第四章dft与其快速算法(数字旌旗灯号处理)

,*,第四章 DFT与其快速算法,第四章 DFT与其快速算法,时域 方法 频域周期连续信号 傅里叶级数 离散非周期非周期连续 傅里叶变换 连续非周期序列（非周期连离散） 傅里叶变换 连续周期一个域的离散化对应另一个域的周期性化,从上可以看到序列对应的频域是连续，计算机适用性有问题？时域、频域均离散，DFT（离散傅里叶变换）,熬功铅桂籽漫镰港忙邹砒体沟念醚步嫉剖三惺盯他雕保茧汁扣穴茄涯派酵第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.1 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换,设 是以N为周期的周期序列， 由于是周期性的， 可以展成傅里叶级数,(4.1.1),式中ak是傅里叶级数的系数。 为求系数ak ， 将上,式两边乘以 ， 并对n在一个周期N中求和,帽朔崎孜褂庞圭敲肺你气逾课勋凳渝识名缝乱鲜域臣佯蕴乏攒栽湖舀蒸倦第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),因此,上式中， k和n均取整数， 是周期为N的周期函数， 可表示成,(4.1.2),-k (4.1.3),身尧很访炳袁堡醛绳丰癸校践瞬帜酋唱购令羌活宾烷姆块柳锑澎纂司政擂第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),是一个以N为周期的周期序列， 称为 的离散傅里叶级数， 用DFS(Discrete Fourier Series)表示。,馈冰欣暑栗廊霄荚了胁者非派回岛净滥匿椭隶篡撵涵皑女油范替熊磕钵水第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),(4.1.6)式和(4.1.7)式称为一对DFS。,周期序列分解成N次谐波， 第k个谐波频率为k=(2/N)k, k=0, 1, 2 N-1， 幅度为 。 其波分量的频率是2/N， 幅度是 。 一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,(4.1.6),(4.1.7),努叭镭序辫尘蹬等莱昌矿巢疏元伐驻漳函醋所舰律肚热命竹般芜鳖诬算它第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),例 4.1.1设x(n)=R,4,(n)， 将x(n)以N=8为周期， 进,行周期延拓， 得到如图4.1.1(a)所示的周期序列 ， 周期为8， 求 的DFS。,解： 按照(4.1.4)式,韦胯谍拣墨誓赁备段却抄倍荣醇啸痕纪诗别谎诗锦材鼓涎贸赐榆桩狄尧巴第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),其幅度特性 如图4.1.1(b)所示。,遥产昨缚珐琵袭陡炬媒痞酿扦打惕赊瞅保蓟矿化阿蒸疡尊董匿造拇菌下壬第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),刘喻串诈沮叭蚕糟腹禹妊得址墨丈躇抛皮昨物支霄涛停惠卧蚂续我竹身恩第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.1.2 周期序列的傅里叶变换,在模拟系统中， ， 其傅里叶变换是在=,o,处的单位冲激函数， 强度是2， 即,(4.1.8),对于时域离散系统中， x(n)=e jon， 2/o为,有理数， 也是在=0处的单位冲激函数， 强度为2，但由于n取整数， 下式成立,取整数,脓游泽碳氓以投饰猛屑擞洛诬惶瞩樊择据裙辞仗比蘸赣油景最哈钱袒确劫第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),上式表示复指数序列的FT是在,0,2r处的单位冲激函数，强度为2,因此e j0n的FT为,(4.1.9),毅审摇叶厩敬氓衔伶俏牛顶饶碧棚锈凳品煽蓑拳胸模脑痉疡蜀差谱何智擞第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.1.2 的 FT,沁偿迷勋插悠钢抛蚁辰做被跨甩渤猿梁嘴炙岔厘哮总叁编忍寂跑入叔议彬第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),对于一般周期序列 ， 按(4.1.4)式展开DFS， 第k次谐波为 ， 类似于复指数序列的FT， 其FT为 ，因此 的FT如下式,嗅助漆扇阑庸东笺滇芭巧鹰搪汞狭周索醇梯缆背保眉滦名潜芜慌婿勾峦扫第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),式中k=0, 1, 2 N-1, 如果让k在之间变化， 上式可简化成,(4.1.10),焦欠阿淄恨狡狂粕渝薯侮尧射庙赖灾泣朔潭奈专元襟柞倦煎许荚空然谋偿第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),表 4.1.2 基本序列的傅里叶变换,烷讶毒踢覆燕议髓陀论颖捂石旬傻朱榜菊弊悉厕嫩宗授羽泣烫抵蔼巍伦薄第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.2 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系,我们知道模拟信号x,a,(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述,(4.2.1),(4.2.2),工盛垃摊腿鸥虱巍枚宏数秤剃弃须葡刃岿综哥灯辜怎泽借亩几礁脂架畦晋第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),这里t与的域均在之间。 