道路工程制图_第二章_点和直线

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,点和直线,1,2.3,两直线的相对位置,2.2,直线的投影,2.1,点的投影,本章只要内容：,2,P,b,A,P,采用多面投影,。,过空间点,A,的,投射线与投影面,P,的交点即为点,A,在,P,面上的投影。,B1,B2,B3,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,点在一个投影面上的投影,a,第二章 第一节,点的投影,解决办法？,3,5,.,点在其他分角的投影,3.,点的两面投影图,2.,两投影面体系的建立,4,.,两投影面体系中点的,投影规律,1.,点的两个投影能唯一确定该点的空间位置,2.1.1,点在两投影面体系中的投影,4,1.,点的两个投影能唯一确定该点的空间位置,H,V,O,X,a,a,A,5,2,.,两投影面体系的建立,O,两投影面体系由,V,面和,H,面二个投影面构成。,V,面和,H,面将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。,投影轴,H,水平投影面,正立投影面,V,X,6,3,.,点的两面投影图,H,V,O,X,a,A,a,点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。,点,A,的正面投影,点,A,的水平投影,7,两面,投影图的画法,H,H,V,O,X,a,a,A,a,x,展开时，规定,V,面不动，,H,面向下旋转,90,。用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。,X,H,V,O,a,a,a,x,8,通常不,画,出投影面的范围,X,O,a,a,a,x,9,4,.,两,投影,面体系中点的投影规律,H,V,O,X,a,a,A,a,x,X,O,a,a,a,x,点的,V,面投影与,H,面投影之间的连线,aa,垂直于投影轴,0X,；,点的一个投影到,0X,投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离，即,aa,x,=,Aa,，,aa,x,=,Aa,。,10,H,X,V,O,O,X,分角,点的正面投影,OX,的上方,OX,的上方,OX,的下方,OX,的下方,点的水平投影,OX,的下方,OX,的上方,OX,的上方,OX,的下方,注意：,位于各分角内点的两面投影其连线总是垂直,OX,轴，且投影点到,OX,轴之间的距离分别反映空间点到对应投影面的距离。,5.,其它分角内点的投影,11,1.,三投影面体系的建立,2.,点的三面投影图,3.,点的三面投影与直角坐标的关系,4.,三投影面体系中点的投影规律,5.,特殊点,的,规律,2.1.2,点在三投影面体系中的投影,12,1.,三投影面体系的建立,H,V,X,O,Z,Y,W,三投影面体系由,V,、,H,、,W,三个投影面构成。,H,、,V,、,W,面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。,13,2.,点的三面投影图,H,V,X,Z,Y,W,O,A,点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定,V,面不动，,H,面向下旋转,90,，,W,面向右旋转,90,。,a,a,a,H,a,a,a,V,W,X,O,Z,Y,W,Y,H,14,a,a,a,X,O,Z,Y,W,Y,H,通常不,画,出投影面的范围,15,H,V,X,Z,Y,W,O,a,y,a,x,a,z,x,y,z,a,a,a,H,a,a,a,V,W,X,O,Z,Y,W,Y,H,a,x,a,y,a,z,a,y,3.,点的三面投影与直角坐标的关系,若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（,X,、,Y,、,Z,）,三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。,y,A,x,A,z,A,16,4.,三投影面体系中点的投影规律,H,V,X,Z,Y,W,O,a,y,a,x,a,z,x,y,z,a,a,a,a,a,a,X,O,Z,Y,W,Y,H,a,x,a,y,a,z,a,y,点的,V,面投影与,H,面投影之间的连线垂直于,0X,轴，即,aa,0X,；,点的,V,面投影与,W,面投影之间的连线垂直,0Z,轴，即,a a“,0Z,；,点的,H,面投影到,0X,轴的距离及点的,W,面投影到,0Z,轴的距离两者相等，都反映点到,V,面的距离。,长对正 高平齐 宽相等,17,5.,特殊位置点的投影,O,X,b,b,c,c,H,V,O,X,Cc,c,a,b,Bb,Aa,a,a,投影面上的点,投影轴上的点,与原点重合的点,18,a,a,a,x,已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,a,x,a,z,a,z,解法一,:,通过作,45,线使,a,a,z,=,aa,x,解法二,:,用分规直接量取,a,a,z,=,aa,x,a,a,19,例,1,已知点,A,的正面与侧面投影，求点,A,的水平投影。,Z,Y,H,X,Y,W,O,a,a,a,20,1.,两点的相对位置,2.,重影点,2.1.3,两点的相对位置和重影点,21,X,O,Z,Y,b,b,b,1.,两点的相对位置,a,a,a,A,两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。,X,坐标值大的点在左；,Y,坐标值大的点在前；,Z,坐标值大的点在上。