河海大学《岩石动力学》课件第3章_应力波理论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,岩石动力学课件,Rock Dynamics,Hohai University,岩 石 动 力 学,刘 军,(ljun8),二,OO,八年三月,第,3,章,固体中的,应力波理论,主 要 内 容,应力波的基本概念,无限介质中的弹性应力波方程,一维长杆中的应力波,一维杆中应力波方程的特征线求解,一维弹性应力波的反射与透射,一维弹性波斜入射时的反射与透射,应力波反射引起的破坏,第节,应力波的基本概念,应力波的产生,当外载荷作用于可变形固体的局部表面时，一开始只有那些直接受到外载荷作用的表面部份的介质质点因变形离开了初始平衡位置。由于这部份介质质点与相邻介质质点发生了相对运动，必然将受到相邻介质质点所给予的作用力（应力），同时也给相邻介质质点予反作用力，因而使它们离开平衡位置而运动起来。由于介质质点的惯性，相邻介质质点的运动将滞后于表面介质质点的运动。依此类推，外载荷在表面上引起的扰动将在介质中逐渐由近及远传播出去。,基本概念,第节,应力波的基本概念,应力波、波阵面、波速、动载荷的概念,基本概念,这种扰动在介质中由近及远的传播即是,应力波,。其中的扰动,与未扰动的分界面称为,波阵面,，而扰动的传播速度称为,波速,。实际上，引起应力波的外载荷都是动态载荷。所谓,动态载荷,（也称,动载荷,）指的是其大小随时间而变的载荷。,第节,应力波的基本概念,加载率、应变率的概念,基本概念,载荷随时间的变化率即为,加载率,，用下式表示,或,应变随时间的变化率即为,应变率,，用下式表示,或,第节,应力波的基本概念,不同加载率下的载荷状态,基本概念,加载率（,s,-1,）,10,-5,10,-5,10,-1,10,-1,10,1,10,1,10,3,10,4,载荷状态,蠕 变,静 态,准动态,动 态,超动态,加载手段,蠕变,试验机,普通液压或刚性伺服,试验机,气动快速,加载机,霍布金森压杆或其改型装置,轻气炮或平面波发生器,动静明显区别,惯性力可忽略,惯性力不可忽略,第节,应力波的基本概念,按物理实质分类,应力波的分类,纵波,P,（,胀缩波,）和,横波,S,（,畸变波,）。它们的速度分别为,Vp,和,Vs,。,P,波的振动方向与传播方向平行，横波的振动方向则与传播方向垂直。,按与界面的相互作用分类,在与界面相互作用时，纵波,P,保持原来的意义。为了研究方便，把横波,S,分为两个分量或两种类型,SH,波,和,SV,波,。,第节,应力波的基本概念,按与界面相互作用形成的面波分类,应力波的分类,表面波,与自由表面有关，常见的有：,Rayleigh,波,，出现在弹性半空间或弹性分层半空间的表面附近；,Love,波,，系由弹性分层半空间中的,SH,波叠加所形成。,界面波,沿两介质的分界面传播，通常称为,Stonely,波,。,第节,应力波的基本概念,按与介质不均匀性及复杂界面相联系的波分类,应力波的分类,衍射波,弹性波,遇到一定形状的物体时，要发生绕射现象，并形成绕射波，或称为,衍射波,。,散射波,弹性波遇到粗糙界面或介质内不规则的非均匀结构时，可能出现散射，并形成,散射波,。,第节,应力波的基本概念,按弥散关系分类,应力波的分类,简单波,即非弥散非耗散波。,弥散波,弥散波,又分为,物理弥散,和,几何弥散,。前者是由于介质特性引起的，后者是由于几何效应引起的。,第节,应力波的基本概念,按应力波中的应力大小分类,应力波的分类,如果应力波中的应力小于介质的弹性极限，则介质中传播,弹性波,，否则将传播,弹塑性波,；若介质为粘性介质，视应力是否大于介质的弹性极限，将传播,粘弹性波,或,粘弹塑性波,。弹性波传过后，介质的变形能够完全恢复，弹塑性波则将引起介质的残余变形，粘弹性波和弹塑性波引起的介质变形将有一时间滞后。