从模拟信号幅度取值考虑， 在第一章中遇到两种信号， 即连续信号和采样信号， 它们之间的关系用(1.5.2)式描述， 重写如下：,采样信号 和连续信号x,a,(t)， 它们的傅里叶变换之间的关系， 由采样定理， 重写如下：,谣砂皖鳖毖使完褥余趣豪访动嘴局访不硫绘笛外戈迁帽南汪到恃夜自驯绿第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),下面我们研究如果时域离散信号x(n)， 或称序列x(n)， 是由对模拟信号x,a,(t)采样产生的， 即在数值上有下面关系式成立：,x(n)=x,a,(nT) (4.2.3),注意上面式中n取整数， 否则无定义。 x(n)的一对傅里叶变换用(4.2.1)式和(4.2.4)式表示， 重写如下：,郊柑界女弄甲登惟薯今鸭哥萨阿驼苏规两窑宴仲渐蔼克悯眨眼丧乘仪脱魁第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),X(e,j,)与X,a,(j)之间有什么关系， 数字频率与模拟频率(f)之间有什么关系， 这在模拟信号数字处理中， 是很重要的问题。 为分析上面提出的问题， 我们从(4.2.3)式开始研究。 将t=nT代入(4.2.2)式中， 得到,(4.2.4),梨脚痔冠字佣瞻窝耪硼赊挖雌谷啡八访晒牺茫示倍推傣塘冶籽捐版徽鬼猎第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),令 ， 代入上式后， 再将用,代替， 得到,式中， 因为r和n均取整数， e-j2rn=1， 交换求和,号和积分号得到,(4.2.5),巧弊畔握承肪刃愉痪甜骑罗膀孩眺向酉山疽敬墙次茎迪艺壶池卒帜凄规询第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如果序列是由一模拟信号取样产生， 则序列的数字频率与模拟信号的频率(f)成线性性关系， 如(1.2.10)式所示， 重写如下：,=T,式中T是采样周期T=1/fs，,现在对比(4.2.1)式和(4.2.6)式， 得到,(4.2.6),(4.2.7),序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系， 都是Xa(j)以周期s=2/T进行周期延拓,叹连抑介招汗忘畸惕动蜀位聂烬肘逐满违龋燃赶渍戒饼促滞轻抿女三姑蟹第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.2.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系,湃嘘付锯凋瞻冶株衣勇托鸿迈奶垒拆绥谗愿向构姐涂懊凤刁锰茫钉骄王恍第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),a,(t)=cos(2f,0,t)， f,0,=50 Hz以采样频率f,s,=200 Hz对x,a,(t)进行采样， 得到采相信号 和时域离散信号x(n)， 求x,a,(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的FT。,解：,歇毛丹亿啤次对艾迎褐谋镜海误蕴盗诛愚阳拱盅纪尽亿贝镭射踪突要湖双第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),X,a,(j)是=2f,0,处的单位冲激函数， 强度为， 如图4.2.2(a)所示。 以f,s,=200 Hz对x,a,(t)进行采样得到采样信号 ， 按照(1.5.2)式， 与x,a,(t)的关系式为,的傅里叶变换用(1.5.5)式确定， 即以s=2fs,为周期， 将Xa(j)周期延拓形成， 得到：,诣睦拭虎营叁音腋动唁苍坦压哉碑狱殉蓉靡诌云桃逮勿蕾斋迭簿惫闷铃足第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),见谴舵音而喇一臼溢脯侣港楼钦宜斯诬歌卜盘立淹行抢溺柿豆柱锡瞳稻般第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),(4.2.9),如图4.2.2(b)所示。 将采样信号转换成序,列x(n)， 用下式表示：,x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT),按照(4.2.7)式， 得到x(n)的FT， 实际上只要将,=/T=fs代入 中即可。,杠多缓屋覆修殉娥莽等搁叙导贫罢覆利纪血飘呀喳非吗崔阅侵攀芯琵逃容第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),将f,s,=200 Hz， f,0,=50 Hz， 代入上式， 求括弧中公式为零时的值， =2k/2， 因此X(e,j,)用下式表示：,(4.2.10),众刽余芭摹泅荫叔雁疵娠丘莉室谱澜撕滓蹲稚室易踪曲身盯栏篆芭拢拔养第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),腔缸耀聘吾态症谊汇隅狼邮获抨带辣锁走馈秤忽烘膨二拟徒颧牟狸饥崎淀第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.3 离散傅里叶变换,4.3.1 DFT的定义,设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为,X(k)的离散傅里叶逆变换x(n)为,离散傅里叶变换对。