七年级下册第一章整式的乘除

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 整式的乘除,七年级下册,知识点记忆口诀,八个公式幂六乘二,五个法那么三乘两除,一种计数科学计数法表示较小的数,一个活用公式正用逆用,五种思想整体的思想；数形结合的思,想；化归的思想；类比、推,理、归纳的思想；方程的思想,一座桥梁数与代数的桥梁：字母表示数),第一单元：同底数幂的乘法,同底数幂的乘法法那么,复习：,整式；单项式和多项式统称为整式。,整式的加减；一去二合。,幂的运算：an=n个a相乘。底数a；指数n；幂an,法那么：,同底数幂的乘法：底数一样的两个幂相乘。,同底数幂相乘，底数不变，指数相加,aman=am+n(m、n是正整数。,公式中的字母：可数、可字母、可整式。,与整式加法之间的关系。如2a与a2的区别。,文,符,【法那么推导】,am an等于什么m,n都是正整数)为什么？,a,m, a,n,=(aa,a)(aa,a),m个a,n个a,=a,a,a,m+n个a,=a,m+n,a,m, a,n,=a,m+n,(m,n,都是正整数）,同底数幂相乘,底数,，,指数,.,不变,相加,？=,【例1】计算,：,(-3),7,(-3),6,;,(2) ( ),3,( );,(3) -x,3,x,5,; (4) b,2m,b,2m+1,.,解：,(1) (-3),7,(-3),6,=(-3),7+6,=(-3),13,(2) ( ),3,( )=( ),3+1,=( ),4,(3)-x,3, x,5,= -x,3+5,= -x,8,(4) b,2m, b,2m+1,= b,2m+2m+1,= b,4m+1,【练习1】计算：,a+b-c4a+b-c5,(a-b)2(b-a)3,注意：隐性同底同底！,【练习2】判断正确的打“，错误的打“,x,3,x,5,=x,15,(,) (2) x,x,3,=x,3,( ),(3) x,3,+x,5,=x,8,(,) (3)x,2,x,2,=2x,4,( ),(5)(-x),2,(-x),3,= (-x),5,= -x,5,( ),(6)a,3,a,2,- a,2,a,3,= 0 ( ),(7)a,3,b,5,=(ab),8,( ) (8) y,7,+y,7,=y,14,( ),同底数幂法那么的推广和逆用,推广：aman-ap=am+n+-+pm、p、n为正整数,隐性同底的转化：b-a2=a-b2偶次； b-a3=-a-b3奇次底数变相反数，结果：奇变偶不变。,逆用：am+n=amanm、n是正整数,逆用公式是灵活性：你想要什么？你希望出现什么？a5=a4+a=a3+a2-,关键词：同底；不变；相加！,【例2】计算,计算x2(-x)3(-x)4 xnxn+1xn-1x,(x-2y)2(x-2y)n-1(x-2y)n+2,(x-y)2(y-x)3(y-x)2(x-y)3,：2m=3；2n=4，求2m+n的值。,：a3ama2m+1=a25求m的值。,：2a=2 2b=6 2c=12探究a、b、c之间的关系。,课堂小结,a,m, a,n,=a,m+n,(m,n,都是正整数）,同底数幂的乘法性质：,底数,，指数,.,不变,相加,幂的意义,:,a,n,= a,a,a,n个a,【典例1】一种特殊的解题技巧。,求1+2+22+23+-+22021可以这样做：,令S= 1+2+22+23+-+22021 两边同乘2得：,2S= 2+22+23+24+-+22021+22021,因此：2S-S=22021 -1,仿照以上推理，计算：,1+5+52+53+-+52021= 。,【典例2】,光的速度约为,3,10,5,千米,/秒，太阳光照射到地球大约需要5,10,2,秒,.地球距离太阳大约有多远？,解：,3,10,5,5,10,2,=15,10,7,=1,.,5,10,8,(千米),地球距离太阳大约有,1,.,5,10,8,千米,.,飞行这么远的距离，一架喷气式客机大约要,20年呢！,第二单元：幂的乘方与积的乘方,幂的乘方,意义：底数是幂。也就是几个一样的幂相乘。,法那么,幂的乘方，底数不变，指数相乘。