,第节,应力波的基本概念,按波阵面几何形状进行的波分类,应力波的分类,根据波阵面的几何形状，应力波可分为,平面波,，,柱面波,和,球面波,。一般认为，平面波的波源是,平面载荷,，柱面波的波源是,线载荷,，而球面波的波源是,点载荷,。,按波动方程自变量个数进行的波分类,根据描述应力波波动方程的自变量个数，应力波可分为一维应力波，二维应力波和三维应力波。,另外，应力波也可分为入射波、反射波和透射波，加载波和卸载波，以及连续性波和间断波等。,第节,应力波的基本概念,波函数展开法,应力波方程的求解方法,该方法的思想是将位移场,u,分解成无旋场和旋转场，实质是一种分离变量解法。适用于求解均匀各向同性介质中弹性波二维、三维问题和柱体、球体中的波传播问题。对于各向异性和不均匀介质，则因无法分离变量而难于采用此种方法。,积分方程法,如果研究的波动问题涉及扰动源，可用积分方程法求解。积分方程表达式可以通过格林函数方法和变分方法推导而得，求解问题的关键在于格林函数的确定。该方法对于求解均匀各向异性问题是有效的，对不均匀介质，因格林函数是未知的而不能求解。此方法是近似理论如有限元法和边界元法的基础。,第节,应力波的基本概念,积分变换法,应力波方程的求解方法,该法的思路是把原函数空间中难以求解的问题进行变换，化为函数空间较简单的问题去求解，然后进行逆变换最后得到问题的解。此法难点在于逆变换很难找到精确解。积分变换类型是多种多样的，常见的有,Laplace,变换、,Fourier,变换、,Hankel,变换，这一方法常用于求瞬态波动问题，对于非线性问题则无能为力。,广义射线法,该法是研究层状介质中弹性瞬态波传播的有效方法。其优点在于有明显的物理特征：它是将由波源发出而在某一瞬时到达接收点的波分解为直接到达、经一次反射到达、经二次反射到达,经,N,次反射到达的波叠加而得，清晰地反映了瞬态波的传播过程。,第节,应力波的基本概念,特征线法,应力波方程的求解方法,特征线法实质上是基于沿特征线的数值积分。该法对研究应力波传播问题有特殊的意义，因为特征线实际上就是扰动传播或波前进的路线。找到了特征线，就有了问题的解，而且可以给出清晰的图像。特征线法对线性、非线性问题都较为有效，它已成为应力波研究的经典方法。大体上说，特征线法有其独特的优点，理论体系便于应用在二维和三维波传播问题中，求解起来方便可靠，有较好的数值稳定性。,其他方法,目前应用较成熟的有,T-,矩阵法、谱方法和波慢度法、反射率法、有限差分法、有限元法、边界元法、摄动法和小波变换法等等，它们都在各种具体问题的研究中发挥着作用。,第节,应力波的基本概念,应用领域,应力理论的应用,武器效应、航空航天工程、国防工程、矿山及交通机械、爆破工程、安全防护工程、地震监测、石油勘探、水利工程、建筑工程等。,应用技术发展,应力波打桩、应力波探矿及探伤、应力波铆接、缺陷的探测和表征、超声传感器性能描述、声学显微镜的研制、残余应力的超声测定、声发射等甚至正在发展为专门的技术。,服务其他学科,是固体力学中极为活跃的前沿课题，是现代声学、地球物理学、爆炸力学和材料力学性能研究的重要基础。,第,2,节,无限介质中的弹性波方程,概 述,动载荷作用的物体或处于静载荷作用初始阶段的物体，内部的应力、变形、位移不仅是位置的函数，,而且还将是时间的函数,。在建立平衡方程时，除考虑应力、体力外，还需要考虑由于加速度而产生的,惯性力,。,第,2,节,无限介质中的弹性波方程,动态平衡方程,以,u,、,v,、,w,表示位移，,表示密度，则相应的惯性力密度分量为,于是，可以写出动态平衡,方程,（,2-1,）,第,2,节,无限介质中的弹性波方程,波动方程推导过程,利用几何方程和物理方程，并略去体力，可将平衡方程（,2-1,）化为按位移法求解动力问题所需的基本微分方程,其中,（,2-2,）,第,2,节,无限介质中的弹性波方程,波动方程推导过程,引入位移势函数,平衡方程中的,e,可表示为,取位移势函数,由于旋转量,则有,同理,因此（,a,）式表示的位移为无旋位移。