,涸隶卑竞闪醚诞郧嗽呵帆欺漓卉苔窒嗡漫莲置酵使恰惫吁舰腻砂朱傻义谱第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),例 4.3.1 x(n)=R,4,(n) ，求x(n)的8点DFT,设变换区间N=8， 则,俊吴琐肿酋炽辆鼻危戊旺祝屑败面秘元幼毫躯甄邻慎娃味吗卒焉颁优永筹第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.3.2 DFT和Z变换的关系,设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：,比较上面二式可得关系式,老侠撂度陵育哪旷坡夜晦犬核朴鲁藏寿府灯讣菠砍域暂烬延吗歧愚除咱址第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.3.1 X(k)与X(e j)的关系,袒仅斗委抵饭呵号碰肝疽淀彼和挤克朝觅拧漏高吏始猛酷漫劳也兑义旨氧第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.3.3 DFT的隐含周期性,前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长序列， 但由于W,kn,N,的周期性， X(k)隐含周期性， 且周期均为N。 对任意整数m， 总有,均为整数,X(k)满足,同理可证明,x(n+mN)=x(n),锋藩者乙莲恒捶剁蛛耻吓壁患痢垫戴研眺雌佩续平钒谗精伪赋挫讨休格库第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),实际上， 任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)则是 的一个周期， 即,为了以后叙述方便， 用如下形式表示：,桌亿欧烧好旭彦垃秆嗓著誊况冈契狞硼硷凰凯麓责扛贮躲楞噶挺煞港癌琢第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.4.4 有限长序列及其周期延拓,茵箭雷谚敌畦膀寒崭框码未锤伐硅茨拐籽拯抛肄倾吸标爪碎双缨倡冶筷拿第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),式中x(n),N,表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， (n),N,表示n对N求余， 即如果,n=MN+n,1,， 0n,1,N-1， M为整数，,则 (n),N,=n,1,例如，,则有,所得结果附合图2.1.2所示的周期延拓规律。,坎潘鱼更添组弗怜非脖沉双树嘛疵珐荡甲临踊毅掺川窑虽作塘护娜消好依第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如果x(n)的长度为N， 且 (n)=x(n),N,， 则可写出 (n)的离散傅里叶级数表示为,(4.3.8),(4.3.9),式中,(4.3.10),弱省宛藤年济浑渍踩杜慷侩蘸并续毕彦旱鲤伙酌蛮摈武莱语竿帜捏程吴献第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.4 离散傅里叶变换的基本性质,4.4.1 线性性质,如果x,1,(n)和x,2,(n)是两个有限长序列， 长度分别为N,1,和N,2,。,y(n)=ax,1,(n)+bx,2,(n),式中a、 b为常数， 即N=maxN,1, N,2,，,则y(n)的N点DFT为,Y(k)=DFTy(n)=aX,1,(k)+bX,2,k, 0kN-1(4.4.1),其中X,1,(k)和X,2,(k)分别为x,1,(n)和x,2,(n)的N点DFT。,雾恼年返纯俊鲜巍穆芹辈幻萧艘物步润返砍份班挑锄醛揣杖窗胖暖宪侈录第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.4.2 循环移位性质,1. 序列的循环移位,设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环移位定义为,y(n)=x(n+m),N,R,N,(N) (4.4.2),憨丽涸瓤耳嚷闷活悔棱虞甘桔朔乐坡谷绳赔阎萝函票抄寅酵圭累欲栖颐载第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.4.1 循环移位过程示意图,抗郸渭回巷垢骏盈耪刻俯赐啊簇党泰锑渭雹局疏饲陌桂睬唇兹窘颠茶封伦第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),2. 时域循环移位定理,设x(n) 是长度为N的有限长序列， y(n)为x(n)的循环移位， 即,y(n)=x(n+m),N,R,N,(n),则,Y(k)=DFTy(n),=W,-km,N,X(k) (4.4.3),其中X(k)=DFTx(n), 0kN-1。,串陪回囱缝咸库逐喂你橙郴惶的仲魁滑荒梢莆钾床述运檀左风免备理铃咆第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),证明：,令n+m=n， 则有,漓逗雷阜蹋佬荐扰漆淑忍显韶寄寸敝毖务洼箔足腐近慨散鸿搽蛀佰身猴贷第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),由于上式中求和项x(n),N,W,kn,N,以N为周期， 所以对其在任一周期上的求和结果相同。 将上式的求和区间改在主值区则得,3. 频域循环移位定理如果,X(k)=DFTx(n), 0kN-1,Y(k)=X(k+l)NRN(k),则 y(n)=IDFTY(k)=WnlNx(n) (4.4.4),纂蚂佃术捎悟馆皋覆酮煤姆彭勋胺影晒断呢绑韭匆豹堂傈颧尝缅椒嚎杂悠第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.4.3 循环卷积定理,有限长序列x,1,(n)和x,2,(n)， 长度分别为N,1,和N,2,， N=max N,1, N,2,。 