资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2018/10/9,#,#,第,3,课时导数与函数的综合问题,考点一利用导数求解函数的零点或方程的根的问题,【例1】 (2021石家庄模拟)函数f(x)2a2ln xx2(a0).,(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；,(2)求函数f(x)的单调区间；,(3)讨论函数f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e为自然对数的底数).,解,(1),当,a,1,时，,f,(,x,),2ln,x,x,2,，,曲线,y,f,(,x,),在点,(1,，,f,(1),处的切线方程为,y,1,0.,x,0,，,a,0,，,当,0,x,0,，当,x,a,时，,f,(,x,)0.,f,(,x,),在,(0,，,a,),上是增函数，在,(,a,，,),上是减函数,.,(3),由,(2),得,f,(,x,),max,f,(,a,),a,2,(2ln,a,1).,讨论函数,f,(,x,),的零点情况如下：,由于,f,(1),10,，,f,(e,2,),2,a,2,ln e,2,e,4,4,a,2,e,4,(2,a,e,2,)(2,a,e,2,),，,f,(,x,),在,(1,，,e,2,),内有两个零点,.,规律方法(1)此题求解的关键是通过构造函数，把曲线与直线交点问题转化为函数零点问题来解决.,(2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.,解,g,(,x,),2ln,x,x,2,m,，,当,1,x,e,时，,g,(,x,)0.,故,g,(,x,),在,x,1,处取得极大值,g,(1),m,1.,考点二利用导数解决不等式的有关问题,(,多维探究,),命题角度,1,证明不等式,(1),解,将,x,1,代入切线方程得,y,2,，,即证明,(,x,2,1)ln,x,2,x,2,，,x,2,ln,x,ln,x,2,x,2,0,在,1,，,),上恒成立,.,所以,h,(,x,),在,1,，,),上单调递增，,h,(,x,),h,(1),0,，,所以,g,(,x,),f,(,x,),在,1,，,),上恒成立,.,命题角度2由不等式恒(能)成立求参数的范围,【例22】 (2021全国卷改编)设函数f(x)(1x2)ex.,(1)讨论f(x)的单调性；,(2)当x0时，f(x)ax1，求正实数a的取值范围.,解(1)f(x)2xex(1x2)ex(12xx2)ex.,令f(x)0，得x22x10，,(2),f,(,x,),(1,x,)(1,x,)e,x,.,当,a,1,时，设函数,h,(,x,),(1,x,)e,x,，,h,(,x,),x,e,x,0),，因此,h,(,x,),在,0,，,),上单调递减，又,h,(0),1,，故,h,(,x,),1,，,所以,f,(,x,),(,x,1),h,(,x,),x,1,ax,1.,当,0,a,0(,x,0),，,所以,g,(,x,),在,0,，,),上单调递增,.,又,g,(0),0,，故,e,x,x,1.,当,0,x,ax,0,1.,综上可知，正实数,a,的取值范围是,1,，,).,规律方法1.利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的根本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h(x)0.,2.不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决.解答相应的参数不等式，如果易别离参数，可先别离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，防止参数的讨论.,【训练2】 (2021沈阳模拟)函数f(x)ex1xax2.,(1)当a0时，求证：f(x)0；,(2)当x0时，假设不等式f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；,(3)假设x0，证明(ex1)ln(x1)x2.,(1)证明当a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.,当x(，0)时，f(x)0.,故f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，,f(x)minf(0)0，f(x)0.,(2)解f(x)ex12ax，令h(x)ex12ax，,那么h(x)ex2a.,当2a1时，在0，)上，h(x)0，h(x)单调递增，,h(x)h(0)，即f(x)f(0)0，,f,(,x,),在,0,，,),上为增函数，,f,(,x,),f,(0),0,，,当,2,a,1,时，令,h,(,x,),0,，解得,x,ln (2,a,),，,在,0,，,ln (2,a,),上，,h,(,x,)0,，,h,(,x,),单调递减，,当,x,(0,，,ln (2,a,),时，有,h,(,x,),h,(0),0,，即,f,(,x,),f,(0),0,，,f,(,x,),在区间,(0,，,ln (2,a,),上为减函数，,f,(,x,),x,2,，,当,x,0,时，,F,(,x,)0,恒成立，且,F,(0),0,，,F,(,x,)0,恒成立,.,原不等式得证,.,考点三用导数研究生活中的优化问题,当,v,c,时，这时总用氧量最少,.,规律方法1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：,(1)设自变量、因变量，建立函数关系式yf(x)，并确定其定义域；,(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；,(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；,(4)回归实际问题作答.,2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.,2,10(,x,3)(,x,6),2,，,3,x,6.,从而，,f,(,x,),10(,x,6),2,2(,x,3)(,x,6),30(,x,4)(,x,6),，,于是，当,x,变化时，,f,(,x,),，,f,(,x,),的变化情况如下表：,x,(3,，,4),4,(4,，,6),f,(,x,),0,f,(,x,),单调递增,极大值,42,单调递减,由上表可得，,x,4,时，函数,f,(,x,),取得极大值，也是最大值，,所以，当,x,4,时，函数,f,(,x,),取得最大值，且最大值等于,42.,故当销售价格为,4,元,/,千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大,.,
展开阅读全文