相应于这种状态的弹性波称为,无旋波,。,（,a,）,第,2,节,无限介质中的弹性波方程,波动方程推导过程,把平衡方程中的,e,用位移势函数表示,其中,由于,将以上各式代入式（,2-2,），经化简即得无旋波的波动方程,则有,（,b,）,（,2-3,）,（,2-4,）,第,2,节,无限介质中的弹性波方程,波动方程推导过程,等容波波动方程,其中,如果设弹性物体中发生的位移,u,、,v,、,w,满足,则这样的位移为等容位移，相应于这种状态的弹性波称为等容波。将上式代入式,2.2,，得等容波的波动方程,（,2-5,）,（,2-6,）,第,2,节,无限介质中的弹性波方程,波动方程推导过程,波动方程的统一形式,无旋波和等容波是弹性波的两种基本形式。它们的波动方程可以统一写为,上式中,c,表示弹性波波速度。对无旋波，,c=c1,；对等容波,c=c2,。并且可以证明：在弹性体中，应力、变形、位移等都将和位移以相同的方式与速度进行传播。,（,2-7,）,第,3,节 一维长杆中的应力波,描述运动的坐标系,研究物质的运动，总是要在一定的坐标系里进行。对于波动问题，可供选择的坐标系有两种，这就是,拉格朗日（,Lagrange,）坐标,和,欧拉,(Euler),坐标,。,拉格朗日坐标,也称,物质坐标,，采用介质中固定的质点来观察物质的运动，所研究的是在给定的质点上各物理量随时间的变化，以及这些物理量由一质点转到其它质点时的变化。,欧拉坐标,在空间固定点来观察物质的运动，所研究的是在给定的空间点以不同时刻到达的不同质点的物理量随时间的变化，以及这些量由一空间点转到其它空间点时的变化。,第,3,节 一维长杆中的应力波,描述运动的坐标系,拉格朗日（,Lagrange,）坐标,和,欧拉,(Euler),坐标,的等价定义：,拉格朗日坐标,拉格朗日法又称随体法：跟随质点运动，记录该质点在运动过程中物理量随时间变化规律。,欧拉坐标,欧拉法又称当地法：将某瞬时占据某空间点的流体质点物理量作为该空间点的物理量，物理量随空间点位置和时间而变化。,第,3,节 一维长杆中的应力波,描述运动的坐标系,拉格朗日（,Lagrange,）坐标,和,欧拉,(Euler),坐标,的举例说明,比如：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：,在每一辆公交车上设安排记录员，记录每辆车在不同时刻（站点）上下车人数，此法称为随体法；,在每一站点设记录员，记录不同时刻经过该站点的车辆上下车人数，此法称为当地法。,第,3,节 一维长杆中的应力波,描述运动的坐标系,拉格朗日（,Lagrange,）坐标,和,欧拉,(Euler),坐标,的表示方法,在欧拉坐标中，介质的运动表现为不同的质点在不同时刻占据不同的空间点坐标,x,，于是有,在拉格朗日坐标中，质点的位置,X,（也可表示质点本身）是空间点坐标,x,和时间,t,的函数，即,第,3,节 一维长杆中的应力波,描述运动的坐标系,拉格朗日（,Lagrange,）坐标,中的波速描述,（,2-8,）式表示跟随同一质点观察到的空间位置的变化率，叫,随体微商,或,物质微商,。,在拉格朗日坐标中，特定质点,X,运动的速度写为,（,2,8,）,在拉格朗日坐标中，假定在时刻,t,波阵面传到质点,X,，以,X=,(t,),表示波阵面在拉格朗日坐标中的传播规律，则,（,2,10,）,称为,拉格朗日,或,物质波速,。,第,3,节 一维长杆中的应力波,描述运动的坐标系,欧拉,(Euler),坐标,中的波速描述,如果在欧拉坐标中观察物质的波动，设时刻,t,波阵面传到空间点,x,，以,x=,(t,),表示波阵面在欧拉坐标中的传播规律，则,（,2,9,）,称为欧拉波速或空间波速。