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2018/11/23 Friday,#,总纲目录,河北考情探究基础知识梳理中考题型突破易混易错突破随堂巩固检测,栏目索引,课题32圆的有关概念,根底知识梳理,考点一 圆的基本概念,考点二 垂径定理及推论,考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,考点四 确定圆的条件,考点五 圆周角定理及其推论,中考题型突破,题型一 考查圆的基本概念,题型二 考查垂径定理,题型三 考查圆周角定理,易错一 盲目套用弦与弧之间的关系,易错二 忽略圆的轴对称性而丢解,易错三 忽略圆的轴对称性而丢解,易混易错突破,考点,年份,题号,分值,考查方式,1.圆周角,2018,25,10,以解答题的形式,在有关圆的综合性题,目中,考查圆心角的知识,2016,25,10,以解答题的形式,在有关圆的综合性题,目中,考查圆周角,2.三角形的外接圆,2018,23,9,以解答题的形式,与全等三角形等知识,相结合,考查三角形外心的知识,2017,23,9,以解答题的形式,以圆的切线、扇形等,知识为载体,考查三角形外心的知识,2016,9,3,以选择题的形式,考查三角形的外接圆,备考策略:圆周角定理与三角形外接圆的知识,是圆的两个重要内容,贯穿于圆的知识的始终,一直是我省中考的热点内容,在中考中,或以选择题、填空题的形式单独考查,或与圆的位置关系、相似三角,形、勾股定理等知识相结合,以综合题的形式考查.预计今后我省中考对本部分内容的考查不会有太大的变化.,河北考情探究,考点一圆的根本概念,基础知识梳理,1.圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点叫做圆心,定长叫做半径.其中,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.圆心一样的圆叫做同心圆,半径相等的圆叫做等圆.,2.圆的有关概念:(1)弦:连接圆上任意两点的线段;(2)直径:经过圆心的弦;(3)弧:圆上任意两点间的局部叫做弧,其中大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧;(4)圆心角:顶点在圆心的角;(5)圆周角:顶点在圆上且两边都和圆相交的角.,3.圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任何一条直径所在的,直线,都是它的对称轴,对称中心是,圆心,.另外,圆具有旋转不变性,即圆绕着它的圆心旋转任意角度都能与原来的圆,重合,.,注:圆上任意一条弦对应,两,条弧.,1.垂径定理:垂直于弦的直径,平分,这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,考点二垂径定理及推论,2.推论:平分弦(不是直径)的直径,垂直,于弦,并且,平分,弦所对的,两条弧.,3.利用垂径定理还可以得到:,如图所示,根据圆的对称性,在以下五条结论中:(1),=,;(2),=,;(3)AE=,BE;(4)ABCD;(5)CD是直径,只要满足其中两个,另外三个结论一定成立,即,知二推三.,1.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,相等,所对的弦,相等,所对的弦的弦心距,相等,.,考点三圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们对应的其余各组量都分别,相等,.,温馨提示圆中同一条弦所对的圆周角,相等或互补,.,考点四确定圆的条件,1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.,2.三角形的外接圆:三角形的三个顶点在同一个圆上,这个圆叫做三角形的外,接圆,外接圆的圆心是三角形三边,垂直平分线,的交点,叫做三角形的外,心.,考点五圆周角定理及其推论,1.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,2.