资源描述
返回,后页,前页,隐函数是函数关系的另一种表现形式,.,讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅,是,出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础,.,一、隐函数概念,二、隐函数存在性条件分析,三、隐函数定理,四、隐函数求导数举例,1,隐函数,一个方程式所确定的函数例如：,一、隐函数概念,显函数：,因变量可由自变量的某一表达式来表示,的函数例如：,隐函数：,自变量与因变量之间的对应关系是由某,隐函数的一般定义：,设有一方程,则成立恒等式,其中 若存在,对任一 有惟一确定的,与之对应,使,得 满足方程,(1) ,则称由方程,(1),确定了一,个定义在,值域含于 的隐函数,如果把此隐函,记为,取值范围例如由方程可确定如下两,个函数：,注,2,不是任一方程 都能确定隐函数,例如 显然不能确定任何隐函数,注,1,隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要,化为显函数上面把隐函数仍记为 ，这,与它能否用显函数表示无关,注,3,隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的,在,2,还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题,.,注,4,类似地可定义多元隐函数例如,:,由方程,确定的隐函数,确定的隐函数,由方程,二、隐函数存在性条件分析,条件时，由方程,(1),能确定隐函数,并使,要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些,该隐函数具有连续、可微等良好性质,?,(a),把上述看作曲面 与坐标,平面的交线，故至少要求该交集非空，即,，满足,连续是合理的,(b),为使 在 连续，故要求 在点,由此可见，是一个重要条件,点 存在切线，而此切线是曲面 在点,的切平面与 的交线，故应要求 在,(c),为使 在 可导，即曲线在,点 可微，且,(d),在以上条件下，通过复合求导数，得到,三、隐函数定理,定理,18.1,(,隐函数存在惟一性定理,),设方程,(1),中,的函数 满足以下四个条件：,(i),在以 为内点的某区域 上连续；,(ii),(,初始条件,),；,(iii),在 内存在连续的偏导数 ；,(iv),则有如下结论成立：,在 上连续,存在某邻域 ，在 内由方程,(1),惟,一地确定了一个隐函数,并且满足：,，当 时，使得,证,首先证明隐函数的存在与惟一性,证明过程归结起来有四个步骤,(,图示如下,),：,(b),正、负上下分,_,_,_,+,_,0,(c),同号两边伸, ,(d),利用介值性, ,(a),一点正,一片正,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,(a) “,一点正,一片正 ”,由条件,(iv),不妨设,因为 连续，所以根据,保号性， 使得,(a),一点正,一片正,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,(b),正、负上下分,_,_,_,+,_,0,(b) “,正、负上下分 ”,因 故,把 看作 的函数，它在 上,严格增，且连续,(,据条件,(i) ),特别对于函数,由条,因为 关于 连续，故由,(b),的结论，根据保号性， 使得,(c),同号两边伸, ,(c) “,同号两边伸”,(d) “,利用介值性”,因,关于 连续,且严,格增，故由,(c),的结论，依据介值性定理,存在惟,(d),利用介值性, ,满足,一的,就证得存在惟一的隐函数,:,由的任意性,这,若记 则定理结论 得证,下面再来证明上述隐函数的连续性,:,欲证上述 在 连续,.,.,.,类似于前面,(c),， 使得,取 足够小，使,由 对 严格增，而,推知,在 上处处连续,因此 在连续,.,由的任意性,便证得,且当 时，有,类似于前面,(d),，由于隐函数惟一，故有,注,1,定理,18.1,的条件,(i),(iv),既是充分条件,又,是一组十分重要的条件,.,例如：,在点 虽,不满足条件,(iv),，但仍能确定惟一的隐函数,(,双纽线,),在,点 同样不满足,条件,(iv),，而在该点,无论多小的邻域内,用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，,的作用,二则是在后面的定理,18.2,中它们还将起到实质性,注,3,读者必须注意,定理,18.1,是一个,局部性,的隐,函数存在定理例如从以上双纽线图形看出,:,除了,三点以外,曲线上其余各点处都,确实不能确定惟一的隐函数,(,见图,).,注,2,条件,(iii),、,(iv),在证明中只是用来保证在邻,域 内 关于为严格单调之所以采,存在局部隐函数,(,这不难用定理,18.1,加,以检验，见 四、例,),注,4,在方程 中,与 的地位是平等,的,.,当条件,(iii),、,(iv),改为,时，将存在局部的连续隐函数,连续,且,“,”,定理,18.2,(,隐函数可微性定理,),设函数 满,足定理,18.1,中的条件,(i),(iv),在 