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,单击此处编辑母版文本样式,第七章 直线与圆的方程,两直线的位置关系,第 讲,第一课时,考,点,搜,索,两条直线重合、平行、垂直的条件,两条直线所成的角的有关概念和计算公式,点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离公式,高,考,猜,想,1.,根据两直线的位置关系，求相关参数的值,.,2.,通过直线的斜率研究两直线所成的角,.,3.,直线的方程与点到直线的距离的综合应用,.,1. 设直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，那么l1l2的充要条件是_且_;l1l2的充要条件是_.,2. 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,那么当 时，l1与l2_；当 时，l1与l2_；当 时，l1与l2_;当,时，l1与l2_.,k,1,=k,2,b,1,b,2,k,1,k,2,=-1,重合,平行,相交,垂直,3. 设两相交直线l1,l2的交点为P,把直线l1绕点P按_方向旋转到与l2重合时所转过的最小的角,叫做_的角;直线l1与l2所夹的_叫做l1与l2的夹角;规定:两条平行直线的夹角为 _.,4. 设两直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,l1到l2的角为,l1与l2的夹角为,那么l2到l1的角为 _;tan= ;tan= _.,逆时针,l,1,到,l,2,锐角或直角,0,-,5.,点,P,(,x,0,，,y,0,),到直线,l,:,Ax,+,By,+,C,=0,的距离,d,= _;,两条平行直线,l,1,:,Ax,+,By,+,C,1,=0,和,l,2,:,Ax+By+C,2,=0 (,C,1,C,2,),之间的距离,d,= _.,6.,经过两条相交直线,l,1,:A,1,x+B,1,y+C,1,=0,和,l,2,:A,2,x+B,2,y+C,2,=0,的交点的直线系方程为,_.,(,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,)+,(,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,)=0 (,R,),1.,直线,x+y,-1=0,到直线,x,sin,+,y,cos,-1,=(,),的角是,( ),解,:,由,因为 所以,所以 所以,D,2.点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转(090)角，所得直线方程是x-y-2=0，假设将它继续旋转90-角，所得直线方程是2x+y-1=0，那么直线l的方程是( ),A. 2x+y-1=0 B. 2x+y-5=0,C. x+2y-5=0 D. x-2y-3=0,解：因为直线l经过直线x-y-2=0和2x+y-1=0的交点(1，-1)，且又与直线2x+y-1=0垂直，,所以直线l的方程为y+1= (x-1),即x-2y-3=0.,D,3.ABC中，a、b、c是内角A、B、C的对边，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，那么以下两条直线l1：(sin2A)x+(sinA)y-a=0，l2：(sin2B)x+(sinC)y-c=0的位置关系是 .,解：由2lgsinB=lgsinA+lgsinC，,得lg(sinB)2=lg(sinAsinC)，,所以sin2B=sinAsinC.,l,1,与,l,2,重合,设,l,1,：,a,1,x,+,b,1,y,+,c,1,=0,，,l,2,：,a,2,x,+,b,2,y,+,c,2=0.,因为,所以 所以,l,1,与,l,2,重合,.,1. 两直线l1:mx+8y+n=0和,l2:2x+my-1=0.试确定m，n的值，使:,(1)l1与l2相交于点P(m，-1);,(2)l1l2;,(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为-1.,题型,1,两条直线的位置关系的条件分析,解：,(1),因为,m,2,-8+,n,=0,且,2,m,-,m,-1=0,，,所以,m,=1,，,n,=7.,(2),由,A,1,B,2,-,A,2,B,1,=0,得,m,m,-82=0,故,m,=4.,由,8(-1)-,nm,0,，得,n,2.,即当,m,=4,，,n,-2,或,m,=-4,，,n,2,时，,l,1,l,2,.,(3),当且仅当,m,2+8,m,=0,，即,m,=0,时，,l,1,l,2,.,又,=-1,，所以,n,=8.,即当,m,=0,n,=8,时,l,1,l,2,且,l,1,在,y,轴上的截距为,-1.,点评：,两直线,A,1,x,+,B,1,y,+,C,1,=0,与,A,2,x,+,B,2,y,+,C,2,=0,的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解,.,两直线平行的问题，一般是先根据其必要条件,A,1,B,2,-,A,2,B,1,=0,来求得参数的值，然后检验两直线是否重合，排除重合的情况，就是平行,.,而两直线垂直的充要条件是,A,1,A,2,+,B,1,B,2,=0.,2. 