圆周角定理的推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角,相等,都等于这条弧,所对的圆心角的,一半,;(2)半圆(或直径)所对的圆周角是,直角,;,(3)90,的圆周角所对的弦是,直径,;(4)圆内接四边形的对角,互补,.,温馨提示,在解决与圆内接四边形有关的问题时,为了方便解题,经常运用,“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”的结论,这个结论可以看,做“圆内接四边形的对角互补”的一个推论.,题型一考察圆的根本概念,该题型主要考察圆的根本概念,如弦、弧、圆心角的概念以及它们之间的联系,三角形的外接圆等内容,考察的方式以选择题或填空题为主,主要考察基础知识.,中考题型突破,典例1,(2017唐山滦县模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形内部,的一个动点,且AEBE,则线段CE的最小值为,(,B,),A,.,B,.2,-2,C,.2,-2,D,.4,答案,B,AE,BE,点,E,在以,AB,为直径的,O,上,如图所示.,连接OC交O于点E,则当点E位于点E位置时,线段CE取得最小值.,AB=4,OA=OB=OE=2.,BC=6,OC=,=,=2,.,CE=OC-OE=2,-2.,名师点拨根据“两点之间,线段最短,得到点E在点E的位置时线段CE取得最小值,由此把求线段CE的最小值转化为求线段CE的长度.由于直接求CE比较困难,故把求线段CE的长度转化为求线段OC与线段OE的差,因此利用勾股定理与同圆的半径相等解答此题即可.,变式训练1,(2018河北模拟)如图,C是以点O为圆心,AB为直径的半圆上一,点,且COAB,在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF,且点I,F在OC上,点H,E在半圆上,可证:IG=FD.小云发现连接图中已知点得到两条线段,便可证,明IG=FD.,请回答:(1)小云所作的两条线段分别是,OH,和,OE,;,(2)证明IG=FD的依据是矩形的对角线相等,同圆的半径相等,和等量代换.,解析,连接OH、OE,如图所示.,在矩形OGHI中,IG=OH;在正方形ODEF中, OE=DF.,OH=OE,IG=FD.,题型二考察垂径定理,该题型主要考察利用垂径定理进展计算,垂径定理是中考的必考内容,常与圆周角定理、勾股定理、等腰三角形、直角坐标系等知识相结合,考察的题型既有选择题、填空题,也有解答题.,典例2,(2018襄阳中考)如图,点A,B,C,D都在半径为2的O上,若OABC,CDA=30,则弦BC的长为,(,D,),A,.4,B,.2,C,.,D,.2,答案,D,OA,BC,CH=BH,=,.,AOB=2CDA=60,.,在,Rt,BOH中,得BH=OB,sin,AOB=2,sin,60,=,.,BC=2BH=2,.,名师点拨,利用垂径定理计算时,需要利用图中的直角三角形,当图中没有可,以利用的直角三角形时,需要构造直角三角形,一般情况下,所构造的直角三,角形由三条线段组成,即弦的一半,圆心到该弦的垂线段,过弦的一个端点的,半径.,变式训练2,(2017保定涿州模拟)如图,O的半径是5,O是ABC的外接,圆,过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线,垂足分别为E、F、G,连接EF,若OG,=3,则EF=,4,.,解析,连接OA,如图所示,OGAC,AG=,=,=4,AC=2AG=8.,OEAB,OFBC,AE=EB,CF=FB,EF是ABC的中位线,EF=,AC=4.,题型三考察圆周角定理,该题型主要考察圆周角定理,主要考察内容有利用圆周角定理进展计算或证明,常与垂径定理、勾股定理、圆的切线、锐角三角函数、全等三角形、相似三角形等知识相结合,以综合题的形式考察.,典例3,(2017浙江台州中考)如图,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC,上一点(不与B,C重合),PE是ABP的外接圆O的直径.,(1)求证:APE是等腰直角三角形;,(2)若O的直径为2,求PC,2,+PB,2,的值.,答案(1)证明:易知AB=AC,BAC=90,C=ABC=45.,AEP=ABP=45.,PE是直径,PAE=90.,APE=90-45=45,PAE是等腰直角三角形.,(2)作PMAC于M,PNAB于N,如下图,那么四边形PMAN是矩形.,PM=AN.,由(1)知PAE是等腰直角三角形,PE=,PA=,AE.,易知PCM,PNB都是等腰直角三角形,PC=,PM,PB=,PN.,PC,2,+PB,2,=(,PM),2,+(,PN),2,=2(PM,2,+PN,2,)=2(AN,2,+PN,2,)=2PA,2,=PE,2,=2,2,=4.,名师点拨此题求解的关键是在圆中利用等腰直角三角形的性质与判定.,变式训练3,(2018无锡中考)如图,四边形ABCD内接于O,AB=17,CD=10,A=90,cos,ABC=,求AD的长.,答案,四边形ABCD内接于O,A=90,C=180,-A=90,ABC+ADC=180,.,作AEBC于E,DFAE于F,如图所示,则四边形CDFE是矩形,EF=CD=10.,在,Rt,AEB中,BE=AB,cos,ABC=17,=,.,AE=,=,=,.,AF=AE-EF=,-10=,.,ABC+ADC=180,CDF=90,ABC+ADF=90,.,sin,ADF=,cos,ABC=,.,在,Rt,ADF中,AFD=90,sin,ADF=,AD=,=,=6.,易错一盲目套用弦与弧之间的关系,易混易错突破,典例1,(2017江苏宿迁模拟)如图所示,在O中,=2,则弦AB与弦CD的,大小关系是,(,C,),A,.AB2CD,B,.AB=2CD,C,.ABAB,即2CDAB,AB2CD,故选,C,.,答案,C,易错二在无图的情况下出现丢解的错误,典例2CD是O的直径,A是O上的任意一点,过点D的弦DE平行于半径OA,连接AC,假设D的度数是50,那么C的度数是( C ),A.25 B.65,C.25或65D.25或50,易错警示在无图的题目中,一定要先根据题意画出正确的图形,以免出现丢解的错误.如此题,因为圆的半径有无数条,所以与DE平行的半径OA有两种情况,即点A与点E位于CD同侧或异侧,所以此题的答案有两个.,解析,根据题意,可以画出两种图形,当点A,E位于直径CD的两侧时,如图1所,示,OADE,AOD=D=50,则C=,AOD=,50,=25,;当点A,E位,于直径CD的同侧时,如图2所示,OADE,AOC=D=50,则C=,(180,-AOC)=65,.,答案,C,易错三忽略圆的轴对称性而丢解,典例3(2021广东茂名模拟)O的半径为13,AB,CD都是圆的弦,假设ABCD,AB=24,CD=10,那么AB,CD之间的距离是( D ),A.7 B.17,C.12D.7或17,易错警示此题中既没有给出图形,也没有告诉AB,CD与点O的位置关系,因此容易出现丢解的情形.实际上,由圆的轴对称性知此题应分两种情况求解,即AB,CD位于点O的同侧及AB,CD位于点O的异侧.,解析,当AB,CD在圆心O的同侧时,如图1所示,过O作OEAB于E,延长OE交,CD于F,连接OA,OC.ABCD,OFCD.由此可得AE=,AB=12,CF=,CD,=5.,在,Rt,AEO中,根据勾股定理,得OE=,=,=5,在,Rt,CFO中,根据勾股定理,得OF=,=,=12.,EF=OF-OE=12-5=7.,当AB,CD在圆心O的异侧时,如图2所示,过O作OEAB于E,延长EO交CD于F,同理可得OF=12,OE=5,EF=OE+OF=17.,综上,AB,CD之间的距离为7或17.,答案,D,1.(2021石家庄长安模拟)把地球和篮球的半径都增加一米,那么地球和篮球的大圆的周长也都增加了,增加情况是( C ),A.地球多B.篮球多,C.一样多D.不能确定,随堂巩固检测,2.如图,AB是O的直径,D、C在O上,ADOC,DAB=60,连接AC,则,DAC等于,(,B,),A,.15,B,.30,C,.45,D,.60,3.当点A、B、C满足下列条件时,总能确定一个圆的是,(,D,),A,.AB=1,BC=4,B,.AB=1,BC=2,AC=1,C,.AB=,-1,BC=2,+2,AC=,+3,D,.AB=3,BC=7,AC=5,4.(2018邵阳中考)如图所示,四边形ABCD为O的内接四边形,BCD=120,则BOD的大小是,(,B,),A,.80,B,.120,C,.100,D,.90,5.如图,四边形PAOB是一个矩形,其中点P在,上且不与M,N重合,点A在O,的半径OM上,点B在O的半径ON上,当P点在,上移动时,矩形PAOB的形,状、大小随之变化,则PA,2,+PB,2,的值,(,C,),A,.变大,B,.变小,C,.不变,D,.不能确定,6.如图,O的半径等于4,如果弦AB所对的圆心角等于120,那么圆心O到弦,AB的距离等于,2,.,7.如图,已知O的半径为10,弦AB=12,M是AB上任意一点,则线段OM的长度,的取值范围是,8,OM,10,.,8.(2018邢台临城模拟)如图,已知四边形ADBC是O的内接四边形,AB是直,径,AB=10,cm,BC=8,cm,CD平分ACB.,(1)求AC与BD的长;,(2)求四边形ADBC的面积.,答案,(1)AB是直径,ACB=90,.,AC=,=,=6(,cm,).,CD平分ACB,ACD=BCD,BD=AD=,AB=,10=5,(,cm,).,(2)S,四边形ADBC,=S,ABC,+S,ADB,=,ACBC+,ADBD=,6,8+,5,5,=49(,cm,2,).,9.如图,OA、OB是O的半径且OAOB,作OA的垂直平分线交O于点C、,D,连接CB、AB.求证:ABC=2CBO.,答案,连接OC、AC,如图所示.,CD垂直平分OA,OC=AC=OA.,OAC是等边三角形,则AOC=60,.,ABC=,AOC=30,.,OAOB,AOB=90,在BOC中,BOC=AOC+AOB=150,.,OB=OC,CBO=,(180,-BOC)=,(180,-150,)=15,ABC=2CBO.,
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