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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,高考数学冲刺讲义 (必修一),一线数学特级教师倾情奉献！,专题纲目,知识体系,例3,(必修1) 第二章 基本初等函数(),第5讲,指数、指数函数与幂函数,理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象.,1.,(,1),化简:(2 ),0,+2,-2,(2 ) -(0.01),0.5,=,.,(2),=,.,3,3,3,= = = .,(1),(2 ),0,+2,-2,(2 ) -(0.01),0.5,=1+ ( ) -( ),=1+ - = .,(2),=,3,3,3,3,3,(-,-2),2,函数,f,(,x,)=,a,-2,x,的图象经过原点，则不等式,f,(,x,) 的解集是,.,由,f,(,x,)的图象经过原点知,a,=1，,所以,f,(,x,)=1-2,x, 2,x, ,x,y,2,y,1,B.,y,2,y,1,y,3,C.,y,1,y,2,y,3,D.,y,1,y,3,y,2,D,幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的单调性，不同底先化成同底.,y,1,=4,0.9,=2,1.8,y,2,=8,0.48,=2,1.44,y,3,=( ),-1.5,=2,1.5,.,又因为,y,=2,x,在R上是单调增函数，1.81.51.44, 所以,y,1,y,3,y,2,.,函数,f,(,x,)要在R上是增函数,2-,a,0,a,1,a,2-,a,+1,(2-,a,),x,+1(,x,1),a,x,(,x,1),且,f,(,x,)是R上的增函数,A,A. ,2) B.(1, ) C.(1,2) D.(1,+),a,1且,n,N,*），当,n,为奇数时，正数的,n,次方根是一个,负数的,n,次方根是一个,.这时,a,的,n,次方根记为,;当,n,为偶数时，正数,a,的,n,次方根有两个，可用符号,表示，其中 叫做,这里的,n,叫做,a,叫做,.,n,n,次方根,正数,负数,n,根式,根指数,被开方数,n,(2)当,n,为奇数时， =,a,;,当,n,为偶数时, =,=,2.分数指数幂,(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是: =,(,a,0,m,、,n,N,*,n,1).,(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿；我们规,定 =,(,a,0,m,n,N,*,n,1).,(3)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.,n,|a|,n,11,a,(,a,0) -a (a0,r,、,s,Q,);,(2)(,a,r,),s,=,(a0,r,、,s,Q,);,(3)(,ab,),r,=,(,a,0,b,0,r,Q,).,4.指数函数及性质,(1)一般的,函数,(a0,且a)叫做指数函数,其中,x,是,函数的定义域是,.,12,13,14,a,r,+,s,a,rs,a,r,b,r,15,16,17,y=a,x,自变量,R,Ctrl+Alt+M=菜单栏；Ctrl+Alt+T=工具栏；Ctrl+Alt+S=滚动条；Ctrl+Alt+H=窗口；Ctrl+Alt+B=背景,（）指数函数,y,=,a,x,的图象与性质如下表：,a,1,0,a,0,5.幂函数的定义,一般的说，型如,的函数叫幂函数,其中x是自变量，是常数.对于幂函数，我们只讨论=1,2,3, ,-1时的情形.,性质,过定点(0,1),当,x,0时,;,当,x,0时,;,当,x,1,0,y,1,0,y,1,22,23,增函数,减函数,24,y,=,x,Ctrl+Alt+M=菜单栏；Ctrl+Alt+T=工具栏；Ctrl+Alt+S=滚动条；Ctrl+Alt+H=窗口；Ctrl+Alt+B=背景,6.幂函数的性质,所有的幂函数在(0,+)上都有定义，且图象都过(1,1)点.