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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章数学广角,知识要点梳理,1. 推理,常用的推理方法有：直接推理判断、排除法、假设法、列表法、图解法。,2. 植树问题,(1)非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：,路的两端都要植树，那么：,株数段数1全长株距1,全长株距(株数1),株距全长(株数1),路的一端植树，另一端不植树，那么：,株数段数全长株距,全长株距株数,株距全长株数,如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么：,株数段数1全长株距1,全长株距(株数1),株距全长(株数1),(2)封闭线路上的植树问题的数量关系：,株数段数全长株距,全长株距株数,株距全长株数,3. 鸡兔同笼问题,(1)假设全是鸡，那么有：,兔的只数(总足数总头数2)2,鸡的只数总头数兔的只数,(2)假设全是兔，那么有：,鸡的只数(总头数4总足数)2,兔的只数总头数鸡的只数,4. 优化,(1)烙饼问题：,一般的解决方法：,公式：烙饼总时间每次烙的时间(2烙饼总数)每次烙的饼数,如每次可以同时烙3张饼，每次要烙5分钟，要烙9张饼的时间是5(29)330(分),特殊的解决方法：,如果用公式除不尽的话，就要先算出烙的次数，再乘每次烙的时间。,如每次可以同时烙3张饼，每次要烙5分钟，要烙7张饼的话，要先算出烙的次数(27)34次2面，即415次，共25分钟。,问题本质：烙饼问题其实是统筹方法的一个分支，其实质是利用好烙锅的容量空间，使每次烙的效率最高。,(2)统筹安排时间问题：,原那么有两个：其一，“分清先后找出事物发生的必然先后顺序；其二，“同时进展在做不需要人照看的事的同时做其他事，这样就可以节约时间。,(3)排队的学问：先快后慢，先时间短的再时间长的，这样可以使总的等待时间最短。,5. 找次品,找次品的最优策略：,(1)把待测物品分成3份；,(2)能够平均分成3份就平均分成三份，尽量平均分，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。如9(3,3,3)；不能平均分成3份的，要使3份分得尽量平均，如7(2,2,3)。,6. 鸽巢问题,鸽巢问题又称抽屉原理。抽屉原理形式：,形式一：把,m,个物体任意分放进,n,个空抽屉里(,m,n,，,n,是非0自然数)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。,形式二：把多于,kn,个物体任意分放进,n,个空抽屉里(,k,是正整数)，那么一定有一个抽屉中放进了至少(,k,1)个物体。,典例精析及训练,题型一,【例,1,】,星期六，丽丽在家做家务。整理房间要8分钟，烧开水要20分钟，洗衣服要12分钟，泡茶要1分钟，丽丽做完这些家务最少需要()分钟。,精析：此题属于优化问题，根据题干，烧开水要20分钟，烧开水的同时可以完成整理房间和洗衣服两件事情，最后泡茶1分钟。所以做完这些家务最少需要21分钟。,答案：21,举一反三,1. 妈妈做早饭的过程及时间如下：洗锅(1分钟)、淘米(1分钟)、熬粥(20分钟)，洗菜切菜(5分钟)、炒菜(3分钟)、盛粥(1分钟)。妈妈做这顿早饭至少需要( )分钟。,2. 小明妈妈用一只平底锅煎饼，锅里只能同时放2张饼，烙熟一面需要3分钟。现在需要烙5张饼，最少需要,( )分钟。,23,15,3.,小猪、小羊和乌龟要过一座独木桥。每次只允许一只动物过桥，小猪需要,5,分钟，乌龟需要,8,分钟，小羊需要,3,分钟。要使三只小动物等候的时间最短，应该让,(,),先过，,(,),再过，,(,),最后过。,小羊,小猪,乌龟,题型二,【例,2,】,园林工人在一条长240米的公路两侧，每隔6米种一棵树(两端都要种)，一共要种多少棵树？,精析：这是非封闭线路的植树问题，两端都要种，那么根据棵数全长株距1可得公路一侧要种的树的棵数，因为两侧都要种，所以还要将所得的数乘以2才能得出答案。