,：,就是一对靠得很近的闭环零、极点。,例1,单位负反馈系统的开环传递函数为,(1) 试在根轨迹上确定一个,K,1,值，使其中一个闭环极点位于,=,的阻尼线上，并求解其余的闭环极点；(2)估算该,K,1,值下的暂态性能指标,与根轨迹交与s,1,、s,2,两点。,解：,1）在系统的根轨迹图中,画两条,，其和负实轴的夹角为,）,通过求,s,1,、s,2,两点的坐标，,可得闭环系统的一对共轭极点：,从图上测得,s,1,2,0.36,j0.69,=,0.5,用幅值条件求s,1,2,极点处对应的K,1,值,=,0.5,3),用除法找另一个闭环极点,故闭环系统的特征方程,可用除法,S,3,单位负反馈闭环传函为,s,1,2,S,3,=,0.5,s,1,s,2,为系统的主导极点，三阶系统可用,二阶性能指标,来估算系统性能,等 线,S,1,等t,s,线,等,w,n,线,二阶系统极点s在s分布,二阶系统性能指标,S,1,j=-,n,+,例2,单位负反馈系统的开环传递函数为,试确定同时满足,M,p,=5%,t,s,=8s（,）,的,K,1,值范围。,从而系统的闭环极点位于和负实轴的夹角为,的扇形区域内,解：,1.绘制根轨迹图,2. 确定满足题中所给条件的极点容许区域,在系统的根轨迹图中,画两条,=0.69，其和负实轴的夹角为,可知,s1,s2,根据,等 线,S,等t,s,线,表明系统的闭环极点实部应位于等t,s,线即s之左,极点容许区域如图所示,s1,s2,s-0.5,3. 求根轨迹与极点容许区域边界交点处的K,1,值,幅值条件,根轨迹与,线交点处,s,1,2,=-1, j 1.046,的K,1,值为,根轨迹与垂线交点,A,处的K,1,值,即满足题中所给条件的K,1,值范围为 0.75,K,1,1,0,240时，根轨迹曲线进入S右半平面，系统有一对正实部的共轭复根，因此系统处于,不稳定状态,。,当K1240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在S左半平面，,系统是稳定的,。,1) 稳定性分析：,K,1,=17,开环传函有1个位于坐标原点的极点，所以是I型系统。阶跃作用下的稳态误差为0。,系统的,开环根迹增益K1,与,开环增益K成正比,，,因此对稳定的,I,系统来说，在,t,作用下，稳态误差,e,sr,=1/K,（1）,则K1越大，稳态误差越小，稳态性能也越好,，（2）,但K1 最终不能大于240，否则，系统将出现不稳定状态。,开环传递函数（p119-120),显然K与K,1,的关系为：,2)稳态性能分析：,K,1,=17,当0K,1,17时，该系统的根为负实数，此时可看成三个惯性环节的串联，系统输出具有非周期特性。,当17K,1,=5,s,1,s,2,为系统的主导极点，三阶系统可用二阶性能指标来估算系统性能,3)暂态性能分析：,第四章小结:,根轨迹的定义,根轨迹的基本概念 根轨迹方程 幅角条件,相角条件,常规根轨迹的绘制原则（共7条）,根轨迹的绘制方法 广义根轨迹 参量根轨迹,多回路根轨迹,利用根轨迹分析系统性 零度根轨迹,根轨迹,由给定参数确定闭环系统的零极点的位置，并确定系统的稳定性；,分析参数变化对系统稳定性的影响；,分析系统的暂态和稳态性能；,根据性能要求确定系统的参数；,第三章课后作业 39,按照条件(2)可写出单位反馈三阶控制系统的特征方程,根据条件(1)可知此系统的开环传递函数G(s)中串联积分环节个数为1，因此将上式写为,将上式与1G(s)=0比较，可得系统的开环传递函数,解得,a,=1,于是系统的开环传递函数为,根据条件(1)，可知此系统的速度误差系数,K,v,为,而由,可得速度误差系数,K,v,为,