当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数.,一般的,当0时,幂函数,y,=,x,有下列性质：,(1)图象都通过点,;,(2)在第一象限内,函数值,;,(3)在第一象限内，当1时，图象是向下凸的;当01时,图象是向上凸的；,25,26,(0,0),(1,1),随,x,的增大而增大,(4)在第一象限内，过点(1，1)后，图象向右上方无限伸展.,当0),( ),x,(,x,0),所以函数y=( ),-|,x,|,在(-,0上是减函数，在0,+)上是增函数.(此题可借助图象思考),且,y,=( ),-|,x,|,=,合函数的值域可采用换元法，结合中间变量的范围求函数的值域；复合函数,y,=,f,(,x,)的单调性要根据,y,=,a,u,u,=,f,(,x,)两函数在相应区间上的单调性确定，遵循“同增异减”的规律.,题型二,幂函数的性质,例2,已 知幂函数,f,(,x,)=,x,m,2,-,m,-2,(,m,Z)是偶函数，且在(0,+)上是减函数,求函数,f,(,x,)的解析式,并讨论,g,(,x,)=,a,- (,x,(,a,、,b,R)的奇偶性.,利用幂函数的定义和性质求解析式，根据奇偶性的定义判断奇偶性.,由题意可知,m,2,-,m,-2是偶数,且,m,2,-,m,-20,即-1,m,0,且,a,1)的图象有两个公共点，则,a,；,a|0,a,1时，作图知无解；,当0,a,1时,作图知02,a,1,0,a,0且,a,，研究几个指数函数尽量化为同底.,3.,指数函数的性质主要是单调性,比较大小是单调性的一个重要应用，比较时注意底数与的大小分类讨论.,(1)若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性来比较；,(2)若底数、指数均不相同，则可引入中间量或画图象来比较.,4.,利用指数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的相应问题是常考题型,应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想的灵活运用.,课后再做好复习巩固.,谢谢！,再见！,第6讲,对数与对数函数,(必修1) 第二章 基本初等函数(),理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数的概念；理解对数函数的性质，会画指数函数的图象；了解指数函数与对数函数互为反函数.,1.,log,2,sin +log,2,cos 的值为( ),D,A.-4 B.4 C.2 D.-2,2.,函数,f,(,x,)=log,a,x,(,a,0,a,1),若f(,x,1,)-f(,x,2,)=1,则,f,(,x,1,2,)-f(,x,2,2,)等于( ),A,A.2 B.1 C.12 D.log,a,2,由,f,(,x,)=log,a,x,知f(,x,1,2,)-f(,x,2,2,)=2,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)=,2,.,3.,函数,y,=log (,x,2,-2,x,)的定义域是,单调递减区间,是,.,(2,+),(-,0)(2,+),4.,函数,f,(,x,)=,a,x,+log,a,(,x,+1)在0,1上的最大,值和最小值之和为,a,则,a,的值是,.,由已知得,a,0,+log,a,1+,a,1,+log,a,2=,a,log,a,2=-1,a,=,.,5.,已知,f,(,x,)=|log,3,x,|，则下列不等式成立的是( ),C,A.,f,( ),f,(2) B.,f,( ),f,(3),C.,f,( ),f,( ) D.,f,(2),f,(3),作函数,f,(,x,)=|log,3,x,|的图象，可知,f,(,x,)在（0，1）上单调递减，选,C,.,1.对数,(1)一般的，如果,a,x,=,N,(,a,0且,a,)，那么数,x,叫做,，记作,其中,a,叫做对数的,N叫做,.,(2)以10为底的对数叫做,记作,.,(3)以,e,为底的对数叫做,记作,.,以,a,为底,N,的对数,x,=log,a,N,底数,真数,常用对数,lg,N,自然对数,ln,N,(4)负数和零没有对数;log,a,1=,log,a,a,=,.,2.对数的运算性质,(1)如果a0且a,M0,N0,那么,log,a,(,M,N,)=,;,log,a,=,;,log,aM,n,=,.,0,1,11,12,13,log,a,M,+log,a,N,log,a,M,-log,a,N,n,log,a,M,log,a,b,= (,a,0且,a,c,0,且c,b0);,a,log,a,N,=,N,(a0且,a,)；,log,a,n,b,m,= log,a,b,(,a,0且,a,m,、,n,N,*).,3.