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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,第十一章,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的根本性质,三、级数收敛的必要条件,*四、柯西审敛原理,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,第一节,第十一章,一、常数项级数的概念,引例1.,用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积,A,.,设,a,0,表示,即,内接正三角形面积,a,k,表示边数,增加时增加的面积,那么圆内接正,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,引例2.,小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减,少一半, 问小球是否会在某时刻停顿运动 说明道理.,由自由落体运动方程,知,那么小球运动的时间为,( s ),设,t,k,表示第,k,次小球落地的时间,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,定义,：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为,无穷级数,，,其中第,n,项,叫做级数的,一般项,级数的前,n,项和,称为级数的局部和.,次相加, 简记为,收敛,那么称无穷级数,并称,S,为级数的,和,记作,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,当级数收敛时, 称差值,为级数的,余项,.,那么称无穷级数发散 .,显然,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例1.,讨论等比级数,(又称几何级数),(,q,称为公比 ) 的敛散性.,解: 1) 假设,从而,因此级数收敛 ,从而,那么局部和,因此级数发散 .,其和为,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,2). 假设,因此级数发散 ;,因此,n,为奇数,n,为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,那么,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例2. 判别以下级数的敛散性:,解:,(1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消 求和,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,(2),所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .,技巧:,利用 “拆项相消 求和,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例3.,判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数收敛 , 其和为,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,二、无穷级数的根本性质,性质1. 假设级数,收敛于,S,那么各项,乘以常数,c,所得级数,也收敛 ,证:,令,那么,这说明,收敛 , 其和为,c S .,说明,:,级数各项乘以,非零常数,后其敛散性不变 .,即,其和为,c S .,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,性质2.,设有两个收敛级数,那么级数,也收敛, 其和为,证:,令,那么,这说明级数,也收敛, 其和为,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,说明:,(2) 假设两级数中一个收敛一个发散 , 那么,必发散 .,但假设二级数都发散 ,不一定发散.,例如,(1) 性质2 说明收敛级数可逐项相加或减 .,(用反证法可证),机动 目录 上页 下页 返回 完毕,性质3.,在级数前面加上或去掉,有限项, 不会影响级数,的敛散性.,证:,将级数,的前,k,项去掉,的局部和为,数敛散性一样.,当级数收敛时, 其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况 .,极限状况一样,故新旧两级,所得新级数,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证:,设收敛级数,假设按某一规律加括弧,那么新级数的局部和序列,为原级数局部和,序列,的一个子序列,推论: 假设加括弧后的级数发散, 那么原级数必发散.,注意:,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,因此必有,例如,，,用反证法可证,例如,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例4.,判断级数的敛散性:,解:,考虑加括号后的级数,发散 ,从而原级数发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,三、级数收敛的必要条件,设收敛级数,那么必有,证:,可见: 假设级数的一般项不趋于0 , 那么级数必发散 .,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散 .,事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 那么,但,矛盾,!,所以假设不真 .,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例5. 判断以下级数的敛散性, 假设收敛求其和:,解,:,(1) 令,那么,故,从而,这说明级数(1) 发散.,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,因,进展拆项相消,这说明原级数收敛 ,其和为,(2),机动 目录 上页 下页 返回 完毕,这说明原级数收敛, 其和为 3 .,(3),机动 目录 上页 下页 返回 完毕,的充要条件是:,*四、柯西审敛原理,定理.,有,证:,设所给级数局部和数列为,因为,所以, 利用数列,的柯西审敛原理,(第一章,第六节),即得本定理的结论 .,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例6.,解:,有,利用柯西审敛原理判别级数,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,当,n,N,时,都有,由柯西审敛原理可知, 级数,作业,P192 1,(1), (3) ；,2,(2), (3), (4)；,3,(2)；,4,(1), (3), (5);,*,5,(3), (4),第二节 目录 上页 下页 返回 完毕,
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