,X,Z,Y,W,Y,H,O,a,a,a,b,b,b,B,22,2.,重影点,a(b),a,b,A,B,若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。,c,d,(c,),d,C,D,23,X,Y,H,Z,Y,W,O,c,(,d,),b,a,(,b,),a,c,d,a,b,c,d,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,被挡住的投影加,( ),24,例,2,已知,A,点在,B,点的右,10,毫米、前,6,毫米、上,12,毫米，求,A,点的投影。,a,a,a,X,Z,Y,W,Y,H,O,b,b,b,12,10,6,25,2,.2.,1,直线的三面投影,2,.2.,2,直线对投影面的相对位置,2,.2.,3,直线上的点,第二章 第二节 直线的投影,2,.2.4,直角三角形法,26,O,X,Z,Y,2,.2.,1,直线的三面投影,Z,X,a,a,a,O,Y,Y,b,b,b,空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。,A,B,b,b,a,b,a,a,27,2,.2.,2,直线对投影面的相对位置,1.,投影面平行线,平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线,(1),水平线,(2),正平线,(3),侧平线,2.,投影面垂直线,垂直于某一投影面的直线,(1),铅垂线,(2),正垂线,(3),侧垂线,3.,一般位置直线,与三个投影面都倾斜的直线,28,水平线,平行于水平投影面的直线,X,Z,Y,O,a,a,b,a,b,b,X,a,b,a,b,O,z,Y,H,Y,W,b,a,A,B,投影特性：,1.,a,b,OX,;,a,b,OY,W,2.,ab,=,AB,3.,反映,、,角的真实大小,29,X,Z,Y,O,正平线,平行于正立投影面的直线,X,a,b,O,Z,Y,H,Y,W,b,a,a,b,投影特性：,1,、,ab,OX,;,a,b,OZ,2,、,a,b,=,AB,3,、,反映,、,角的真实大小,a,a,b,a,b,b,A,B,30,X,Z,Y,O,侧平线,平行于侧立投影面的直线,X,Z,O,Y,H,Y,W,a,b,b,a,b,a,投影特性：,1,、,a,b,OZ,;,ab,OY,H,2,、,a,b,=,AB,3,、,反映,、,角的真实大小,a,a,b,a,b,b,A,B,31,O,X,Z,Y,Z,b,X,a,b,a(b),O,Y,H,Y,W,a,投影特性：,1,、,a b,积聚 成一点,2,、,a,b,OX,;,a,b,OY,3,、,a,b,=,a,b,=,AB,铅垂线,垂直于水平投影面的直线,A,B,b,a(b),a,a,b,32,正垂线,垂直于正立投影面的直线,O,X,Z,Y,投影特性：,1,、,a,b,积聚 成一点,2,、,ab,OX,;,a,b,O,Z,3,、,ab,=,a,b,=,AB,A,B,z,X,ba,b,a,O,Y,H,Y,W,a,b,b,a,b,a,b,a,33,侧垂线,垂直于侧立投影面的直线,O,X,Z,Y,A,B,投影特性：,1,、,a,b,积聚 成一点,2,、,ab,OY,H,;,a,b,O,Z,3,、,ab,=,a,b,=,AB,b,a,a,b,a,b,Z,X,a,b,b,a,O,Y,H,Y,W,a,b,34,O,X,Z,Y,一般位置直线,A,B,b,b,a,b,a,a,Z,X,a,a,a,O,Y,H,Y,W,b,b,b,投影特性：,1,、,a b,、,a,b,、,a,b,均小于实长,2,、,a b,、,a,b,、,a,b,均倾斜于投影轴,3,、 不反映,、,、,实角,35,直线上的点具有两个特性：,1,从属性,若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。,2,定比性,属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即,A C,:,C B,=,a c,:,c b,=,a,c,:,c,b,=,a,c,:,c,b,利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。,2,.2.,3,直线上的点,A,B,b,b,a,a,X,O,c,c,C,c,36,b,X,a,a,b,c,c,例,3,已知线段,AB,的投影图，试将,AB,分成,1,：,2,两段，求分点,C,的,投影。,O,37,例,4,已知点,C,在线段,AB,上，求点,C,的正面投影。,b,X,a,a,b,c,c,ac,cb,X,O,A,B,b,b,a,a,c,C,c,H,V,O,38,直线的迹点,X,A,b,a,a,m,N n,b,B,M m,n,O,V,H,a,b,b,a,m,m,n,n,X,O,直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。,39,一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投影面的倾角。,1.,几何分析,2.,作图要领,用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。,3.,直角三角形,的四个要素,实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角,。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。,2.2.4,直角三角形法,40,A,B,b,b,a,a,C,X,O,几何分析,AB,|,z,A,-,z,B,|,ab,O,X,a,a,b,b,AB,ab,|,z,A,-,z,B,|,|,z,A,-,z,B,|,AB,|,z,A,-,z,B,|,41,四个基本作图问题,1,、,已知直线的两投影,，,求直线与投影面的夹角和线段的实长。