对数函数,一般的,我们把函数,(,a,0且,a,)叫做对数函数,其中,x,是自变量，函数的定义域为,.,14,y,=log,a,x,(0,+),15,(2)对数的换底公式及恒等式,4.对数函数的图象与性质,a,1,0,a,0,值域,y,|,y,R,性质,当,x,=1时，,y,=0,即过定点(1,0),当,x,1时,;,当0,x,1时,;,当0,x,0,20,21,增函数,减函数,y0,y0,5.反函数,指数函数,y,=,a,x,(,a,0且,a,)与对数函数,y,=log,a,x,(,a,0且,a,)互为,它们的图象关于直线,对称，指数函数,y,=,a,x,(,a,0且,a,)的定义域为,x,|,x,R,，值域为,y,|,y,0,对数函数,y,=log,a,x,(,a,0且,a,)的定义域为,x,|,x,0，值域为,y,|,y,R,.,反函数,22,23,y,=,x,题型一,指数、对数函数的运算问题,例1,指数、对数函数的运算问题,( ),x,(,x,4),f,(,x,+1) (,x,4),则,f,(log,2,3)=,;,(2),设3,a,=4,b,=36,则 + =,.,(1),设函数,f,(,x,)=,1,（1）,因为log,2,30)，若函数,f,(,x,)在10,+)上单调递增，求,k,的取值范围.,题型二,对数函数的性质问题,例2,这是一道含参数的对数结构的复合函数问题，根据函数,f,(,x,)的增减性，分析出真数的范围，转化为对数函数的大小比较问题.,因为函数,f,(,x,)在10,+)上单调递增,所以 0，即,k, .,又,f,(,x,)=lg =lg(k+ ),对任意的,x,1,、,x,2,当10,x,1,x,2,时,有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),即lg(,k,+ )lg(,k,+ ),得 ,即(,k,-1)( - ) ,所以,k,( ),x,+,m,恒成立，求实数,m,的取值范围.,(1),因为,f,(,x,)是奇函数，所以,f,(-,x,)=-,f,(,x,),log =-log, = 0,1-,a,2,x,2,=1-,x,2,a,1.,经检验，,a,=-1（,a,=1舍去）.,（2）,定义法.,任取,x,1,x,2,1，所以,x,1,-1,x,2,-10，,所以0 log ,即,f,(,x,1),f,(,x,2)，所以,f,(,x,)在（1，+)上单调递增.,（3）,对于3,4上的每一个,x,的值，不等式,f,(,x,)( ),x,+,m,恒成立,f,(,x,)-( ),x,m,恒成立.,令,g,(,x,)=,f,(,x,)-( ),x,，,由（2）知，,g,(,x,)在3,4上是单调递增函数，,所以,m,g,(3)=- ,即,m,的取值范围是(-,- ).,1.,比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与0比较或与比较.,2.,把原函数作变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值是指数函数与对数函数的常见题型.,3.,解含对数的函数问题时要首先考虑定义域，去掉对数符号要注意其限制条件，注意在等价转化的原则下化简、求解，对含参数问题注意分类讨论.,课后再做好复习巩固.,谢谢！,再见！,第7讲,函数的图像,(必修1) 第二章 基本初等函数(),掌握基本函数图象的作法描点法和图象变换法；会运用函数图象，理解研究函数的性质；会看图得到相关信息，即学会作图、识图、用图.,1.,函数,y,= (0,a,0),-,ax,(,x,0)(0,a,1,可知A、B图象不正确;对D,由,y,=,x,+,a,知0,a,0)个单位长度得到函数,y,=,f,(,x,a,)的图象;,y,=,f,(,x,)的图象向上(+)或向下(-)平移,k,(,k,0)个单位长度得到函数,y,=,f,(,x,),k,.,(2)对称变换:,y,=,f,(,x,)与,y,=,f,(-,x,)的图象关于,对称：,y,=,f,(,x,)与,y,=-,f,(,x,)的图象关于,对称；,y,=,f,(,x,)与,y,=-,f,(-,x,)的图象关于,对称：,y,=|,f,(,x,)|的图象可将函数,y,=,f,(,x,)的图象在,.,其余部分不变；,y,=,f,(|,x,|)的图象可将函数,y,=,f,(,x,)的图象在,x,0的部分作出,再用,.,作出,x,0)