,(am)n = amn (m、n为正整数),法那么的推广：(am)np=amnp (m、n、p是正整数),法那么的逆用：amn = (am)n = (an)m (m、n为正整数).,补充公式：假设am=an那么m=n (a0、a1),文,符,【,例,1,】,计算：,(1) (10,2,),3,; (2) (b,5,),5,; (3) (a,n,),3,;,(4),-,(x,2,),m,; (5) (y,2,),3, y,; (6) 2(a,2,),6,(a,3,),4,.,(6),2(a,2,),6, (a,3,),4,=10,2,3,=10,6,;,(1),(10,2,),3,解：,(2),(b,5,),5,= b,5,5,= b,25,;,(3),(a,n,),3,= a,n,3,=a,3n,;,(4),-,(x,2,),m,=,-,x,2,m,=,-,x,2m,;,(5),(y,2,),3, y,= y,2,3, y,= y,6, y,=2a,2,6,-,a,3,4,=2a,12,-,a,12,=a,12,.,= y,7,;,【练习1】计算,【练习2】,：(9m)2=316，求m的值。,：28n16n=222，求n的值。,回顾,&,思考,幂的意义,:,a,a,a,n,个,a,a,n,=,同底数幂的乘法运算法则：,a,m, a,n,=,a,m,+,n,m,n都是正整数,幂的乘方运算法则:,(,a,m,),n,=,(,m、n,都是正整数,),a,mn,积的乘方,意义：底数是乘积的形式的乘方幂的底数是乘积。,法那么,积的乘方，等于分别把每个因式乘方，再把所得的幂相乘。,(ab) n=anbn (n是正整数),括号中的每个因式、系数含符号，都要乘方。,法那么的推广：(abc)n=anbncn (n是正整数),法那么的逆用：anbn = (ab) n (n是正整数),特别注意理解：因式的含义。,文,符,的证明,(,ab,),n,=,ab,ab,ab,( ),=(,a,a,a,) (,b,b,b,),( ),=,a,n,b,n,( ),幂的意义,乘法交换律、结合律,幂的意义,n,个,ab,n,个,a,n,个,b,(,ab,),n,=,a,n,b,n,【例2】计算,(2a3b4)2,(-xm+1)3,(a-b)2n,480.258,212()10,(-4)2021(0.25)2021,1,2,幂的三种运算法那么的异同和混算,都属于“幂的运算。,底数不变，都是对指数进展运算。,每个法那么既可正用又可逆用，逆用时要灵活变化。,指数：相加；相乘；每个因式分别乘方。法那么的条件一定要清楚：切记：(a+b)2a2+b2,混合运算：一定顺序二开算，步步回头不出错。,注意不与合并同类项混淆。a+a与aa,【例3】计算,(-a,2,),2,(-a,3,),2,(-a,4,b,3,),3,(-a,2,b,3,),2,(-a,2,b,3,),5,(x+y),2,3,(x+y),3,4,(-2x,4,),4,+x,10,(-x,2,),3,+x,4,(x,4,),3,小结：,幂、幂的乘方与积的乘法意义法那么要记清,混合运算不要混,公式逆用要灵活,典例,【典例1】(ambabn)5=a10b15，,求3m(n2+1)的值。,【典例2】比较3100与475的大小。,指数都变成,25！,【典例3】假设2x+5y-3=0,求4x32y的值.,【典例4】计算：,(-x),2,x(-xy),3,+(xy),2,(-x),4,y,【典例5】假设Ia-b+2I+(a-1)2=0,那么(-2a)2 b的值为 ,【典例6】假设a=355,b=444,c=533,那么有( ),abc,cba,abc,acb,第三单元：同底数幂的除法,同底数幂的除法,意义：底数一样的两个幂相除。,法那么：,同底数幂相除，底数不变，指数相减。,aman=am-n(a0，m、n都是正整数，mn),法那么推广：aman ap=am-n-p(a0，m、n都是正整数，mn+p),法那么的逆用：am-n=aman (a0，m、n都是正整数，mn),注意关键词：同底；相减；确保指数是正数。,文,图,上述法那么的推广：,m-n个,n个,n个,m-n个,=a,m-n,也可用乘法的逆运算推广：因为 a,m-n,a,n,=a,m,所以,a,m,a,n,=a,m-n,【例1】做一做,计算：, (-a)6(-a)3, (-2abc)7(-2abc)5, (-x)7(-x3)(-x)2,：am=4，an=8，求a3m-2n的值。