,2,、,已知直线的一投影及其与投影面的夹角,，,求直线的投影。,3,、,已知线段的一投影及其实长,，,求线段的投影。,4,、,已知线段的实长及其与投影面的夹角,，,求直线的投影。,42,例,5,已知 线段的实长,AB,以及,ab,和,a,，,求它的正面投影,ab,。,a,X,a,b,A,O,B,b,0,bb,0,bb,0,b,b,有两,解，但只需画出一解,有两解,43,（,1,）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。,反之，若两直线在任意同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行,。 （,2,）平行两线段之比等于其投影之比。,X,b,a,a,d,b,b,c,c,A,B,C,D,d,c,d,c,1.,平行两直线,X,b,a,a,b,O,O,第二章 第三节 两直线的相对位置,44,2.,相交两直线,两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。,反之，若两直线在任意同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交,。,X,B,D,A,C,K,b,b,a,a,c,c,d,d,k,k,b,X,a,a,b,k,c,d,d,c,k,O,O,45,3.,交叉两直线,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。,X,O,B,D,A,C,b,b,a,a,c,c,d,d,2,1,1,(2,),2,1,b,X,a,a,b,c,d,d,c,1,1,(2,),2,O,46,a,b,c,d,c,a,b,d,例,6,：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,x,47,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB,与,CD,不平行。,例,7,：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,如何判断？,48,c,a,b,b,a,c,d,k,k,d,例,8,：过,C,点,作水平线,CD,与,AB,相交。,先作正面投影,o,x,思考：如果给出,CD,的长度，解题过程有何变化？,49,d,a,c,b,o,Y,W,Y,H,Z,X,a,a,c,d,d,c,b,b,例,9,判断两直线的相对位置,50,X,O,判断重影点的可见性,D,C,b,a,c,c,d,d,3,4,(3,)4,4,3,1,2,1(2),1,2,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,b,a,B,A,51,b,b,c,d,d,c,X,a,a,3,(4,),3,4,1,2,1(2),例,10,判断两直线重影点的可见性,O,52,4.,垂直两直线的投影 ,垂直定理,A,H,B,C,a,c,b,互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。,反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。,c,X,b,a,c,b,a,O,53,b,a,a,O,f,e,e,f,X,例,11,过点,A,作,EF,线段的垂线,AB,。,b,54,例,12,求,点,E,到水平线,AB,的距离,。,X,O,a,b,a,b,e,e,d,d,y,D,-,y,E,所求距离,55,例,13,作三角形,ABC,，,ABC,为直角，使,BC,在,MN,上，且,BC,AB,=2,3,。,b,b,c,AB,a,b,|,y,A,-,y,B,|,b,c,=BC,n,m,a,a,X,m,n,O,c,56,小 结,点与直线的投影特性，尤其是,特殊位置,直线的投影特性、直角三角形法,。,点与直线及两直线的相对位置的判断方,法及投影特性。,定比定理。,直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,57,一、点的投影规律,a,a,OX,轴,aa,x,=,a,a,z,=y=A,到,V,面的距离,a,a,x,=,a,a,y,=z=A,到,H,面的距离,aa,y,=,a,a,z,=x=A,到,W,面的距离,a,a,OZ,轴,58,二、各种位置直线的投影特性, 一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。,利用直角三角形法求投影、实长、倾角, 投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,59,三、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。, 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影,成定比,定比定理。,四、两直线的相对位置, 平行, 相交, 交叉（交错）,同面投影互相平行。,同面投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,60,五、相互垂直的两直线的投影特性,两直线同时平行于某一投影面时，在该,投影面上的投影反映直角。, 两直线中有一条平行于某一投影面时，,在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时，,在三个投影面上的投影都不,反映直角。,直角定理,61,