全面完整的学习拉氏变换计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2010-10-7,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,全面完整的学习拉氏变换计算,拉氏反变换,L,-1,为拉氏反变换的符号。,称为拉普拉氏积分,；,F(s),称为函数,f(t),拉普拉氏变换或,象函数，,它是一个复变函数；,f (t),称为,F(s),的,原函数；,L,为拉氏变换的变换符号。,2021-10-7,几种典型函数的拉氏变换,单位阶跃函数1t,指数函数,f(t)=e,-at,(a,为常数,),2021-10-7,正弦函数和余弦函数,由欧拉公式，有：,2021-10-7,从而,2021-10-7,单位脉冲函数t,由洛必达法那么：,2021-10-7,单位速度函数,2021-10-7,单位加速度函数,函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。,2021-10-7,拉氏变换的主要定理,在某些情况下，函数,f(t),在,t=0,处有一个脉冲函数。这时必须确定拉氏变换的积分下限是,0,还是,0,，并记为：,2021-10-7,叠加定理,齐次性：,Lf(t)=Lf(t),为常数,叠加性：,Laf,1,(t)+bf,2,(t)=aLf,1,(t)+bf,2,(t),a,b,为常数；,显然，拉氏变换为线性变换。,2021-10-7,实微分定理,证明：由于,2021-10-7,所以：,同样有：,式中，f(0),f(0),为f(t)的各阶导数在t=0时的值,2021-10-7,当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时零初始条件：,2021-10-7,复微分定理,假设Lf(t)=F(s),那么除了F(s)的极点之外，有：,2021-10-7,积分定理,当初始条件为零时：,2021-10-7,证明：,2021-10-7,同样,当初始条件为零时,2021-10-7,延迟定理,设当t0时，f(t)=0，那么对任意0，有：,2021-10-7,位移定理,2021-10-7,初值定理,初值定理建立了函数,f(t),在,t=0+,处的初值与函数,sF(s),在,s,趋于无穷远处的终值间的关系。,2021-10-7,终值定理,假设sF(s)的所有极点位于左半s平面，即：,Limtf(t)存在。那么：,2021-10-7,又由于,终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值一样,2021-10-7,卷积定理,其中，f(t)*g(t)表示f(t)和g(t)的卷积。,假设tp=1 -12 0 25 126,p=1 -12 0 25 126,2021-10-7,用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式,即：num=bo b1bm,den=a0 a1 an,MATLAB提供函数residue用于实现局部分式展开，其句法为：,r,p,k=residue(num,den),其中，r，p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。,2021-10-7,假设无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：,假设存在q重极点p(j)，展开式将包括以下各项,2021-10-7,2021-10-7,2021-10-7,应用拉氏变换解线性微分方程,求解步骤,将微分方程通过拉氏变换变为,s,的代数方程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变化表达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,2021-10-7,2021-10-7,实例1,设系统微分方程为：,假设xi(t)=1(t),初始条件分为xo(0)，xo(0),试求xo(t),解：对微分方程左边进展拉氏变换：,2021-10-7,2021-10-7,对方程右边进展拉氏变换：,从而,2021-10-7,2021-10-7,所以：,查拉氏反变换表得：,当初始条件为零时：,2021-10-7,实例,2,2021-10-7,2021-10-7,2021-10-7,P27,例,2,14,2021-10-7,由上述实例可见：,应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动包含在微分方程得拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可以得到微分方程的全解。,如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。,系统响应可以分为两局部：零状态响应和零输入响应,2021-10-7,四、传递函数,传递函数的概念和定义,传递函数,在,零初始条件,下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。,零初始条件,：,在,t0,时，输入量及其各阶导数均为零；,输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即,t0,时，输出量及其各阶导数也为零。,2021-10-7,传递函数的求解实例：,质量弹簧阻尼系统的传递函数,所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：,按照定义，系统的传递函数为：,2021-10-7,R-L-C,无源电网络的传递函数,所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：,2021-10-7,几点结论：,传递函数是复数s域中的系统数学模型，其 参数仅取决于系统本身的构造及其参数，与系统的输入形式无关。,假设输入给定，那么系统输出特性完全由传递函数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的国有动态特性。,传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部输入输出特性来描述系统的内部特性。,2021-10-7,传递函数的一般形式,考虑线性定常系统,当初始条件全为零时，对上式进展拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：,2021-10-7,特征方程、零点和极点,N(s)=0,称为系统的,特征方程,，,其根称为系统的,特征根,。特征方程决定着系统的动态特性。,N(s),中,s,的最高次等于系统的阶次。,2021-10-7,当s=0时：,G(0)=bm/an=K,式中，K称为系统的放大系数或增益。,从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K反响了系统处于静态时，输出与输入的比值。,2021-10-7,零点和极点,将G(s)写成下面的形式：,式中，分子M(s)=0的根s=zi(i=1、2、 、 m)，称为传递函数的零点；,分母N(s)=0的根s=pj(i=1、2、3、n)，称为传递函数的极点。,系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的构造参数。,2021-10-7,零、极点分布图,将传递函数的零、极点,表示在复平面上的图形,称为传递函数的零、极,点分布图。图中，零点,用“O表示，极点用“,表示。,2021-10-7,传递函数的几点说明,传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量于输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于定常线性系统,传递函数是s的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中各项系数对应相等，完全取决于系统的构造参数；,2021-10-7,传递函数是零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡点处于相对静止状态。因此，传递函数原那么上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；,传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况；,一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合于单输入单输出系统。,2021-10-7,脉冲响应函数,初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用下的输出响应的拉氏变换为：,g(t)称为系统的脉冲响应函数权函数。,系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于系统动态特征的一样信息。,2021-10-7,注意到复数域相乘等同于时域内卷积，因此，由：,Y(s)=G(s)X(s),知线性系统在任意输入作用下，其时域输出：,式中，当,t0,时，,g(t)=x(t)=0,。,2021-10-7,补充习题,2021-10-7,谢谢,