,隐性同底变对法则逆用灵活！,巩固练习,1.计算：,2.填空：,1 =,2 =,3 =,4 =,零指数幂和负整数指数幂的意义,零指数幂：,任何非零的数的零次幂都等于1.,a0=1 (a0),负整数指数幂,任何非零数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数,的 p次幂的倒数。,a-p= (a0，p是正整数),注意：隐性条件“底数不等于0的考察。,负整数指数幂中的符号：倒数的作用！,正整数指数幂的运算可以推广到整数指数。,两个法那么也可以逆用： 1=a0 = a-p条件不变,a,p,1,1,a,p,文,文,符,符,附：关于负整数指数幂的计算技巧,口诀：底数倒一倒 指数变个号,【例2】做一做,计算：,10410-2100,用分数或小数表示以下各数：,10-2 510010-4 -2.6410-5,(- ) -2,5,3,【练习】,口诀：底数倒一倒 指数变个号,用科学记数法表示绝对值较小的数,意义：一般地，一个小于1的正数，可以表示为a10n的形式，其中1a10,n为负整数。,方法：一移二数三写。移：移动原数的小数点使其变为大于等于1而小于10的数a数：小数点移动的位数就是n的绝对值写：原数=a10n,注意：与“用科学记数法表示较大的数类比理解记忆，形成统一而完整的知识体系科学记数法。,用科学记数法表示以下各数:,1) 0.00003,2) -0.0000064,3) 0.0000314,20210000000,-98000000000000,【例3】,引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立。科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于,10,的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意,a,必须满足，,1,a,10.,其中,n,是正整数,课堂小结：,回顾,幂的四个运算法那么：,1.同底数幂相乘：指数相加。,2.幂的乘方：指数相乘。,3.积的乘方：,4.同底数幂相除：指数相减。,幂的运算4+2法那么,幂是运算：4个法那么,零指数、负整数指数,幂的运算性质2个,3.幂的运算法那么在整数范围内成立,4.一个运算方法：,口诀：底数倒一倒 指数变个号,【典例1】计算,(x-y),7,(y-x),6,+(-x-y),3,(x+y),2,(a,3,),3,(-a,4,),3,(a,2,),3,(a,3,),2,【典例2】：5x-3y-2=0求：1010x106y,的值。,【典例3】：3m=6,3n=5,3k+2m-3n的值为,，求k的值。,324,125,【典例4】如果(x-7),x,=1,试探究x可能的取值。,0,8,6,幂,的,运,算,法那么,性质,同底数幂的乘法,同底数幂的除法,积的乘方,商的乘方,幂的乘方,零指数幂,负整数指数幂三种算法,第四单元：整式的乘法,单项式与单项式相乘,整式乘法：单单；单多；多多。,乘法的交换律与结合律。,单单=系数同底光棍,书写标准：数在前；一个字母因式出现一次；字母因式按照字母顺序排列。,比照：加减：同类项才可以加；乘法：同底数的幂才可以相乘。,【例1】 计算,【练习1】 计算,【练习2】 计算：,单项式与多项式相乘,复习：乘法对加法减法的分配律,单项式乘多项式,用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积,相加。,m(a+b+c)=ma+mb+mc,做到：不漏乘；不错号；结果简。,简记：“一人与多名客人分别握手。,符,文,【例2】 计算,(1),2ab(5ab,2,+3a,2,b),(2),(,2,-2ab),(3)(-12xy,2,-10x,2,y+21y,3,)(-6xy,3,),【练习1】,计算,：,多项式乘多项式,必备知识：整体的思想；乘法的分配律。,法那么：,先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的,每一项，再把所得的积相加。