复变函数3.1 中值定理

3.1,中值定理,第,3,章,35,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式,(,第三节,),推广,第三章,微分中值定理,与,导数的应用,一、罗尔,(,Rolle),定理,第一节,二、拉格朗日,(Lagrange),中值定理,三、柯西,(Cauchy),中值定理,微分中值定理,费马,(fermat),引理,一、罗尔,( Rolle ),定理,且,存在,证,:,设,则,证毕,罗尔,（,Rolle,）,定理,满足,:,(1),在区间,a,b,上连续,(2),在区间,(,a,b,),内可导,(3),f,(,a,) =,f,(,b,),使,证,:,故在,a,b,上取得最大值,M,和最小值,m .,若,M,=,m ,则,因此,在,(,a,b,),内至少存在一点,若,M,m,则,M,和,m,中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意,:,定理条件条件不全具备,结论不一定成立,.,例如,则由费马引理得,使,本定理可推广为,在,(,a,b,),内可导,且,在,(,a,b,),内至少存在一点,证明提示,:,设,证,F,(,x,),在,a,b,上满足罗尔定理,.,2),定理条件只是充分的,.,例,1.,证明方程,有且仅有一个小于,1,的,正实根,.,证,: 1),存在性,.,则,在,0 , 1 ,连续,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于,1,的正根,2),唯一性,.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真,!,设,1.,设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示,:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件,.,设,拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,二、拉格朗日,(Lagrange),中值定理,注,f,(,x,),在(,a,b,),内可导.,f,(,x,),在,a,b,上连续;,:,),(,满足,若函数,x,f,),(,x,内至少存在一点,则在开区间,b,a,拉格朗日,(1736 1813),法国数学家,.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一,.,几何意义：,C,2,h,x,O,y,A,B,a,b,y=f,(,x,),C,1,x,证明,作辅助函数,拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,f,(,x,),在(,a,b,),内可导.,f,(,x,),在,a,b,上连续;,:,),(,满足,若函数,x,f,),(,x,内至少存在一点,则在开区间,b,a,证明,拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,f,(,x,),在(,a,b,),内可导.,f,(,x,),在,a,b,上连续;,:,),(,满足,若函数,x,f,),(,x,内至少存在一点,则在开区间,b,a,证,作,辅助函数,由此得,拉格朗日中值公式,易知,微分中值定理,),(,上连续,在闭区间,b,a,x,g,内,开区间,),(,b,a,可导，,使得,内至少存在一点,故在开区间,),(,x,b,a,.,也成立,对,a,b,于是，拉格朗日中值公式也可改写成,上式也可叫做拉格朗日中值公式。也可以写成下式,拉格朗日公式表达了函数在一个区间上的增量与,函数在该区间内某点处的导数之间的关系,拉格朗日中值公式又称,有限增量公式,.,或,特别地,或,拉格朗日中值公式另外的表达方式：,推论,证,有,由条件,即在区间,I,中任意两点的,函数值都相等,所以,例,证,由上式得,设,由,关键,满足拉格朗日中值定理的条件,例,证,例,证：,由推论,三、柯西,(Cauchy),中值定理,分析,:,及,(1),在闭区间,a,b,上连续,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,(3),在开区间,(,a,b,),内,至少存在一点,使,满足,:,要证,证,:,作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考,:,柯西定理的下述证法对吗,?,两个,不,一定相同,错,!,上面两式相比即得结论,.,柯西定理的几何意义,:,注意,:,弦的斜率,切线斜率,例,设,至少存在一点,使,证,:,结论可变形为,设,则,在,0, 1,上满足柯西中值,定理条件,因此在,( 0 , 1 ),内至少存在一点,使,即,证明,例,5.,试证至少存在一点,使,证,:,法,1,用柯西中值定理,.,则,f,(,x,) ,F,(,x,),在, 1 ,e,上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析,:,例,5.,试证至少存在一点,使,法,2,令,则,f,(,x,),在, 1 ,e,上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,内容小结,1.,微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.,微分中值定理的应用,(1),证明恒等式,(2),证明不等式,(3),证明有关中值问题的结论,关键,:,利用逆向思维,设辅助函数,费马引理,思考与练习,1.,填空题,1),函数,在区间,1, 2,上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2),设,有,个根,它们分别在区间,上,.,方程,2.,若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点,.,提示,:,设,欲证,:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件,.,3.,思考,:,在,即,当,时,问,是否可由此得出,不能,!,因为,是依赖于,x,的一个特殊的函数,.,因此由上式得,表示,x,从右侧,以任意方式趋于,0 .,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,费马,(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好,.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献,.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理,:,至今尚未得到普遍的证明,.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的,.,拉格朗日,(1736 1813),法国数学家、物理学家、天文学家,.,被誉为“欧洲最大的数学家”,.,他在方程,论,解析函数论,及数论方面都作出了,重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接,或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面,影响的数学家之一,.,柯西,(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集,共有,27,卷,.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的,分析教程,无穷小分析概论, ,微积,分在几何上的应用,等,有思想有创建,响广泛而深远,.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展,.,复变函数和微分方程方面,.,一生发表论文,800,余篇,著书,7,本,求证存在,使,1.,设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,设,证明对任意,有,证：,2.,不妨设,