三条直线l1:2x-y+a=0 (a0)，直线l2:-4x+2y+1=0和直线l3:x+y-1=0，且l1与l2间的距离是,(1)求a的值;,(2)求l3到l1的角;,(3)能否找到一点P，使得P点同时满足以下三个条件：,P是第一象限的点；,P点到l1的距离是P点到l2的距离的 ;,题型,2,角和距离的分析与计算,P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是,假设能，求出P点的坐标；假设不能，说明理由.,解：(1)l2即,所以l1与l2间的距离,所以 所以,因为a0，所以a=3.,(2)由(1)知，l1即2x-y+3=0，所以k1=2.,而l3的斜率k3=-1，,所以,因为0，所以=-arctan3.,(3)设点P(x0，y0).假设P点满足条件，那么P点在与l1，l2平行的直线l：2x-y+C=0上.,且 即 或,所以 或,假设P点满足条件,由点到直线的距离公式,有,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，,所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0.,由P在第一象限，所以3x0+2=0不可能，,联立方程 解得 (舍去).,由 解得,所以 即为同时满足三个条件的点.,点评：点到直线的距离及两平行直线间的距离公式是求距离中最常用的公式，而夹角公式和到角公式是求有关角常用的公式.四个公式的综合运用表达了数形结合思想.求解时，常借助于简单的草图进展直观理解.,某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔,如下图,塔高BC=80 m,塔所在的山高OB=220 m,OA=200 m,图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上,l与水平地面的夹角为,tan= .试问此人距水平地面多高时,观看塔的视角BPC最大(不计此人的身高).,解：如下图,建立平,面直角坐标系,那么A(200,0),B(0,220),C(0,300).,直线l的方程为y=(x-200)tan,那么,设点P的坐标为P(x,y)(x200).,由经过两点的直线的斜率公式得,由直线PC到直线PB的到角公式得,要使tanBPC到达最大,只需 到达最小.,由均值不等式知,当且仅当 时上式取得等号.,故当,x,=320,时，,tan,BPC,最大,这时，,点,P,的纵坐标为,由此实际问题知,0,BPC,所以,tan,BPC,最大时，,BPC,最大,.,故当此人距水平地面,60,m,高时，,观看塔的视角,BPC,最大,.,3. 过点A(1，1)作两直,线l1,l2,使l1l2,且l1交x轴,于点M,l2交y轴于点N,P为,线段MN的中点.直线,PA的斜率为-2，求点P的坐标.,解法1：设点P(x0，y0)，连结PO.,因为MAN和MON都是直角三角形，,P为MN的中点，,所以 故|PA|=|PO|.,题型,3,求点的坐标,所以,(,x,0,-1),2,+(,y,0,-1),2,=,x,0,2,+,y,0,2,，即,x,0,+,y,0,=1.,又,k,PA,=-2,，即 所以,2,x,0,+,y,0,=3.,联立，解得,x,0,=2,，,y,0,=-1.,所以点,P,的坐标为,(2,，,-1).,解法,2,：,设直线,l,1,的方程为,y,-1=,k,(,x,-1).,因为,l,1,l,2,，所以,l,2,的方程为,y,-1=- (,x,-1).,从而,M,(1-,，,0),，,N(0,，,1+ ).,因为,P,为线段,MN,的中点，所以,因为,k,PA,=-2,，所以,即 所以,所以,所以点,P,的坐标为,(2,，,-1).,点评：,涉及求交点或中点坐标问题时，一般是先设点的坐标参数，然后由题中条件得出所求参数的方程,(,组,),，再通过解方程,(,组,),求得坐标参数,.,两点A(2,5)、B(-2,1),P为y轴负半轴上一点,直线PA、PB分别与直线y=x相交于点M、N.假设|MN|= 求点P的坐标.,解：连结AB，如图.,因为,所以ABMN.,又,所以|AB|=2|MN|.,从而MN为APB的中位线，,所以M为PA的中点.,设点P(0，y0)，那么M(1， ).,因为点M在直线y=x上，,所以 =1，得y0=-3.,故点P的坐标是(0，-3).,1.,要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意,x,，,y,的系数中一个为零的情况的讨论,.,两直线的位置关系要分斜率不存在和斜率存在两种情况来讨论,.,两直线平行要从斜率和截距两方面入手,.,2.,涉及三角形的问题，要充分利用三角形的平面几何性质，简化代数运算,.,3.,出现角度问题时，要分清是利用夹角公式还是到角公式,.,4. 考虑斜率问题时，要注意斜率不存在这种特殊情形.,5. 点到直线的距离公式是一个根本公式，它涉及绝对值、直线垂直、最小值等内容.,
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