,(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,积的项数：两个多项式的项数分别是m，n那么它们的积的项数为mn(合并同类项前。,多人与多名客人分别握手。,结果要最简：能合并同类项的要合并同类项。结果书写要标准。,文,符,【例3】计算：,(1),(2a,3b)(a+5b) ;,(2),(xy,z,)(2xy+,z,) ;,(3),(x,1)(x,2,+x+1) ;,(4),(2a+b),2,;,(5),(3a,2)(a1)(a+1)(a+2),;,(6),(x+y)(2x,y)(3x+2y).,总结：,整式乘法分哪几类？计算法那么分别是什么？,典例,【典例1】先化简，再求值：),(a+b)(a-b)+a(2b-a),其中：a=1.5 b=2,【典例2】假设(px+q)(-2x-3)的乘积中不含x2的项，且一次项系数为2，求p,q的值。,【典例3】 计算, (a+b),2,-(a+b)(a-b)-(a-b),2,(3+x)(2x-3)-(6x-7)(x-4) 其中：x=2,【典例4】假设(x-4)(x+8)=x2+mx+n,求mn的值,第五单元：平方差公式,平方差公式,两数和与两数差的积，等于这两数的平方差,(a+b)(a-b)=a2-b2,特征：左：一同一反；右：同2-反2,本质：“前前得前 后后得后 穿插相消。,公式中的字母：可数、可字母、可整式。,抓住公式特征：两两相乘，一同一反，能用那么用，不能用勿勉强。,公式的逆用： a2-b2 = (a+b)(a-b),理解：四项是怎么变成两项的。,文,符,【例】计算,：,1、(5m+2n)(5m-2n)=,(5m),2,-(2n),2,= 25m,2,-4n,2,(a + b)( a - b )= a,2,- b,2,2. (1)(-4a-1)(-4a+1),(2) (x+y)+z(x+y)-z,(3)(-2a,2,+7)(-2a,2,-7),【练习】,(1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y),(2)(3m-4n)(4n+3m)-(2m-3n)(2m+3n),思考题,(x-y)(x+y)(x,2,+y,2,)(x,4,+y,4,)(x,8,+y,8),(x,16,+y,16,),【典例1】假设x+y=3,x2-y2=12,求x-y的值。,【典例2】计算,409502,2019,1,7,7,6,【典例3】解方程,(3x+4)(3x-4)=9(x-2)(x+3),【典例4】,2,96,-1能被60至70之间的两个数整除，这两个数是多少？,第六单元：完全平方公式,完全平方公式,和的平方与平方和的区别。,两项和的平方，等于这两项平方的和，加,上这两项积的,2,倍。,(a+b),2,=a,2,+b,2,+2ab=a,2,+2ab+b,2,(a- b),2,=a,2,+b,2,- 2ab=a,2,- 2ab+b,2,首平方、尾平方，,2,倍首尾放中央。,公式中的字母：可数可字母可整式。,公式的逆用：,a,2,+2ab+b,2,=(a+b),2,a,2,- 2ab+b,2,=(a-b),2,X,2,+y,2,=(x+y),2,-2xy=(x-y),2,+2xy,特别点拨,(a+b),2,- 4ab = (a-b),2,(a -b),2,+4ab = (a+b),2,【例题】,利用完全平方公式计算：,(1),(2,x,3),2,； (2),(4,x,+,5,y,),2,; (3) (,mn,a,),2,(4) (-x+3y),2,统一看作“两项”的平方！,【练习】,(1) (,x, 2,y,),2,； (2) (,2,xy,+,x,),2,;,1,、,计算：,(3),(,n,+,1,),2,n,2,.,2、指出以下各式中的错误，并加以改正：,(1) (2a1)22a22a+1; (2) (2a+1)24a2 +1；,(3) (a1)2a22a1.,【典例1】,：a+b=-5,ab=-6,求：a2+b2及(a-b)2的值.,：a=3,b= ，求(a+b)(a-b)+(a+b)2-2a2的值。,3,1,【典例2】,如果：,4x,2,+mxy+9y,2,是一个完全平方式，求,m的值。