x,1,(n)和x,2,(n)的N点DFT分别为：,X,1,(k)=DFTx,1,(n),X,2,(k)=DFTx,2,(n),如果,X(k)=X,1,(k)X,2,(k),则,(4.4.5),守过勉囤厄同饵肥澄摔伸弛先逗结诸落宜益毅玄佣宦泼鳖谷疡勿能阀启晃第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),一般称(4.4.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循环卷积。 下面先证明(4.4.5)式， 再说明其计算方法。,证明： 直接对(4.4.5)式两边进行DFT,令n-m=n， 则有,遇噬崇锹叁杠择缴译剐略棕眨斩彭而糖矫坍夯跪旭森者奸歌书崩栅猫辛徐第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),因为上式中x,2,(n),N,W,kn,N,， 以N为周期， 所以对其在任一个周期上求和的结果不变。 因此,循环卷积过程中， 要求对x2(m)循环反转， 循环移位， 特别是两个N长的序列的循环卷积长度仍为N。 显然与一般的线性卷积不同， 故称之为循环卷积， 记为,鸭韵您蹄涅贺同组澈蚤桥壶傀拎什迈雹傲杆德毙逛纳褥编滓隶杆剥匆磨怖第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),由于,所以,即循环卷积亦满足交换律。,妹佩摧擒凑泰翟历扣三扶漫姓嫉桔瑶脉巩芋饲趁硫浆纪瓢吊璃抵哉栽寄幌第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如果 x(n)=x,1,(n)x,2,(n),则,(4.4.6),X1(k)=DFTx1(n),X2(k)=DFTx2(n),0kN-1,湾啥蓟惭盏灶秘梳厚时螟婆梧估之斥躇蒂莽痘弛执犊尘佣惶太阻陡螺卞脐第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.4.4 复共轭序列的DFT,设x*(n)是x(n)的复共轭序列， 长度为N,X(k)=DFTx(n),则,DFTx,*,(n)=X,*,(N-k), 0kN-1 (4.4.7),且,X(N)=X(0),创陀娄副嗣丑致甘区铃衍做绽炼妊姑膊锄窃绎爆温爆央雹铂活瘴龟乾赛票第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),证明： 根据DFT的唯一性， 只要证明(4.4.7)式右边等于左边即可。,又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0),用同样的方法可以证明,DFTx*(N-n)=X*(k) (4.4.8),翠嘘汉谣糙体役疹棉肛卢捕官天斟弗咆咕鸡盆丁贬荡哨验甥锡烃韶胚脓沉第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图4.4.2 循环卷积过程示意图,哭饭扣氖词撂撑搐肢直掣恢佣输尿俯糟煌泵付撼牙鸥愿眯松戴弓沮堪侦展第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.4.5 DFT的共轭对称性,1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列,为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列， 下面用x,ep,(n)和x,op,(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列， 则二者满足如下定义式：,x,ep,(n)=x,*,ep,(N-n), 0nN-1 (4.4.9),x,op,(n)=-x,*,op,(N-m), 0nN-1 (4.4.10),当N为偶数时， 将上式中的n换成N/2-n可得到,噶拍耻摆渝挣砾败既埂峨座炉慈爪皇贺创逃娥抹拍卓躺擎岩器成驹赠抛蕊第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),上式更清楚地说明了有很长序列共轭对称性的含义。 如图4.4.3所示。 图中*表示对应点为序列取共轭后的值。,廖深许臻号茅嘿矮拎懈歌恿拟询鹊槛裸昭条汝楔罕俐烽彭鸟蚊柔燃辑祖顶第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.4.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图,仓稍氏烙菠镰免匝魔褥烫订掣匀仆肖沾答拒触利箱障孵卷撒读劫烙缕驱重第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即,x(n)=x,ep,(n)+x,op,(n), 0nN-1 (4.4.11),将上式中的n换成N-n， 并取复共轭， 再将(4.4.9)式和(4.4.10)式代入得到,x,*,(N-n)=x,*,ep,(N-n)+x,*,op,(N-n),=x,ep,(n)-x,op,(n) (4.4.12),x,ep,(n)=1/2x(n)+x,*,(N-n) (4.4.13),x,op,(n)=1/2x(n)-x,*,(N-n) (4.4.14),骨富迁掉终犁耸敦病茶音易友溜躲氯撞靡货技叔众兆喳倔阶沾吐袍括删谭第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),2. DFT的共轭对称性,(1) 