,解：,2406,1,41(,棵,),412,82(,棵,),答：一共要种,82,棵树。,举一反三,4. 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？,4004100(棵),答：一共能栽100棵白杨树。,5. 在铁路一旁，每隔45米有一根电线杆，某旅客在行进的火车里，从经过第1根电线杆到第51根电线杆，恰好过了3分钟，火车行进的速度是每小时多少千米？,(511)452250(米)2.25千米,3分钟 小时,2.25 45(千米/小时),答：火车行进的速度是每小时45千米。,题型三,【,例,3,】,9个小球，其中8个一样重，1个比其他的轻是次品，用天平称，至少称 () 次就可以找出次品。,答案：,2,精析：第一步：把9个球分成3份，每份3个，任取两份放在天平上。假设平衡，那么取剩下的3个做第二步分析；假设不平衡，那么取较轻的3个做第二步分析。第二步：取3个球分成3份，每份1个，任取两个放在天平两端。假设平衡，那么剩下1个为次品；假设不平衡，轻一个就是次品。,举一反三,6. 有10 瓶钙片，其中一瓶被吃了5片。用天平称，至少称( )次能保证找出被吃了5片的那瓶。,7. 有30个零件中混进一个较轻的，最少称( )次可以保证找出那个较轻的。,8. 有15盒饼干，其中的14盒质量一样，另一盒少了几块。如果用天平称，至少( )次可以保证找出较轻的那一盒。,3,4,3,题型四,【,例,4,】,32只鸽子飞回7个鸽舍，至少有()只鸽子要飞进同一个鸽舍。,答案：,5,精析：把7个鸽舍看作7个抽屉，把32个鸽子看作32个元素，那么每个抽屉需要放32744(个)，所以每个抽屉需要放4个，剩下的4个不管怎么放，总有一个抽屉里至少有415(个)。所以，至少有一个鸽舍要飞进5只鸽子。,举一反三,9. 23个小球放进11个箱子中，不管怎么放，总有一个箱子中至少要放 个球。,10. 把7只小猫放进3个笼子里，不管怎么放，总有一个笼子里至少放( )只猫。,11. 13个在2021 年出生的儿童中，至少有( )个是同一月出生的。,3,2,3,【,例,5,】,某养殖场里养的鸡和兔共360只，共有1080只脚，养殖场里养了鸡和兔各多少只？,解：兔的只数,(1080,3602)2,180(,只,),，,鸡的只数,360,180,180(,只,),。,答：养殖场里养了鸡、兔各,180,只。,精析：这是一个很典型的鸡兔同笼的问题，总的头数和足数，可以先假设全部是鸡，那么兔的只数(总足数总头数2)2，鸡的只数总头数兔的只数。,题型五,12. 小林参加数学竞赛，他一共得了68分。评分的标准是：每做对一道题得20分，每做错一道题倒扣6分(没做按做错算)。他做对的题的数量是做错的2倍。并且他所有的题都做了，这套试卷一共多少道题？,解：设他做错了x道题，那么做对了2x道题，,这套试卷一共3x道题。,2x206x68,x2,326道,答：这套试卷一共6道题。,举一反三,13.,松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采,20,个，雨天每天只能采,12,个，它一连几天采了,112,个松子，平均每天采,14,个。这几天当中有几天有雨？,1121420160(个),(160112)(2012)6(天)。,答：这几天当中有6天有雨。,14.,鸡兔同笼，鸡头比兔头多,20,个，兔脚比鸡脚多,200,只。鸡、兔各有多少只？,解：设兔有x只，那么鸡有(20x)只。,4x(20x)2200,4x2x240,x120,12020140(只),答：鸡有140只，兔有120只。,过失类型及归纳,类型,解决鸡兔同笼问题时，假设的前后两个数之间的关系容易混淆。,【例】北顺小学举办数学竞赛，试卷共有20道题，每做对一道得5分，错一道倒扣2分。思远做了所有的题，共得了79分，他做对了几道题？,错解：20(20579)(52),=20213,=13(道),答：他做对了13道题。,正解：20(20579)(52),=20217,=17(道),答：他做对了17道题。