FEM变分原理基础cai

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,FEM变分原理基础cai,1 加权残量法与变分原理简介,有限元法不直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而从与其等效的积分形式出发去求解原问题的近似解,加权残量法,加权残量法是等效积分的一般形式，适用于普通微分方程的求解,变分原理,假设原问题具有某些特定的性质，那么其等效积分形式可归结为某个泛函的变分，相应的近似解法转化为求泛函的驻值,2,2 微分方程的等效积分形式,物理问题,边界条件,域,内,边界,上,未知函数,微分方程组,内,上,(1),(2),3,2 微分方程的等效积分形式,例1：一维弹性静力问题,P,上,u,上,内,且,准确解,特例,(3),将以此为例说明典型列式技术的应用,4,2 微分方程的等效积分形式,例2：一维稳态热传导问题,q,上,T,上,内,5,2 微分方程的等效积分形式,物理问题(1)的等效积分形式,边界条件(2)的等效积分形式,原问题等效积分形式,内,上,(4),(5),(6),6,3 加权残量法,未知函数近似解,残差残量,内,上,(7),(8),其中,试探函数形函数,待定系数,7,3 加权残量法,原问题近似等效积分形式,内,上,(9),或,(9),式为通过选择待定系数，强迫残量在某种平均意义上等于零,采用使残量的加权积分为零来求得微分方程近似解的方法称为加权残量法,假设将(9)式进展分部积分，那么可获得等效积分的“弱形式，,其可降低对近似函数连续性的要求,8,3 加权残量法,加权残量法求特例问题的一般列式,且,准确解,取试探函数,试探函数满足边界条件，但不满足微分方程,残量加权积分为零，即,由于试探函数满足边界条件，故边界条件不出现在等效积分表达式里面,9,3 加权残量法,加权残量法求特例问题的一般列式,且,准确解,残量为,残量为,10,3 加权残量法配点法,权函数的选取,配点法求特例问题,(10),11,3 加权残量法配点法,配点法求特例问题,12,3 加权残量法最小二乘法,权函数的选取,最小二乘法求特例问题,(11),一项近似解：,13,3 加权残量法最小二乘法,最小二乘法求特例问题,两项近似解：,14,3 加权残量法迦辽金法,权函数的选取,迦辽金法求特例问题,(12),所得到的系数矩阵是对称的，因此在用加权残量法建立有限元列式时几乎都采用迦辽金法。,一项近似解：,15,3 加权残量法迦辽金法,迦辽金法求特例问题,两项近似解：,16,3 加权残量法讨论,加权残量法的特点,加权残量法可用于广泛的方程类型,选择不同的权函数，可以产生不同的加权残量法，总体上迦辽金法的精度较配点法和最小二乘法要好,假设近似函数取自完全的函数系列，并满足连续性要求，那么当试探函数项数不断增加时，近似解可趋近于准确解,加权残量法的缺乏,解的收敛性没有严格的理论证明,近似解通常不具有明确的上下界性质,17,4 变分原理,内积,转化后的内积,边界条件,18,4 变分原理,泛函的构造线性自伴随微分方程,等效迦辽金提法,内,上,(13),内,上,利用自伴随线性算子的性质可得,那么原问题的变分原理为,19,4 变分原理虚位移原理,弹性力学平衡方程与力边界条件,其中,应力,体积力,微分算子,应变,面力,20,4 变分原理虚位移原理,等效积分形式,虚位移原理即弱形式，由分部积分获得,虚位移原理的力学意义：假设力系是平衡的，那么它们在虚位移上所作之功的总和为零。反之，假设力系在虚位移与虚应变上所做之功等于零，那么它们一定满足平衡。即虚位移原理表述了力系平衡的充分必要条件。,虚位移原理不仅可用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性与弹塑性等非线性问题。,(14),21,4 变分原理虚应力原理,弹性力学几何方程与位移边界条件,其中,位移,微分算子,应变,指定位移,22,4 变分原理虚应力原理,等效积分形式,虚应力原理即弱形式，由分部积分获得,虚应力原理的力学意义：假设位移是协调的，那么虚应力和虚边界约束反力在它们上面所作之功的总和为零。反之，如果上述虚力系在它们上面所作之功的和为零，那么它们一定是满足协调的。即虚应力原理表述了力系平衡的充分必要条件。,虚应力原理可用于线弹性问题以与非线性弹性与弹塑性等不同力学问题。,(15),23,4 变分原理最小位能原理,(16),系统总位能,弹性变形位能,外力位能,最小位能原理的力学意义,：在所有区域内连续可导的并在边界上满足给定位移边界条件的可能位移中，真实位移使系统总位能最小。,可用于线弹性问题的求解。,其中,最小位能原理,由虚位移原理,24,4 变分原理最小余能原理,(17),系统总余能,弹性余能,外力余能,最小余能原理的力学意义,：在所有区域内满足平衡方程，在边界上满足力的边界条件的可能应力中，真实应力使系统的总余能最小。,可用于线弹性问题的求解。,其中,最小余能原理,由虚应力原理,25,4 变分原理讨论,最小位能和最小余能的区别,利用最小位能原理求得位移近似解的弹性变形能是准确解弹性变形能的下界，即近似的位移场在总体上偏小，构造的计算模型显得偏于刚硬,利用最小余能原理得到的应力近似解的弹性余能是准确解余能的上界，即近似的应力解在总体上偏大，构造的计算模型偏于柔软,利用两种原理同时求解问题时，可获得问题的上界和下界，可以较准确地估计所得近似解的误差，对工程计算有意义,26,谢谢欣赏,27,谢谢观赏,