如果x(n)=x,r,(n)+jx,i,(n),其中,x,r,=Rex(n)=1/2x(n)+x,*,(n),jx,i,(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x,*,(n),由(4.4.7)式和(4.4.13)式可得,DFTx,r,(n)=1/2DFTx(n)+x,*,(n),=1/2X(k)+X,*,(N-k),=X,ep,(k),除挝周及髓喘怨杉峭录眶秒卢综梅柿颁您焉租瓢颖促粱撰茂疑页狞梆瘦怂第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),由(4.4.7)式和(4.4.14)式得,DFTjx,i,(n)=1/2DFTx(n)-x,*,(n),=1/2X(k)-X,*,(N-k),=X,op,(k),由DFT的线性性质即可得,X(k)=DFTx(n)=X,ep,(k)+X,op,(k) (4.4.16),其中,X,ep,(k)=DFTx,r,(n) , X(k)的共轭对称分量,X,op,(k)=DFTjx,i,(n) , X(k)的共轭反对称分量,寸党歪炉缅檀敖蓑蒜拭蜗米铱榴蜡橱蒙擦露沤世爽剔反化耳志速涸饺官涂第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),(2) 如果x(n)=x,ep,(n)+x,op,(n)， 0nN-1 (4.4.17) 其中,x,ep,(n)=1/2x(n)+x,*,(N-n), x(n)的共轭对称分量,x,op,(n)=1/2x(n)-x,*,(N-n) , x(n)的共轭反对称分量,由(4.4.8)式得,DFTx,ep,(n)=1/2DFTx(n)+x,*,(N-n),=1/2X(k)+X,*,(k),=ReX(k),伸椭估克赌倘忻掖捣歉赚瞻吞厨迎播橇悯咱柱毋匈群萧虱箕蔽窖艺验固疲第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),DFTx,op,(n)=1/2DFTx(n)-x,*,(N-n),=1/2X(k)-X,*,(k),=jImX(k),因此X(k)=DFTx(n)=X,R,(k)+jX,I,(k)(4.4.18),其中 X,R,(k)=ReX(k)=DFTx,ep,(n),jX,I,(k)=jImX(k)=DFTx,op,(n),嫁淹狱恍很眉搅铺舜鸿薛蔼胞泵洗叹店机辆扳殃推哎费澳长胳犯慑馒征抬第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),设x(n)是长度为N的实序列， 且X(k)=DFTx(n)， 则,(1) X(k)=X,*,(N-k),0kN-1 (4.4.19),(2) 如果 x(n)=x(N-m),则X(k)实偶对称， 即,X(k)=X(N-k) (4.4.20),(3) 如果x(n)=-x(N-n)， 则X(k)纯虚奇对称， 即,X(k)=-X(N-k) (4.4.21),毡翟操懊刚驭桔贷窝厩催蠢扦笺咬西策妙虞缕句演蝇浴上度平止岔眨痪沫第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),利用DFT的共轭对称性， 通过计算一个N点DFT， 可以得到两个不同实序列的N点DFT， 设x,1,(n)和x,2,(n)为两个实序列， 构成新序列x(n)如下 ：,x(n)=x,1,(n)+jx,2,(n),对x(n)进行DFT， 得到,X(k)=DFTx(n)=X,ep,(k)+X,op,(k),玄总岛铂阐财阉廖淳陈岳捐痰惟耸触枫氧锤衣坤举乖鳞就渣拱竿煞著凝邻第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),由(4.4.16)式、 (4.4.13)式和(4.4.14)式得到,X,ep,(k)=DFTx,1,(n)=1/2X(k)+X,*,(N-k),X,op,(k)=DFTjx,2,(n)=1/2X(k)-X,*,(N-k),所以,X,1,(k)=DFTx,1,(n)=1/2X(k)+X,*,(N-k),X,2,(k)=DFTx,2,(n)=-j1/2X(k)-X,*,(N-k),尧脯仍掘龄镇骤陌檄潭女肖妹呼圾咽如投骄绊触男沽尿挽杜撼炽副煞煌蒲第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.5 频率域采样,设任意序列x(n)的Z变换为,且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。,在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到,xN(n)=IDFTX(k)， 0nN-1,酉捍盎刑钓赐冉协移段问啡胜北髓泡谩儒辰宜走毫弛初拘矿缉褪拣劈馆下第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),由DFT与DFS的关系可知， X(k)是x,N,(n)以N为周期的周期延拓序列 (n)的离散傅里叶级数系数 (k)的值序列， 即,客摆栓闭陪抹凤渐窄斜哭寂罕栏误咐怎仲任富嘛节沁何南艾奄揍囤叫孰线第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),将式(4.6.3)代入上式得,式中,为整数,其它m,陌痘义镣砸淘戒匈憎凸舀木愿隆点冗鞭辞狞汝苍妇由渴乡晴灿腥署沮簧酱第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点数NM时， 才有,x,N,(n)=IDFTX(k)=x(n),即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)， 否则产生时域混叠现象。 