,mxy=2(2x)(3y)所以m=12或 m=-12,【典例3】用简便方法计算：,992 30 2,3,1,【典例4】,：x2+y2-6x+4y+13=0,求x+2y的值。,求：x2+y2-6x+4y+17的最小值.x=;y=),计算：(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2,：(m-n)2=8,(m+n)2=2,那么m2+n2=( ),25x2+20xy+( )=( )2,x+ =4,求：x2+ ； x- 2,1,x,1,x,2,x,1,(x）,2,=x,2,2+ ,1,x,1,x,2,第七单元：整式的除法,回顾,&,思考,a 0,1、,用字母表示幂的运算性质：,(3),=,;,(5),=,;,(4),=,.,;,(6),=,.,.,(1),=,;,(2),=,;,1,2、,计算：,(1),a,20,a,10,；,(2),a,2,n,a,n,；,(3) (,c,),4,(,c,),2,；,(5),(,a,2,),3,(,-,a,3,),(,a,3,),5,；,(6),(,x,4,),6,(,x,6,),2,(,-,x,4,),2,。,=,a,10,=,a,n,=,c,2,=,a,9,a,15,=,a,6,=,=,x,24,x,12,x,8,=,x,24,12,+,8,=,x,20,.,单项式除以单项式,法那么：单单=系数同底光棍只在被除式里出现。为什么有这样的规定？确保商式仍是整式！学习分式的伏笔与悬念,迟到的定义：整式的乘除：几个整式乘除，其结果仍然是整式。,再次强调：注意符号。计算时：一定号，二定值；做完后：一查号，二查值。,完整法那么：单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数一起作为商的因式。,【例1】计算：,底数不变，,指数相减,.,保存在商里,作为因式.,理解,商式系数,同底数幂,被除式里单独有的幂,课堂练习：计算,(1) (10ab,3,),(5b,2,),(2) 3a,3,(6a,6,),(-2a,4,),(3) (3a,5,b,3,c),(-12a,2,b),1.计算：,(2)3,a,3,(6,a,6,),；,(1)(10,ab,3,)(5,b,2,),；,(3)(,12,s,4,t,6,) (2,s,2,t,3,),2,.,2.以下计算错在哪里？应怎样改正？,课堂练习,计算,1 2a6bab,2 1/48xy1/16xy,3 3mnmn,4 2xy6xy,随堂检测,随堂检测续,计算,(5)-2rs4rs,(6)5xy25x4y5,(7)x+yx+y,(8)7a5bc514abc,怎样寻找多项式除以单项式的法那么？,(,ad+bd,),d,=,逆用同分母的,加法、约分：,重点推荐的解法,(,ad+bd,),d,=,(,ad,),d,+,(,bd,),d,。,省略中间过程,=,上述过程简写为：,(,ad,+,bd,),d,=,(,ad,),d,+,(,bd,),d。,计算以下各题：,2(a2b+3ab)a = _,3(xy32xy)(xy) = _,a,b,+,3,b,y,2,2,多项式除以单项式,先把多项式的每一项分别除以单项式，再,把所得的商相加。,(a+b+c)m=am+bm+cm,商式除式=被除式；被除式商式=除式,了解：多项式多项式 ；单项式多项式。结果为“分式，目前无法解决，初二学习“分式时专门解决。,文,符,推导提示：(a+b+c)m=(a+b+c) =？,【例,3】,计算：,阅读,思考,哪一个等号在用法则？,在计算单项式除以单项式时，要注意什么？,先定商的符号；,注意把除式添括号,;,整式的混合运算和综合运用,顺序：括号乘方、开方乘除法加减法,一定顺序二开算，增减括号要标准；符号处理要细心，步步回头信心增；条件结论不能错，法那么运用须精准；最后千万不大意，结果最简不能忘。,计算分级：加法、减法为一级运算；乘法、除法为二级运算；乘方、开方为三级运算。,【例3】,一,:计算,二,:解答题,考点梳理,合并同类项,中考演练,【练一】选择,【练二】选择,【练三】填空,【练四】直接写结果,【练五】熟能生巧,【练五】细心做一做,【练七】做一做,【练八】填空,【练九】,【练十】,【练十一】快速做答,完毕寄语,悟,性,取决于有无悟,心,下课了,!,再 见,