,第,3,节 一维长杆中的应力波,描述运动的坐标系,两种坐标体系中波速的关系,一般来说，两种波速是不同的，除非波阵面前方的介质静止且无变形。,（,2,11,）,在一维运动中，有,式中,称为,名义应变,或,工程应变,。由此可推得平面波传播时的空间波速与物质波速的如下关系,（,2,12,）,第,3,节 一维长杆中的应力波,一维应力波的基本假定,研究一维等截面均匀长杆的纵向波动，通常在拉格朗日中进行。为使问题得到简化，需要作如下两个基本假设,第一基本假设,杆截面在变形过程中保持为平面，沿轴向只有均布的轴向应力。从而使各运动参量都只是,X,和,t,的函数，问题化为一维问题。,第二基本假设,将材料的本构关系限于应变率无关理论，即认为应力只是应变的单值函数，不计入应变率对应力的影响，这样材料的本构关系可写为,（,2,13,）,第,3,节 一维长杆中的应力波,一维杆中纵波的控制方程,取变形前（,t=0,时）一维杆材料质点的空间位置为物质坐标，杆轴为,X,轴。图,2-1,所示。杆变形前的原始截面积为,A,0,，原始密度为,0,，其它材料性能参数均与坐标无关，于是可以得到一维杆波动的基本方程（控制方程），包括：质量守衡方程或连续方程、动力学方程或动量守衡方程和材料本构方程或物性方程。,图,2-1,一维杆中的应力波,第,3,节 一维长杆中的应力波,一维杆中纵波的控制方程,质量守衡方程或连续方程,动力学方程、动量守衡方程,或运动方程,材料本构方程或物性方程,（,2,13,）,（,2,15,）,（,2,14,）,这样便得到了关于变量,、,和,v,的封闭控制方程组（,2-13,）,-(2-15),。结合给定的初始条件和边界条件，求解三个未知函数。,（,2-13,）,-(2-15),经过变换，与二阶微分方程形式的波动方程完全等价,（,2,19,）,第,4,节,一维杆中应力波方程的特征线求解,特征线的定义,特征线方法是求解双曲线型偏微分方程的主要方法之一，在应力波传播的研究中占有重要的地位，特别在一维波的传播研究中得到了广泛的应用。实质上，特征线方法是把解两个自变量的二阶拟线性偏微分方程的问题化为解特征线上的常微分方程的问题。,方程（,2-19,）为双曲线型偏微分方程，有两条实特征线，可用特征线方法来求解。,第,4,节,一维杆中应力波方程的特征线求解,特征线有多种不同且是相互等价的定义方法。这里仅介绍方向导数定义法。在只包含自变量,(,X,t,),的平面上，如果存在曲线,S(X,t,),，使得能够把二阶偏微分方程转化为等价的一阶偏微分方程组的线性组合，化为其上的方向导数的形式，则该曲线称为相应偏微分方程的特征线。,特征线的定义,（,2,24,）式就是（,2,19,）式波动方程的特征线的微分方程（详细推导过程见讲义），对其积分便可得特征线方程。正、负号分别表示过平面上的任一点存在右行、左行两族特征线。,（,2,24,）,第,4,节,一维杆中应力波方程的特征线求解,根据特征线的构造过程，可得到,特征线上的相容关系,式（,2-25,）即是特征线上质点速度,v,和,必须满足的制约关系，称为特征线上的,相容关系,。式（,2-25,）也称为,平面上的特征线,。这样，就把解偏微分方程（,2-19,）化为求解特征线方程（,2-24,）及相应的相容关系（,2-25,）的常微分方程问题。,（,2,25,）,第,4,节,一维杆中应力波方程的特征线求解,许多时候，我们需要知道波阵面上的守恒关系。由于右行波的波阵面总是穿过左行波的特征线，因此在右行波的波阵面上，质点速度,v,和应变之间有下式第一式的守恒关系。同理，在左行波的波阵面上，有以下式第二式的守恒关系,波阵面上的守恒关系,（,2,26,）,第,4,节,一维杆中应力波方程的特征线求解,根据前面的推导，方程（,2-19,）表示的杆中波动在平面（,X,，,t,）上存在右行、左行两族特征线。