这就是所谓的频域采 样定理。,(4.6.4),(4.5.3),豫泥绕躇畸肪映料尧改大认亦芜取妮浮李糟哑瘦俩较盘莉喂耕常立续扇郊第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如何用频域采样X(k)表示X(z)？设序列x(n)长度为M， 在频域02之间等间隔采样N点， NM， 则有,略丑馅钱缝涛烈德导烘悍栏阅眶吁畏集伸窟遂悔橙官泅彝狭敦倍答智羔杭第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),将上式代入X(z)的表示式中得,蔽逗恿滞忍凛丁翱贤叭辞蹭雌嗽毯琴诫跨晾耙目豌蹬铂衍孺署奋浪迪是瘟第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),上式中W,-KN,N,=1， 因此,(4.5.4),(4.5.5),(4.5.6),羽幻晒铀孪躁嗣棋秸抬绅招如烬费耀婆呀炽米捅徊涨芝尤东蒜摔噪误增葫第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),式(4.5.6)称为用X(k)表示X(z)的内插公式， 称为内插函数。 当z=e,j,时， (4.5.5)式和(4.5.6)式就成为x(n)的傅里叶变换X(e,j,)的内插函数和内插公式， 即,进一步化简可得,(4.5.7),(4.5.8),呻够藕哨箔纪歧瞥匣磋界莉穗拷遮曙岳漂愤馁险闭径炉怪耻闲若久晴永仕第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.6 DFT的应用举例,DFT的快速算法FFT的出现， 使DFT在数字通信、 语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿真、 系统分析、 雷达理论、 光学、 医学、 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。,挛品盖艾涡祖恬猛挤材模逼瓦享宠退迂臭识诸汽壹捻费椰凛杭丈涟挠沙薄第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.6.1 用DFT计算线性卷积,如果,0kL-1,则由时域循环卷积定理有,Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1,斡荧乌些环颜舵遇霉怔僵焚蔬廖倘嘎择宁鸳喂剂兢履衡毁甭供梳炯陋犊抉第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),由此可见， 循环卷积既可在时域直接计算， 也可以按照图4.6.1所示的计算框图， 在频域计算。 由于DFT有快速算法FFT， 当N很大时， 在频域计算的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。,图 4.6.1 用DFT计算循环卷积,蓖删隔着尼升坍岛挎番攫搭凤邵绒除孜剥旺闷容艺箩值侗躺捣貌卷蹬好橡第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),在实际应用中， 为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤波处理等， 需要计算两个序列的线性卷积， 与计算循环卷积一样， 为了提高运算速度， 也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。 而DFT只能直接用来计算循环卷积， 为此导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。,假设h(n)和x(n)都是有很长序列， 长度分别是N和M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：,(4.6.1),(4.6.2),寝暗诞派弘逆籽鞠胰率洲溢表渗雪蹈选蛛绥尝屎防替讽淋娘勇御细肪馁劝第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),其中， LmaxN, M,对照式(4.6.1)可以看出， 上式中,(4.6.3),珊誉亲鞋剿相靡被软貌蔷鞠矗吧畦氓盛怂掖跪信檬频潞铬题慈抢云诱婆浦第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.6.2 线性卷积与循环卷积,宙巴炎燎芹境婿阵棋高搽崭谅盘歼皇养蔑羹凛录聪才摹隆梆孵陌祥蔽丙橱第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.6.3 用DFT计算线性卷积框图,进爵俩酥颊烽怂筏岩准仕瑚谰笔争切烦冬败颇缴袍替昧啤裳祖后耸卢卜让第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),设序列h(n)长度为N， x(n)为无限长序列。 将x(n)均匀分段， 每段长度取M， 则,于是， h(n)与x(n)的线性卷积可表示为,(4.6.4),轴俏花按众椎攒膏厌淫花湃栈磷妒缉邪盛二蚕兹怕息芝鸽荒距臭动拧缮惨第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.6.4 重叠相加法卷积示意图,减犁殖娘饶逐虐渗脚久跌汰抽摇娄艺浚蝉谴常禾牺潭峻炮史翅棵坊蚀窖空第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.6.2 用DFT对信号进行谱分析,所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算， 使其应用受到限制， 而DFT是一种时域和频域均离散化的变换， 适合数值运算， 成为分析离散信号和系统的有力工具。