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第三节 函数的奇偶性与周期性,1.,奇函数、偶函数的定义与性质,f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),y,轴,原点,相反,一样,0,原点,(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_,(2)假设奇函数f(x)在x0处有定义，那么f(0)0.,(3)设f(x)，g(x)有：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇,2,奇、偶函数的性质,一样,相反,3.周期性,(1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，那么需满足的条件：,T0;,_对定义域内的任意x都成立.,(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,_，那么这个_就叫做它的最小正周期,(3)周期不唯一：假设T是函数y=f(x)(xR)的一个周期，那么,nT(nZ,且n0)也是f(x)的周期.,f(x+T)=f(x),最小的正数,最小的正数,4,对称性,判断下面结论是否正确(请在括号中打“或“).,(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( ),(2)函数f(x)=0,x(0,+)既是奇函数又是偶函数.( ),(3)假设函数y=f(x+a)是偶函数，那么函数y=f(x)关于直线x=a对,称.( ),(4)假设函数y=f(x+b)是奇函数，那么函数y=f(x)关于点(b,0)中心,对称.( ),【解析】(1)错误.当奇函数的定义域不含0时，那么图象不过原,点.,(2)错误.函数f(x)的定义域不关于原点对称.,(3)正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称，那么函数y=f(x)关于,直线x=a对称.,(4)正确.函数y=f(x+b)关于点(0，0)中心对称，那么函数y=f(x),关于点(b,0)中心对称.,答案：(1) (2) (3) (4),1.函数y=f(x)是奇函数，那么函数y=f(x+1)的图象的对,称中心是( ),(A)(1,0) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(0,-1),【解析】选B.函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称，函数,y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到，,故函数y=f(x+1)的图象的对称中心为(-1，0).,2.函数 的图象关于( ),(A)y轴对称 (B)直线y=-x对称,(C)坐标原点对称 (D)直线y=x对称,【解析】选C.函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+)，且,函数f(x)是奇函数.应选C.,3.定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),那么f(8),的值为( ),(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2,【解析】选B.f(x+4)=f(x),f(x)是以4为周期的周期,函数，f(8)=f(0).,又函数f(x)是定义在R上的奇函数，,f(8)=f(0)=0,应选B.,4.函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-,0)上,是减函数，假设f(a)f(2),那么实数a的取值范围是( ),(A)a2 (B)a-2或a2,(C)a-2 (D)-2a2,【解析】选B.由题意知函数y=f(x)在(0,+)上是增函数，,且f(-2)=f(2),故由f(a)f(2),得f(|a|)f(2),|a|2，,解得a2或a-2.,考向 1 函数奇偶性的判断,【典例1】判断以下各函数的奇偶性.,(1),(2),(3),【标准解答】(1)由 得-1x1,因此函数的定义域,为(-1，1，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数.,(2)由 得-1x0或0x1.,函数f(x)的定义域为(-1,0)(0,1).,此时x-20,|x-2|-2=-x,又,函数f(x)为奇函数.,(3)显然函数f(x)的定义域为：(-，0)(0,+)，关于原,点对称，当x0，那么f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；,当x0时,-x0，那么f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).,综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立，,函数f(x)为奇函数.,【规律方法】,判断函数奇偶性的两个方法,(1),定义法：,(2),图象法：,【变式训练】(1)假设函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义,域均为R，那么( ),(A)f(x)与g(x)均为偶函数,(B)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,(C)f(x)与g(x)均为奇函数,(D)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,【解析】选B.f(-x)=3-x+3x=f(x)，g(-x)=3-x-3x=-g(x)，,f(x)为偶函数,g(x)为奇函数，应选B.,(2)判断以下函数的奇偶性：,【解析】,由 得,-2x2,且,x0,函数,f(x),的定义域关于原点对称，且,x+3,0,又,函数,f(x),为奇函数,.,f(x),的定义域为,R,，关于原点对称，当,x,0,时，,-x,0,f(-x)=-(-x),2,-2=-(x,2,+2)=-f(x);,当,x,0,时，,-x,0,f(-x)=(-x),2,+2=-(-x,2,-2)=-f(x);,当,x=0,时，,f(0)=0,也满足,f(-x)=-f(x).,故该函数为奇函数,.,考向 2 函数奇偶性的应用,【典例2】(1)(2021杭州模拟)奇函数f(x)是定义在,(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)0,那么不等,式的解集为.,(2)(2021苏州模拟)“a=1是“函数 在其定,义域上为_函数,【标准解答】(1)因为f(x)是奇函数,所以不等式f(x-3)+f(x2-3)0等价于f(x2-3)-f(x-3)=f(3-x),又f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,所以,解得2x ,即不等式的解集为(2, ).,答案:(2, ),(2)当a=1时， 此时,=-f(x), f(x)是其定义域上的奇函数.,当 是其定义域上的奇函数时，f(-x)=-f(x),即,从而“a=1是“函数 在其定义域上为奇函数的,充分不必要条件.,答案：充分不必要,【变式训练】(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=2x2-x，那么f(1)=( ),(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3,【解析】选A.