,分析：此题错在答对一道题和答错一道题相差的不是(52)分，而是(52)=7(分)。在用假设法解答鸡兔同笼类型的应用题时，要注意假设前后两个数之间相差的数，有时相差的数是两数之和。,针对性练习,1.实验中学三年级学生进展野外训练。晴天每天行20千米，雨天每天行10千米。8天内的行程为140千米。这期间有多少晴天？多少雨天？,假设全是晴天。,(208140)(2010)=2(天),82=6(天),答：晴天有6天，雨天有2天。,2,.,小明参加数学竞赛，共10道题，每做对一道得10分，每做错一道倒扣5分(不做按做错算)，他最后得了55分。小明一共做错了几道题？,假设小明全做对了，那么1010=100分。,100-5510+5=3道,答：小明一共做错了3道题。,3,.,在一个停车场上，现有汽车和三轮摩托车共24辆，共有86个轮子，这些车中，汽车和三轮摩托车各有多少辆？,假设24辆全是4个轮子的汽车，那么三轮摩托车有,244-864-3=10辆,24-10=14辆,答：汽车有14辆，三轮摩托车有10辆。,小考复习训练,一、选择题。,1. 王东玩掷骰子游戏，要保证掷出的骰子总数至少有两次一样，他最少应掷( )次。,A. 5 B. 6 C. 7,2. 10瓶饮料，其中一瓶变质了略重一些，用天平称，至少称( )次一定能找出次品。,A. 3 B. 4 C. 5,3.一根木料锯成3段要8分钟，如果每锯一段所用的时间一样，那么锯成7段需要( )分钟。,A. 12 B. 14 C. 24,C,A,C,4,.,一个圆形跑道400米，如果每10米竖一道警示牌，共需( )道警示牌。,A,.,4 B,.,40 C,.,39,5,.,4个好朋友聚会，每两个人握一次手，一共要握( )次手。,A,.,3 B,.,4 C,.,6,B,C,二、填一填。,1. 有3个同学每两个握一次手，共握 次手。,2. 第7幅图有( )个圆圈。,3.在一次数学竞赛中，六年级(1)班40名学生中，第一题有30人做对，第二题有12人没做对，两题都做对的有20人。两题都没做对的有( )人。,4. 从家到学校有3条不同的路可走，从学校到书店有4条不同的路可走。那么小明从家经过学校到书店有( )条不同的路可走。,3,28,2,12,5.抽屉里有4支红铅笔和3支蓝铅笔，如果闭着眼睛摸，一次必须拿 支，才能保证至少有1支蓝铅笔。,6. 27只乒乓球中有一只是次品，次品比正品轻一点，现在有一天平，至少称( )次，一定能把次品找到。,7.园林工人沿公路一侧种树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。第一棵与最后一棵之间的距离有 米。,8. 一个箱子里有5个红球和5个绿球，一次至少摸( )个球才能保证摸到两个同颜色的球。,9. 把15只兔子关进4个笼子，无论怎样总有一个笼子里至少关进了( )只兔子。,5,3,210,3,4,三、解决问题。,1,.,从甲地到乙地原来每隔45米要安装一根电线杆，加上两端的2根一共65根电线杆。现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？,45和60的最小公倍数是180,(651)45180=16(根),16-1=15根,答：中途还有15根不必移动。,2. 三年级1班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。问这两项比赛都参加的有几人？,36+38-55,=74-55,=19人,答：这两项比赛都参加的有19人。,3,.,有两袋乒乓球，一袋有28个，另一袋有100个。如果每次从多的一袋里取出4个放进少的一袋里，拿多少次才能使两袋乒乓球个数相等？,4,.,将一批练习本发给六年级(1)班学生，如果每人发4本就多出48本；如果每人发6本，又少8本。六年级(1)班有学生多少人？,100-2842=9次,答：拿9次才能使两袋乒乓球个数相等。,(488)(64)=28(人),答：六年级(1)班有学生28人。,
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