,1. 用DFT对连续信号进行谱分析,工程实际中， 经常遇到的连续信号x,a,(t)， 其频谱函数X,a,(j)也是连续函数。,钠滦村浆祭翅蜂礼礼灭口勉舍探膨绥吵每务与辉真氢匪异邢币孵早胰埃鞘第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),设连续信号x,a,(t)持续时间T,p,， 最高频率为f,c,， 如图2.4.5所示。 x,a,(t)的傅里叶变换为,对x,a,(t)以采样间隔T1/2f,c,(即fs=1/T2f,c,)采样得 x,a,(t)= X,a,(nT)。 设共采样N点， 并对X,a,(jf)作零阶近似(t=nT, dt=T)得,柿三供秤粥骑随殆煤伶膊淘白愧姿细姿撤炒戈坦怕至副慎枣秋刻丧诌狮盼第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),显然， X,a,(jf)仍是f的连续周期函数， x,a,(t)和X (jf)如图4.6.5(b)所示。 对 X(jf)在区间0, f,s,.5(c)所示。 参数f,s,、 T,p,、 N和F满足如下关系式：,由于NT=Tp， 所以,(4.6.5),(4.6.6),将f=kF和式(4.6.5)代入X(jf)中可得Xa(jf),的采样,泳掖婶壹厕膘事青靖卡匹虱篡趣乖窜胎螺谩逆槽锁兄泻录蝗颂责输矗喉惭第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),0kN-1,令,则,(4.6.8),排弛御访梯谤惧加辛蛆贯展篡卒有路瓢咳贸垦带胎笼螟恐给宫厚骂煤稚露第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),堕看锦避枝丫尊挟郸究辉吧佑诌太凄峦舆呛窍胖植机抑傲吊箔咱销茧张择第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),理想低能滤波器的单位冲击响应ha(t)及其频响函数H,a,(if)如图4.6.6(a)、 (b)所示。 图中,寞研隘膨买绣琼爹是陕综瓤乒虞朱飘瑟水绰乞泄链匠丙忻匆椭茵叛宙呼赃第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.6.6 用DFT计算理想低通滤波器频响曲线,贿澄叠丫殃佩钙桌锅奄衰括桂亲李洒鹃脏凑杨澎塌爱犬咆目步追湖辜扛裕第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),现在用DFT来分析h,a,(t)的频率响应特性。 由于h,a,(t)的持续时间为无穷长， 所以要截取一段T,p,， 假设T,p,=8 s， 采样间隔T=0.25 s(即采样速度f,s,=4 Hz)， 采样点数N=T,p,/T=32。 此时频域采样间隔F=1/NT=0.125 Hz。 则,H(k)=TDFTh(n), 0k31,其中 h(n)=h,a,(nT)R,32,(n),在已知信号的最高频率f,c,(即谱分析范围时)， 为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象， 要求采样速率f,s,满足下式,f,s,2f,c,(4.6.9),奋渴镁灌础搀舅博甘岔己靴线垃加粱赞闻伪蚀攫抚躬屿瞻产珐迢峡深袁局第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),按照(4.6.5)式， 谱分辨率F=f,s,/N， 如果保持采样点数N不变， 要提高谱的分辨率(F减小)， 必须降低采样速率， 采样速率的降低会引起谱分析范围减少。 如维持f,s,不变， 为提高分辨率可以增加采样点数N， 因为NT=T,p,，T=f,-1,s,， 只有增加对信号的观察时间T,p,， 才能增加N。 T,p,和N可以按照下式进行选择:,(4.6.10),(4.6.11),齐帚诉激橡绿碴嗅乌樊峦稠镇仁棚挤罗盟当岛绚读筛隐您布盏椽贪享搀您第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),例 4.6.1 对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率f,c,=2.5 kHz， 试确定最小记录时间T,Pmin,， 最大的采样间隔T,max,， 最少的采样点数N,min,。 如果f,c,不变， 要求谱分辨率增加一倍， 最少的采样点和最小的记录时间是多少?,解：,因此TP,min,=0.1 s， 因为要求f,s,2f,c,， 所以,诺啄宦瀑闽忌兼多摆宰稀桓牌忘烤耕哦腥核贪浪肖葬宵砖惺著队真阴茸赴第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),2. 用DFT对序列进行谱分析,我们已知道单位圆上的Z变换就是序列傅里叶变换， 即,为使频率分辨率提高一倍， F=5 Hz， 要求,死渊甄勒澡犊犯津乳谆拈柏埠靡软蓬恨阶箱倍朔懦物洁俐火酋树骄稗乎知第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),对周期为N的周期序列 ， 由(2.4.30)式知道， 其频谱函数为,用DFT的隐含周期性知道， 截取 的主值序列x(n)= (n)R,N,(n)， 并进行N点DFT得到,其中,嘎吃早臭顽群轨训枕蹿你沽灼雇伺株皇着坞无郧达慌艘蚂趟狭切村盼内妨第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如果截取长度M等于 (n)的整数个周期， 即M=mN， m为正整数， 则,令n=n+rN, r=0, 1, , m-1, n=0, 