这些特征先在平面（,X,，,t,）上形成十字交叉网格，按照精度要求，选取合适的间隔距离，并把网格四边的微段看成直线，如果已知相邻两个点,1,、,2,的有关参数及波速,C,，则可以求出过,1,点右行特征线与过,2,点左行特征线交点,3,的参数，如图,2-2,所示。,半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解,图,2-2,（,a,）平面,(,X,t,),上的特征线；（,b,）平面,(v,),上的特征线,第,4,节,一维杆中应力波方程的特征线求解,(2-27),中四个代数方程求解四个未知数 ，,3,点的参数是确定的，而且是唯一的。下面就半无限长杆中的弹性波求解进行详细讨论。,半无限长杆中指的是,X,在,0,到之间取值，因而只有沿,X,轴正方向的单向波，没有,反射波的情况。此外，还作出限制： 或 ，以简化分析。,半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解,（,2,27,）,第,4,节,一维杆中应力波方程的特征线求解,这时，材料的本构关系可用,Hooke,定律表达，即式（,2-13,）具体化为,半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解,线弹性波,（,2,28,）,式中,E,为,Young,模量。进而，由式,2.16,得弹性应力波速度,于是波动方程（,2-19,）变为,第,4,节,一维杆中应力波方程的特征线求解,由于,C,0,为常数，对特征线与相容方程（,2-24,）与（,2-25,）积分，并引入积分常数,1,、,2,与,R,1,、,R,2,，得,半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解,线弹性波,有时称,R,1,和,R,2,为,Riemann,不变量。,（右行波） （,2-29,）,（左行波） （,2-29a,）,第,4,节,一维杆中应力波方程的特征线求解,如图,2-3,所示，,OA,为经过原点,O,的右行特征线,(,1,=0),。在,XOA,区，沿,OX,轴的,v,和,由初始条件给出，是已知的，而区内任一点,P,的右行特征线,QP,与左行特征线,RP,都与,OX,轴相交，于是有,半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解,线弹性波,沿,QP,沿,RP,假设问题具有如下初始条件和边界条件：,初始条件,（,2,30,）,边界条件,（,2-30a,）,式中,R+,表示正的实数集。,图,2-3,半无限长杆中的弹性应力波求解,第,4,节,一维杆中应力波方程的特征线求解,由此知，对恒值初始条件，即,v(Q,)=,v(R,)=,常数，,(Q)=,(R)=,常数，总有：,v(P,)=,v(Q,)=,v(R,),，,(P)=,(Q)=,(R),，,XOA,区总是恒值区。对当前初、边值条件，在,XOA,区,v=,=0,.,这种在任意线段,QR,（不一定与,X,轴平行）上给定,v,和,，则可在由,QR,和特征线,QP,、,RP,为界的曲线区域,QPR,中求得单值解的问题，称为初值问题或,Cauchy,问题。,半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解,线弹性波,由以上两式解得,P,点的,v,和为,（,2,31,）,第,4,节,一维杆中应力波方程的特征线求解,右行特征线,CB,总交于,t,轴，沿,t,轴的,v,由边界条件给出，于是,R,1,由,C,点的,v,0,(,),确定为,(,为,BC,线在,t,轴上的截距,),半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解,线弹性波,现在讨论,AOt,的情况。