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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五节,一、,平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,平面及其方程,第,七,章,一、平面的点法式方程,设一平面通过点,且垂直于非零向,称,式,为平面,的,点法式方程,求该平面,的,方程.,法向量,.,量,那么有,故,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例1.,求过三点,即,解,:,取该平面,的法向量为,的平面,的方程,.,利用点法式得平面,的方程,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,此平面的,三点式方程,也可写成,一般情况 :,过三点,的平面方程为,说明,:,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的,截距式方程,.,时,平面方程为,分析:,利用三点式,按第一行展开得,即,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,此方程称为,平面的一般,任取一组满足上述方程的数,那么,显然方程,与此点法式方程等价,的平面,因此方程,的图形是,法向量为,方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,特殊情形,当,D,= 0,时,A x,+,B y,+,C z,= 0,表示,通过原点,的平面;,当,A,= 0,时,B y,+,C z,+,D,= 0,的法向量,平面平行于,x,轴;,A x+C z+D,= 0,表示,A x+B y+D,= 0,表示,C z,+,D,= 0,表示,A x,+,D,=0,表示,B y,+,D,=0,表示,平行于,y,轴,的平面,;,平行于,z,轴,的平面,;,平行于,xoy,面 的平面;,平行于,yoz,面 的平面；,平行于,zox,面 的平面.,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例2.,求通过,x,轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,例,3,.,用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解,:,因平面通过,x,轴 ,设所求平面方程为,代入点,得,化简,得所求平面方程,(P327,例4 , 自己练习),机动 目录 上页 下页 返回 完毕,三、两平面的夹角,设平面,1,的法向量为,平面,2,的法向量为,那么两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为,两平面的夹角.,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,特别有以下结论：,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,因此有,例4.,一平面通过两点,垂直于平面,:,x + y + z,= 0,求其方程,.,解,:,设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去,C,得,即,和,那么所求平面,故,方程为,且,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,外一点,求,例5.,设,解:,设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离,d .,那么P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例6,.,解,:,设球心为,求内切于平面,x + y + z,= 1,与三个坐标面所构成,那么它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,四面体的球面方程,.,从而,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,内容小结,1.平面根本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,2.,平,面,与平面,之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,思考与练习,P330 题4 , 5, 8,第六节 目录 上页 下页 返回 完毕,作业,P330 2 , 6 , 7 , 9,备用题,求过点,且垂直于,二,平面,和,的平面方程.,解: 二平面的法向量为,取所求平面的法向量,那么所求平面方程为,化简得,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,
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