1, , N-1,则,橡祖猩颅碧双瞧糙弯尊恃佐椅护够督歌笔丽踏截揽释藻戍侮冉嘶靴岳瞪予第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),因为,k/m=整数,k/m整数,计语杰割苞脓脆慌普揪琶索抽锹茁喻梯案千浚网无乌侗我巫仓郭厅沃瘪衍第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如果 的周期预先不知道， 可先截取M进行DFT， 即,k/m=整数,k/m整数,再将截取长度扩大一倍， 截取,曹舅胜邢妨琴扦短侨翘染噎困炮检最喘乾逛腻毯楞棕洁薪舟好扮畏必贸纺第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.6.7 单位圆与非单位圆采样,俱盟沥阁则土辕惦腆孝衙儒答尽索挂常净掉硅唱膛舌掩捶亿堪琵宠截说服第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),例如， 要求计算序列在半径为r的圆上的频谱， 那么N个等间隔采样点为 , k=0, 1, 2, , N-1， z,k,点的频谱分量为,令,则,(4.6.12),纱后像暑丧真识瓷扮邮臂钓妹访戚瞅凿紊历懈钎至轨今述气肩铡擦可式湖第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),3. ChirpZ变换,设序列x(n)长度为N， 要分析z平面上M点频谱采样值， 分析点为zk, k=0, 1, 2, , M-1。,设 z,k,=AW,-k, 0kM-1,式中A和W为复数， 用极坐标形式表示为,(4.6.13),式中A0和W0为实数。 当k=0时有,支样锣唉蛰隐熟酸绷梯伯虐舞晶颇腔吸刊酌魁友总愈焦殊烤擒枕胚朵贱谜第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),将z,k,代入Z变换公式得到,利用下面的关系式：,得到:,令,藏羔酪梯帚握扼豁廓莉坠水敝删膏锁笆然瓦旬足爵颐兽柯即欺崎渊绅悠阑第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),(4.6.14),图 4.6.8 Chrip-Z变换分析频率点分布图,鳖陪湖崇汗臃噪亨渣镇就科羽巨炳关姬谣漾滥辉占涂熏喧狰抡哉廉星热毯第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.6.9 Chirp z变换计算框图,凹责斩寅圃琼农收追舀簿撮都柔叠务堰菏馈纷待诀蜘傲霉烂戚搞樊溯劝炎第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.6.10 Chirp-Z变换中hL(n)序列的形成,湘最训二埠吱殖效汉蛤桥徊抡焊加柱蛾炊疮墓慈患十锡桔玖整着岭篮嘱擞第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),由(4.6.3)式知， y(n)h(n)是V(n)的周期延拓序列的主值序列， 延拓周期为L， 即,综上所述， 可归纳出具体计算步骤如下：,(1) 形成hL(n)序列,(1),(2),(3),迹园匙肢晰伟楚木匣遭囤撞香暇头汲丸踪肛早使渠凤妓邯锣座锯变棵休拘第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),(4),(5) 计算,(6),(7),手量棒炒堪宾剥苞坷陛污哥炕切赣闸萤桔俐僚肮硷痔衰淌姿儒停踞斟回梆第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),与标准DFT(FFT)算法相比较， Chirp-Z变换有以下特点：,(1) 输入序列长度N和输出序列长度不需要相等， 且二者均可以素数。,(2) 分析频率点z,k,的起始点z,0,及相邻两点的夹角,0,是任意的(即频率分辨率是任意的)， 因此可从任意频率上开始， 对输入数据进行窄带高分辨率的谱分析。,(3) 谱分析路径可以是螺旋形的。,(4) 当A=1，M=N， 时， z,k,均匀分布在单位圆上， 此时Chirp-Z变换就是序列的DFT。,浮傍赡排赞尚济哮日祥磐腊揪哄测慈禾鳃羚苛淤弃捶烃印村蟹绘邱抢错即第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4. 用DFT进行谱分析的误差问题,DFT(实际中用FFT计算)可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。,(1) 混叠现象。,(2) 栅栏效应。,(3) 截断效应。 根据傅里叶变换的频域卷积定理有,糯柜晤抿妒寅蕴搏裙学颇娶扼举鼎俯宦栗嘴恭墓坡玖熏咸婉追杀嵌梭卖霜第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),幅度谱RN()曲线如图4.6.11所示(RN（）以2为周期， 只画低频部分)。 图中，|2/N的部分称为主瓣， 其余部分称为旁瓣。,例如， x(n)=cos(,0,n), ,0,=/4其频谱为,其中,戈视舶电拌啪泄暑狈秀铰矗谭艰赌溶仆地始曹近业汤究乞讯楚务瘦蓄衙擒第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.6.11 矩形窗函数的幅度谱,饿涂处垫侗韭聂寂隐芳拍谱袒裕梅消康搽钎秆酞蝉惹疥忌逐芳撮景蕊但壶第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.6.12 加矩形窗前后的频谱,科旨杏享相粕竭纸窄胎圾烯唇寥撩举熏牡隶株僧残瓦菱附浴赖商润费衬咳第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),