由奇函数的定义有f(-x)=-f(x)，,所以f(1)=-f(-1)=-2(-1)2+1=-3.,(2)函数 为奇函数，那么a+b=_.,【解析】设x0,那么-x0,f(-x)=(-x)2-x=x2-x.,又f(-x)=-f(x),x0时，f(x)=-f(-x)=-x2+x=ax2+bx,a=-1,b=1,a+b=0.,答案：0,考向 3 函数的周期性及其应用,【典例3】(1)(2021山东高考)定义在R上的函数f(x)满足,f(x+6)=f(x),当-3x-1时，f(x)=-(x+2)2;当-1x3时，,f(x)=x,那么f(1)+f(2)+f(3)+f(2 012)=( ),(A)335 (B)338,(C)1 678 (D)2 012,(2)(2021江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间-1，1上， 其中a,bR,假设,那么a+3b的值为_.,【标准解答】(1)选B.f(x+6)=f(x),T=6.,当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时，f(x)=x,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(6)=1,f(1)+f(2)+f(6)=f(7)+f(8)+f(12),=f(2 005)+f(2 006)+f(2 010)=1,f(1)+f(2)+f(2 010)=1 =335.,而f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3,f(1)+f(2)+f(2 012)=335+3=338.,(2),因为,f(x),的周期为,2,所以,即,又因为,所以,3a+2b=-2 ,又因为,f(-1)=f(1),所以 即,b=-2a ,将,代入,，得,a=2,b=-4,a+3b=2+3(-4)=-10.,答案：,-10,【规律方法】判断函数周期性的三个常用结论,假设对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：,(1)f(x+a)=-f(x)(a0)，那么函数f(x)必为周期函数,2|a|是它,的一个周期.,(2) 那么函数f(x)必为周期函数，2|a|是,它的一个周期.,(3) 那么函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的,一个周期.,【提醒】应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.,【变式训练】,设,f(x),是定义在,R,上的奇函数，且对任意实数,x,，,恒有,f(x+2)=-f(x).,当,x,0,2,时，,f(x)=2x-x,2,.,(1),求证：,f(x),是周期函数,.,(2),当,x,2,4,时，求,f(x),的解析式,.,(3),计算,f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).,【解析】(1)f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，,f(x)是周期为4的周期函数.,(2)当x-2,0时，-x0,2，由得,f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.,又f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x2,f(x)=x2+2x.,又当x2,4时，x-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).,又,f(x),是周期为,4,的周期函数，,f(x)=f(x-4)=(x-4),2,+2(x-4)=x,2,-6x+8.,从而求得,x,2,4,时，,f(x)=x,2,-6x+8.,(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.,又,f(x),是周期为,4,的周期函数,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7),=,=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0,，,f(0)+f(1)+f(2)+,+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.,【创新体验2】创新运用函数奇偶性问题,【典例】(2021辽宁高考)函数f(x)=ln( -3x)+1,那么f(lg 2)+f(lg )=( ),(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2,【解析】选D.令g(x)=ln( -3x)，,那么因为 3x，所以函数定义域为R,又g(-x)=ln( +3x)=,=-ln( -3x)=-g(x)，,所以g(x)为奇函数,所以g(-x)+g(x)=0，,所以g(lg 2)+g(lg )=g(lg 2)+g(-lg 2)=0，,所以f(lg 2)+f(lg )=g(lg 2)+1+g(lg )+1=,g(lg 2)+g(-lg 2)+2=0+2=2.,【创新点拨】,1.,命题形式,:,常以给出函数,f(x)=g(x)+c(,其中,c,为非零常数,而,g(x),为奇函数,),求,f(x),最大值与最小值的和,或求,f(-a)+f(a)=2c,形式出现,.,【新题快递】,1.(2021南京模拟)函数f(x)=,a=f(ln2 014),b=f( ),那么a+b= .,【解析】由f(x)=,令g(x)= 那么g(x)为奇函数,且f(x)=g(x)+1，,a=f(ln2 014)=g(ln 2 014)+1,b=f(ln )=g(-ln 2 014)+1,那么a+b=g(ln 2 014)-g(ln 2 014)+2=2.,答案：2,2.(2021宁波模拟)函数f(x)=ln(x+ )，g(x)=,f(x)+2 015，以下命题:,f(x)的定义域为(-,+);,f(x)是奇函数;,f(x)在(-,+)单调递增;,假设实数a,b满足f(a)+f(b-1)=0，那么a+b=1;,设函数g(x)在-2 015,2 015的最大值为M,最小值为m，那么M+m=2 015.,其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号),【解析】因为 x,所以正确.,对于,f(-x)=ln(-x+ ),=ln( )=-ln(x+ )=-f(x)，,所以正确.,对于,令h(x)=x+ ,那么h(x)为增函数,又y=ln x为增函数,所以f(x)在(-,+)上单调递增,所以正确.,对于,，因为,f(x),为奇函数,所以,f(x)+f(-x)=0,所以,a=1-b,所以,a+b=1,，所以,正确,.,对于,f(x)=g(x)-2 015,为奇函数,f(x),max,=M-2 015,f(x),min,=m-2 015,，,所以,(M-2 015)+(m-2 015)=0,所以,M+m=4 030,，所以,错误,.,答案：,2.(2021宁波模拟)设偶函数f(x)对任意xR，都有,且当x-3,-2时，f(x)=4x,那么f(107.5)=( ),(A)10 (B) (C)-10 (D),【解析】,选,B.,因此,f(x),是周期为,6,的函数,.,又,f(x),是偶函数，,3.(2021湖州模拟)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函,数，当x0,1时，f(x)=x+1,那么f( )=_.,【思路点拨】先根据周期性缩小自变量，再根据奇偶性把自变,量转到区间0，1上.,【解析】函数f(x)是周期为2的偶函数，,答案：,4.(2021温州模拟)定义在-2,2上的奇函数f(x),当,x(0,2时，f(x)=- x+1,那么不等式f(x)-f(-x)2x的,解集为 .,【解析】函数f(x)为奇函数，,f(-x)=-f(x),那么f(x)-f(-x)=2f(x)2x,即f(x)x,当x(0,2时,f(x)=- x+1x,解得0x ,当x=0时，f(x)=0x,解得x=0,当x-2,0)时，f(x)=- x-1x,解得-2x- ,综上所述：-2x- 或0x .,答案：x|-2x- 或0x ,
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