【金版学案】2015届高考数学（理科）基础知识总复习精讲课件：44平面向量的扩展与应用

高考总复习,数学（理科）,第四节 平面向量的扩展与应用,第四章,【例1】,如图所示，在等腰直角三角形,ABC,中，,ACB,90，,CA,CB,，,D,为,BC,的中点，,E,是,AB,上的一点，且,AE,2,EB,，求证：,AD,CE,.,向量在平面几何中的应用,自主解答：,点评：,运用向量处理几何问题的方法有两种：基底向量法和坐标法，应根据已知条件选用，其基本思想是，把题中有关的线段表示为向量，将各种关系转化为向量运算，然后利用向量运算来处理所求问题,变式探究,面向量与三角函数的综合,自主解答：,【例2】,设向量,a,(4cos,，sin,)，,b,(sin,，4cos,)，,c,(cos,，4sin,),(1)若,a,与,b,2,c,垂直，求tan (,)的值；,(2)求|,b,c,|的最大值；,(3)若tan,tan,16，求证：,a,b,.,(1),解析：,因为,a,与,b,2,c,垂直，所以,a,(,b,2,c,)4cos,sin,8cos,cos,4sin,cos,8sin,sin,4sin (,)8cos (,)0，,因此tan(,)2.,点评：,(1)向量坐标、向量夹角中均可以涉及到角，所以以向量为载体考查三角函数是一类很常见的问题；,(2)通常是立足向量的数量积、平行、垂直等，求角、三角函数值或三角证明等,变式探究,2,(2013梅州一模),已知,ABC,的内角,A,，,B,，,C,的对边分别为,a,，,b,，,c,，满足,(1)求角,C,；,(2)若向量,m,(1，sin,A,)与,n,(2，sin,B,)共线，且,c,3，求,a,，,b,的值,平面向量在物理上的应用,【例3】,一条河的两岸平行，河的宽度为,d,500 m，一艘船从,A,处出发航行到河的正对岸,B,处，船的航行速度为|,v,1,|10 km/h，水流速度为|,v,2,|4 km/h.,(1)试求,v,1,与,v,2,的夹角(精确到1)，及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min),(2)要使船到达对岸所用时间最少，,v,1,与,v,2,的夹角应为多少？(参考数据：sin 240.4),解析：,(1)依题意，要使船到达对岸，,就要使,1,与,2,的合速度的方向正好垂,直于对岸，所以|,v,| ,9.2(km/h)，,v,1,与,v,的夹角,满足sin,0.4，,24，故,v,1,与,v,2,的夹角,114；船垂直到达对岸所用的时间,21-2,2,(2)设,1,与,2,的夹角为,(如图所示)，,1,与,2,在竖直方向上的分速度的和为|,1,|sin,，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为,d,0.5 km，从而所用的时间为,t, 显然，当,90时，,t,最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为,t, 0.05(h)3(min),点评：,理解物理意义，用向量的知识解决,变式探究,3一质点受到平面上的三个力,f,1,，,f,2,，,f,3,(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知,f,1,与,f,2,成60角，且,f,1,，,f,2,的大小分别为2和4，则,f,3,的大小为_,解析,：,由已知得,f,1,f,2,f,3,0,，,f,3,(,f,1,f,2,),，,f,(,f,1,f,2,),2,f,f,2|,f,1,|,f,2,|cos 60,28.,|,f,3,|2,答案：,2,平面向量与解析几何的综合,【例4】,已知抛物线,x,2,4,y,的焦点为,F,，,A,，,B,是抛物线上的两动点，且,(,0)过,A,，,B,两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.,(1)证明：,为定值；,(2)设,ABM,的面积为,S,，写出,S,f,(,)的表达式，并求,S,的最小值,(1),证明：,由已知条件，得,F,(0,1)设,A,(,x,1,，,y,1,)，,B,（,x,2,y,2,）,.由,，,0，得(,x,1,1,y,1,),(,x,2,，,y,2,1)，,将,式两边平方并把,y,1,，,y,2,代入，,得,y,1,2,y,2,，,解,式，得,y,1,，,y,2, ，,且有,x,1,x,2,x,4,y,2,4，,抛物线方程为,y,x,2,，求导得,y,x,.,所以过抛物线上,A,，,B,两点的切线方程分别是,y,x,1,(,x,x,1,),y,1,，,y,x,2,(,x,x,2,),y,2,，,即,y,x,1,x,x,，,y,x,2,x,x,.,解出两条切线的交点,M,的坐标为,所以,为定值，其值为0.,因为|,AF,|，|,BF,|分别等于,A,，,B,到抛物线准线,y,1的距离，所以|,AB,|,AF,|,BF,|,y,1,y,2,2, 2,当且仅当,1时，,S,取得最小值4.,点评：,平面向量与解析几何的综合问题主要考查以下两点：,(1)将向量语言转化为几何条件，并通过几何条件来解决几何问题；,(2)利用向量运算解决几何关系的判断、证明或几何量(角、距离(长度)的计算,变式探究,4,(2013兰州模拟),已知平面上一定点,C,(2,0)和直线,l,：,x,8，,P,为该平面上一动点，作,PQ,l,，垂足为,Q,，,且 0.,(1)求动点,P,的轨迹方程；,(2)若,EF,为圆,N,：,x,2,(,y,1),2,1的任一条直径，求,的最值,即点,P,的轨迹方程是3,x,2,4,y,2,480.,