经过任一点,B,的左行特征线,BD,总交于,OA,，沿,OA,线,v=,=0,，因此在,AOt,区恒有,R,2,=0,，同时也恒有,（,2,32,）,B,点处的,X,为,图,2-3,半无限长杆中的弹性应力波求解,因而,AOt,区任意点处的,v,和,可确定为,（,2,33,）,第,4,节,一维杆中应力波方程的特征线求解,半无限长杆中一维弹性应力波的特征线解,弹塑性波,以,Y,表示材料在一维应力下的动态屈服极限，则当杆中的速度,v,大于某一极限值,vy,（称为,屈服速度,）时，即,是应变的函数，一般不再是常数，因而特征线及其相容关系一般也不再是直线。虽然问题仍用特征线法按类似于弹性波的步骤求解，但问题变得复杂，难度增加。,（,2,34,）,满足（,2-34,）式时，材料进入塑性状态，杆中传播塑性波。这一条件下，波速,第,5,节,一维弹性应力波的反射与透射,两弹性波的相互作用,问题的提出,一原来处于静止的弹性杆，在左端和右端受到突加恒值冲击载荷，于是从杆的两端发出迎面传播的两个强间断弹性波（应力,、 应变,、质点速度,v,等状态参数跨过波阵面时发生突变），分析两弹性波相遇时应力波的变化规律。,第,5,节,一维弹性应力波的反射与透射,两弹性波的相互作用,图解法,两个弹性波分别用在平面（,X,，,t,）上右行特征线,OA,和左行特征线,LA,表示。左行波波阵面通过之处，即跨过左行特征线,LA,，杆将处于,1,、,1,、,v,1,状态，并根据式,2.26,及弹性波的性质，有,同理，右行波波阵面通过之处，即跨过右行特征线,OA,，杆将处于,2,、,2,、,v,2,状态，并有,第,5,节,一维弹性应力波的反射与透射,两弹性波的相互作用,图解法,在两波相遇瞬间，断面右方杆具有质点速度,v,1,，左方杆具有质点速度,v,2,，紧随其后，将由两波相遇处向杆的两侧传播新的右行波,AB,和左行波,AD,，新的右行波波阵面通过之处，即跨过特征线,AB,，杆的状态将由,1,、,1,、,v,1,突跃到,3,、,3,、,v,3,，按波阵面上的守恒关系，应有,第,5,节,一维弹性应力波的反射与透射,两弹性波的相互作用,图解法,同理，新的左行波波阵面通过之处，即跨过特征线,AD,，杆的状态将由,2,、,2,、,v,2,突跃到,3,、,3,、,v,3,，有,第,5,节,一维弹性应力波的反射与透射,两弹性波的相互作用,图解法,根据两波相遇后相遇界面应满足质点速度相等、应力相等的条件，有,这样就可由（,，,v,）平面上过点,1,的左行特征线与过点,2,的右行特征线确定其交点,3,。,第,5,节,一维弹性应力波的反射与透射,两弹性波的相互作用,解析法,由前面的分析知，根据两波相遇后相遇界面应满足质点速度相等、应力相等的条件，可得二元代数方程,解之得,（,2,35,）,（,2,36,）,式（,2-36,）表明：两弹性波相互作用时，其结果可由两作用波分别单独传播时的结果进行代数叠加而得。由于弹性波的控制方程是线性的，因而叠加原理必定成立。,第,5,节,一维弹性应力波的反射与透射,弹性波在固定端和自由端的反射,基本方法,有限长杆中的弹性波传播到另一端时，将发生反射，边界条件决定反射波的性质入射波与反射波的总的效果可按叠加原理确定，反射过程的处理可按两弹性波相互作用的特例进行分析。,第,5,节,一维弹性应力波的反射与透射,弹性波在固定端和自由端的反射,实例分析,对图,2-5,的情况，如果,v,2,=-v,1,，则有,v,3,=0,，,3,=2,1,，（图,a,），即两波相遇处质点速度为,0,，而应力加倍。这相当于法向入射弹性波在固定端（刚壁）的反射，因此法向入射弹性波在固定端反射时，可把端面想象为一面镜子，反射波正好是入射波的正象。