D二重积分计算

D62二重积分计算,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,D62二重积分计算,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,D二重积分计算,解法,:,类似定积分解决问题的思想,:,给定曲顶柱体,:,底：,xoy,面上的闭区域,D,顶,:,连续曲面,侧面：,以,D,的边界为准线,母线平行于,z,轴的柱面,求其体积,.,“分,匀,和,精,一 二重积分的几何意义,2/37,1)分：“大化小,用任意曲线网分,D,为,n,个区域,以它们为底把曲顶柱体分为,n,个,2)匀：“常代变,在每个,3)和：“近似和,那么,中任取一点,小曲顶柱体,4)精：“取极限,令,4/37,D62,二重积分计算,设曲顶柱体的底为,任取,用平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,X,型区域,同样,曲顶柱的底为,那么其体积可按如下两次积分计算,6/37,Y,型区域,D62,二重积分计算,且在,D,上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,假设D为 X 型区域,那么,假设D为Y 型区域,那么,D62,二重积分计算,均非负,在,D,上,变号,时,因此上面讨论的累次积分法二次积分仍然有效 .,由于,8/37,D62,二重积分计算,为计算方便,可,选择积分序,必要时还可以,交换积分序,.,那么有,(2) 假设积分域较复杂,可将它分成假设干,X,-,型域或,Y,-,型域,那么,D62,二重积分计算,其中,D,是直线,y,1, x,2,及,y,x,所围的闭区域,.,解法1. 将D看作X型区域, 那么,解法2. 将D看作Y型区域, 那么,10/37,D62,二重积分计算,其中,D,是抛物线,所围成的闭区域,.,解,:,为计算简便,先对,x,后对,y,积分,及直线,那么,D62,二重积分计算,其中,D,是直线,所围成的闭区域,.,解,:,由被积函数可知,因此取,D,为,X,型域,:,先对,x,积分不行,说明,:,有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序,.,12/37,D62,二重积分计算,解: 积分域由两局部组成:,视为Y型区域 , 那么,D62,二重积分计算,其中,D,由,所围成,.,解,:,令,(,如图所示,),显然,14/37,D62,二重积分计算,解,:,设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限局部,其曲顶柱体的顶为,那么所求体积为,对应有,在极坐标系下,用同心圆,=,常数,那么除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线,=,常数,分划区域,D,为,16/37,四、极坐标系下二重积分的计算,即,D62,二重积分计算,那么,特别,对,18/37,假设 f 1 那么可求得D 的面积,思考: 以下各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答,:,问,的变化范围是什么,?,(1),(2),D62,二重积分计算,其中,解,:,在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故此题无法用直角,由于,故,坐标计算,.,20/37,D62,二重积分计算,利用例,6,可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当,D,为,R,2,时,利用例,6,的结果,得,故式成立,.,D62,二重积分计算,被圆柱面,所截得的,(,含在柱面内的,),立体的体积,.,解,:,设,由对称性可知,22/37,定积分换元法,D62,二重积分计算,满足,一阶导数连续,;,雅可比行列式,(3),变换,那么,定理,:,变换,:,是一一对应的,D62,二重积分计算,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换,T,在,xoy,面上得到一个四边,形,其对应顶点为,那么,24/37,同理得,当,h,k,充分小时,曲边四边形,M,1,M,2,M,3,M,4,近似于平行四,边形,故其面积近似为,D62,二重积分计算,从而得二重积分的换元公式,:,例如,直角坐标转化为极坐标时,26/37,D62,二重积分计算,其中,D,是,x,轴,y,轴和直线,所围成的闭域,.,解,:,令,那么,D62,二重积分计算,所围成的闭区域,D,的面积,S,.,解,:,令,那么,28/37,D62,二重积分计算,解,:,由对称性,令,那么D 的原象为,的体积,V,.,D62,二重积分计算,D 位于 x 轴上方的局部为D1 ,当区域关于,y,轴对称,函数关于变量,x,有奇偶性时,仍,在,D,上,在闭区域上连续,域,D,关于,x,轴对称,那么,那么,有类似结果,.,在第一象限局部, 那么有,30/37,D62,二重积分计算,(1),二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形,:,假设积分区域为,那么,假设积分区域为,那么,那么,(2),一般换元公式,且,那么,D62,二重积分计算,在变换,下,32/37,D62,二重积分计算,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易别离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(,先积一条线,后扫积分域,),充分利用对称性见习题6.2(A)2.),应用换元公式,D62,二重积分计算,1.,设,且,求,提示,:,交换积分顺序后,x,y,互换,34/37,D62,二重积分计算,提示,:,积分域如图,D62,二重积分计算,在第一象限局部.,解,:,(1),两局部, 那么,其中,D,为圆域,把与,D,分成,作辅助线,D62,二重积分计算,两局部,说明: 假设不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将,D,分成,解：,原式,D62,二重积分计算,1.,给定,改变积分的次序,.,36/37,D62,二重积分计算,其中,D,为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域,.,D62,二重积分计算,其中,D,为圆周,所围成的闭区域,.,提示,:,利用极坐标,原式,D62,二重积分计算,其中,:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,解,:,(1),利用对称性,.,围成,.,D62,二重积分计算,将,D,分为,添加辅助线,利用对称性,得,谢谢大家！,结 语,