的图象可将函数,y,=,f,(,x,)的图象上所有点,.,的而得到.,y,=,f,(,x,)(0)的图象可将函数,y,=,f,(,x,)的图象上所有点的,.,得到.,(4)函数,y,=,f,(,a,+,x,)与,y,=,f,(,a,-,x,)的图象关于,.,对称,y,=,f,(,a,+,x,)与,y,=(,b,-,x,)的图象关于,.,对称.,14,纵坐标变为原来的,k,倍，横坐标不变,15,横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,15,x,=0,15,x=,题型一,函数图象的变换,例1,作出下列函数的大致图象：,(1),y,=|,x,-2|(,x,+1);,(2),y,= ；,(3),y,=|lg|,x,|.,这几个函数的图象均可由最基本的函数图象经过几种变换得到.,(1),函数的定义域为实数集,R,(,x,- ),2,- (,x,),-(,x,- ),2,+ (,x,2)，,由二次函数的图象经过变换作出其图象,如图甲.,y,=,x,-2(,x,+1)=,(2),函数的定义域为,x,|,x,R,且,x,-，因为函数,y,= = ,因此由,y,= 的图象向左平移一个单位长度，向下平移一个单位长度即可得到函数,y,= 的图象.对分子、分母都是一次的分式函数，它的图,象特点是有一个对称中,心,有两条渐近线,可通,过分离常数的方法求解，,如图乙.,(3),函数的定义域是,x,|,x,0，,x,R，先作,y,=lg,x,关于,y,轴对称的图象，得到,y,=lg(-,x,)，共同组成,y,=lg|,x,|的图象，再将,x,轴下方的图象翻折到,x,轴上方，即得到,y,=|lg|,x,|的图象，如图丙.0,“由式作图”这是高考中常见的一类的问题，解决这类问题主要是将解析式进行化简，然后与一些熟知的函数图象相联系，通过各种图象变换得到要求的函数图象.另外，还要善于借助解析式，发现函数的性质（如单调性、奇偶性、对称性、周期性等），以此帮助分析函数的图象特征.其基本步骤：求出函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质；利用基本函数的图象画出所给函数的图象.,题型二,利用函数图象研究函数性质,例2,（1）,已知定义在区间0,1上的函数,y,=,f,(,x,)的图象如图所示，对于满足0,x,1,x,2,x,2,-,x,1,；,x,2,f,(,x,1,),x,1,f,(,x,2,)；,f,( ).,其中正确的结论的序号是,., ,(2),函数,f,(,x,)=,ax,3,+,bx,2,+,cx,+,d,的图象如图所示,则( ),A.,b,(-,0),B.,b,(0,1),C.,b,(1,2),D.,b,(2,+),A,本题属于识图问题，通过对给出的函数图象的分析、判断，抽象出函数所具有的一些性质、满足的条件等.,(1),由图象给出信息得,f,(,x,)在0,1上单调递增，故正确；,由函数图象在每一点处的切线的倾斜角都是递减的,知 0，所以,b,0.,(2),已知直线,y,=,x,+,m,与函数,y,= 的图象有两个不同的交点，则实数,m,的取值范围是,.,题型三,图象法的综合应用,例3,(1),已知,f,(,x,)是定义域为(-，0)(0,+)的奇函数,在区间(0,+)上单调递增,f,(,x,)的,图象如右图所示,若,x,f,(,x,)-,f,(-,x,)0,则,x,的取值范围是,.,(-3,0)(0,3),1,m,（1）,因为,f,(,x,)为奇函数，所以,x,f,(,x,)-,f,(-,x,)=2,x,f,(,x,)0.又,f,(,x,)在定义域上的图象如题图,所以取值范围为,（-3,0）（0,3）,.,（2）,因为函数,y,=1-,x,2,的图,象如下图所示，由图可知,.,1,m,函数的图象的应用，主要体现在讨论方程的解的个数问题、求不等式的解集、不等式的恒成立等，注重数、形之间的转化.,1.,作函数图象的常用方法有描点法和变换法,对前者,要注意对函数性质的研究;对后者，要熟悉常见的函数图象及图象的变换法则.,2.,“识图”问题,能根据给定的函数图象观察函数的有关性质,如奇偶性、单调性、周期性、最值或极值等.,3.,“用图”问题，由于函数的图象提供了形的直观性，因而为灵活利用图象处理有关不等式、方程的解的个数、求参数范围等问题提供了有力的工具.,课后再做好复习巩固.,谢谢！,再见！,
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