拉伸波反射为拉伸波，压缩波反射为压缩波。,如果,v,2,=v,1,，则有,v,3,=2v,1,，,3,=0,，（图,b,），即两波相遇处质点速度加倍，而应力为,0,。这相当于法向入射弹性波在固定端（刚壁）的反射波正好是入射波的倒象。拉伸波反射为压缩波，压缩波反射为拉伸波。,第,5,节,一维弹性应力波的反射与透射,不同介质界面上弹性波的反射与透射,基本概念,设有弹性波从介质,1,传播到介质,2,，传播方向垂直于两介质的界面（这种情况称为正入射）。当两介质的波阻抗不同时，在界面处应力波将发生反射与透射，反射与透射的情况与介质的波阻抗密切相关。所谓,波阻抗,即是介质的密度与纵波速度的乘积。,如图,2-8,所示，当从介质,1,向介质,2,传播的弹性波到达界面时，无论对介质,1,还是介质,2,都将引起一个扰动，这就是波的,反射,与,透射,。返回介质,1,中传播的波叫,反射波,，进入介质,2,中传播的波叫,透射波,。假定两介质界面始终保持接触，即：既能承压又能承拉而不分离，于是根据牛顿第三定律，界面两侧质点速度和应力之间有以下关系,。,第,5,节,一维弹性应力波的反射与透射,不同介质界面上弹性波的反射与透射,假定两介质界面始终保持接触，即：既能承压又能承拉而不分离，于是根据牛顿第三定律，界面两侧质点速度和应力之间有以下关系,分析方法,（,2,37,）,式中下标,I,、,R,和,T,分别表示入射波、反射波和透射波的有关参量。,第,5,节,一维弹性应力波的反射与透射,不同介质界面上弹性波的反射与透射,由波阵面上的守恒条件，将式（,2-37,）改写成,分析方法,（,2,38,）,解得,（,2,39,）,（,2,40,）,其中,F,和,T,分别称为,反射系数,与,透射系数,，完全取决于两介质波阻抗的比值,n,。显然有,第,5,节,一维弹性应力波的反射与透射,不同介质界面上弹性波的反射与透射,如果,(,0,c,0,),1,(,0,c,0,),2,，,n,1,，则,F,0,。这时，反射波与入射波同号，透射波在应力幅值上强于入射波（,T,1,）。这称为应力波由“软”材料传入“硬”材料的情况。,若,(,0,c,0,),2,=,，,n=0,，则有,T=2,，,F=1,。这相当于弹性波在刚壁（固定端）的反射,。,不同介质反射与透射波分析,如果,(,0,c,0,),1,(,0,c,0,),2,，,n1,，则,F0,。这时，反射波与入射波异号，透射波在应力幅值上弱于入射波（,T1,）。这称为应力波由“硬,”,材料传入“软”材料的情况。由此可解释各种软垫能起到减震作用。,若,(,0,c,0,),2,=0,，,n= ,，则有,T=0,，,F=-1,。这相当于弹性波在自由端的反射。,第,5,节,一维弹性应力波的反射与透射,不同介质界面上弹性波的反射与透射,不同介质反射与透射波分析,即使两种介质的,0,与,c,0,不同，只要其波阻抗相同,，,即,(,0,c,0,),1,=(,0,c,0,),2,，有,n=1,，则弹性波通过两种介质的界面时不反射，称之为,阻抗匹配,。,变截面杆中波的传播、发射与透射自学。,弹性波斜入射时的反射与透射自学。,第,7,节 应力波反射引起的破坏,这种由压应力波在自由表面反射造成的动态断裂称为剥落或层裂，飞出的裂片称为,痂片,。层裂的发生还在于大多数工程材料的拉伸强度低于其压缩强度。最早发现并研究这种动态剥落现象的是,Hopkinson,，因此也称这种破坏为,Hopkinson,破裂。,由前面几节的讨论知道，入射到自由表面的压缩波经反射会形成拉伸波。这些反射回来的拉伸波将与入射压缩波的后续部分相互作用，其的结果有可能在邻近自由表面附近造成拉应力，如果所形成的拉应力满足某种动态的断裂准则，则将在该处引起材料破坏，裂口足够大时，整块的裂片便会携带着其中的动量而飞离。,概 述,第,7,节 应力波反射引起的破坏,图,2-13,给出了混凝土杆在一端接触爆炸时它的另一端产生剥落的示意图，图,2-14,是一厚钢板在炸药接触爆炸时其背面发生层裂的示意图。,在层裂过程中，在第一层层裂出现的同时，也形成了全新的自由表面，继续入射压力脉冲将在新自由表面上反射，从而有可能造成第二层层裂，依次类推，在一定条件下，可能形成多层层裂，产生一系列的,痂片,。,概 述,图,2-13,混凝土杆的层裂现象,图,2-14,厚钢板的层裂现象,第,7,节 应力波反射引起的破坏,下面对三角形应力波反射引起层裂的情况进行分析。图,2-15a,为一三角形应力波向自由面正入射，图,2-15b,表明入射一开始便出现了净拉应力，净拉应力的值在波头最大，并随着反射的继续而增大，图,2-15c,所示为应力波一半反射时，净拉应力达到最大，等于应力波峰值。在此之前，一旦净拉应力满足强度条件，则将发生断裂,。最早提出而且形式简单的动态断裂准则是最大拉应力瞬时断裂准则，表述为,分 析,（,2,55,）,式中，,e,为截面上的净拉应力；,td,为材料的动态断裂强度。,图,2-15,三角形应力波在自由面反射造成层裂过程,第,7,节 应力波反射引起的破坏,将应力波作用表示为时间的函数,(t),，并设波头到达时刻为,t=0,，则距离自由面处,(,图,2-15b),形成的净拉应力将是,分 析,（,2,56,）,图,2-15,三角形应力波在自由面反射造成层裂过程,对图,2-15,的三角形应力波，可将,(t),的表达式写成,式中,为波长，,m,为应力波峰值。由此的三角形应力波在自由面反射出现层裂的条件为,（,2,57,）,（,2,58,）,第,7,节 应力波反射引起的破坏,若正好是,分 析,如果,根据式（,2-57,）、（,2-58,）确定首次层裂的裂片厚度为,（,2,59,）,则层裂裂片厚度为,发生首次层裂的时间（从反射开始起记时）,t,1,为,由冲量准则，首次层裂裂片的飞离速度,v,f,为,（,2,60,）,（,2,61,）,第,7,节 应力波反射引起的破坏,首次层裂发生后，应力拨未反射的剩余部分将在由层裂形成的新自由面发生反射，并可能发生第二次层裂。如果 足够大，则将会发生多次层裂。发生,n,次层裂的应力波峰值大小为,分 析,利用同样的方法，不难对其它形式的应力波在自由面的反射引起层裂问题进行分析。最后需要指出，材料的破坏不是瞬时发生的，而是一个以有限速度发展着的过程，特别是高加载率载荷作用下，更呈现明显的断裂滞后现象。断裂的发生，不仅与作用应力的大小有关，而且还与应力作用的持续时间有关。,（,2,62,）,第,7,节 应力波反射引起的破坏,与层裂现象相类似，在由多个自由表面围成的物体内部，当有一个压缩波向外传播时，将会在各个自由表面反射形成拉伸波，这些拉伸波相遇后还会形成其他形式的破裂。如图,2-16,所示的柱状物体，其顶面中心经受炸药爆炸时，将形成几个不同的破裂区域，,K-H,裂缝是由上述的层裂现象产生的，顶面,S,和,T,所示的环向破裂是由从侧表面反射成的拉伸波而产生的，沿轴线延伸的线状破裂,PC,（通常称为,心裂,）是由于从柱侧面反射的拉伸波集中于轴线上引起的拉应力所产生的。由柱底面和侧面反射的拉伸波相遇后相互作用，将在柱底周角处形成一个锥形破裂面，如图,2-16,中,L,和,M,所示，通常称这种形式的破坏为,角裂,。除此而外的其它应力波在自由面反射引起破裂的情况，如图,2-17,图,2-19,所示。,分 析,第,7,节 应力波反射引起的破坏,除此而外的其它应力波在自由面反射引起破裂的情况，如图,2-17,图,2-19,所示。,分 析,2-17,点载荷（应力波）对不同厚度板引起的破裂（角裂）,图,2-18,内部爆炸加载引起方形筒的破裂（角裂）,图,2-19,内部爆炸加载引起刻槽圆筒的破裂,