内还存在连,续的,.,则由方程 所确定的隐,函数 在,I,内有连续的导函数，且,(,注,:,其中,示于定理,18.1,的证明,(d) ).,使用微分中值定理,使得,证,设则,由条件易知,F,可微，并有,显然也是连续函数,因 都是连续函数,故 时,并有,(3),注,1,当 存在二阶连续偏导数时，所得隐函,数也二阶可导应用两次复合求导法，得,将,(2),式代入上式，经整理后得到,注,2,利用公式,(2) , (3),求隐函数的极值,:,(a),求使 的点,即 的解,(b),在点 处因，而使,(3),式化简为,(4),(c),由极值判别法,当 时,隐函数,在 取得极大值,(,或极小值,),设在以点 为内点的某区域 上,则存在某邻域 在其内存在惟一的、连,续可微的隐函数 ，且有,注,3,由方程,(5),确定隐函数的相关定理简述如下：,F,的所有一阶偏导数都连续，并满足,(6),更一般地，由方程,确定隐函数 的相关定理,见教,材下册,p.149,上的,定理,18.3,这里不再详述,.,解,令 它有连续的,求解 分别得到,四、隐函数求导数举例,例,1,试讨论双纽线方程,所能确定的隐函数,再考虑隐函数的极值由于,在其他所有点处都存在局部的可微隐函数,所以，除 这三点外，曲线上在其他,所有点处都存在局部的可微隐函数,同理，除 这五点外，曲线上,由对称性可知,各点处都能确定局部的隐函数,例,2,讨论,Descartes,叶形线,(7),所确定的隐函数 的存,在性，并求其一阶、二阶导数,解,令,先求出在曲线,(7),上使,的点为,.,除此两点外,方程,(7),在其他,然后再算出,:,为了使用公式,(3) ,先算出,:,由公式,(2),求得,平切线和垂直切线,类似于例,1,的方法,求出曲线上使 的点为,在几何上，它是两条曲线,和,的交点,(,见图,).,容易验证,所以,隐函数在点 取得极大值,以上讨论同时说明,该曲线在点 和 分别有水,例,3,试求由方程 所确定的隐,函数 在点 处的全微分,解法,1 (,形式计算法,),对方程两边微分，得,将 代入，又得,解法,2 (,隐函数法,),设,由于 上处处连续,而,因此在点,P,附近能惟一地确定连续可微的隐函数,且可求得它的偏导数如下：,以 代入,便得到,例,4,用隐函数方法处理反函数的存在性及其导数,.,解,设 在 的某邻域内有连续的导函数,且 现在来考察方程,由于,因此只要 就能满足隐函数定理的所有,条件,由方程,(8),便能确定连续可微的隐函数,(8),因它满足 故它就是,的反函数,.,应用隐函数求导公式,又可得,故将此两式相加便得所需结果,.,例,5,设 是由方程,所确定的隐函数,其中,F,具有连续的二阶偏导数,试证,证,易知 于是有,由此得到 再分别对,x,与,y,求偏导数,又得 因在假设条件下,1,在隐函数的定义中，为什么强调必须指出,3,设能确定连续可微的隐函数,:,(,由此能说明些什么,? ),验证：,2,在定理,18.1,对隐函数连续性进行证明时，,复习思考题,因变量的取值范围？,(,结合例题加以说明,. ),最后为什么要用到隐函数的惟一性？,4.,试对例,3,的两种解法,(,形式计算法与隐函数,法,),作一比较,指出两者各有哪些优缺点,?,PPT,（全名：,PowerPoint,）是美国微软公司出品的办公软件系列重要组件之一（另外还有,Excel,、,Word,等）；最常用的就是用来制作幻灯片。,MicrosoftOfficePowerPoint,是一种演示文稿图形程序，该软件是功能强大的演示文稿制作软件；可协助用户独自或联机创建永恒的视觉效果；它增强了多媒体支持功能，利用该软件制作的文稿，可以通过不同的方式播放，也可将演示文稿打印成一页一页的幻灯片，使用幻灯片机或投影仪播放，可以将演示文稿保存到光盘中以进行分发，并可在幻灯片放映过程中播放音频流或视项目列表,;,新增项目,;,修改项目,;,删除项目,;,项目授权,;,项目任务统计,;,项目资源管理,;,项目进度管理,;,项目任务包管理,;,项目文档管理,;,项目费用管理,;,项目归档,;,项目查询,;,当前任务,;,项目统计分析。,4.,库存管理,掌握库存的动态流动状况，减少库存资金的占用，加强资金的合理使用。,选择“库存管理”模块后，在主菜单下将出现,库存资料维护,、,入库,、,出库,、,库存查询,、,仓库资料维护,、,业务类型维护,、,货物单位资料维护,几个子菜单。左方出现“存货管理”模块的树状结构的库存分类信息。右边会出现库存列表，当没有选择库存分类的时候，库存资料列表将显示所有库存项目，按录入时间排序,;,在选择某个分类的时候，将显示该分类下的库存列表，库存列表会把当前的库存数量显示出来，点击某库存的链接将显示库存项目的详细信息。,此模块包含以下主要功能：,新增分类,;,修改分类,;,删除分类,;,新增存货项目,;,修改存货资料,;,删除存货资料,;,库存查询,;,入库登记,;,出库登记,;,查询存货收发记录,;,仓库资料维护,;,业务类型资料维护,;,货物单位资料维护。,=,原文出自,【,比特网,】,，转载请保留原文链接：频流。对用户界面进行了改进并增强了对智能标记的支持，可以更加便捷地查看和创建高品质的演示文稿一套完整的,PPT,文件一般包含：片头动画、,PPT,封面、前言、目录、过渡页、图表页、图片页、文字页、封底、片尾动画等；所采用的素材有：文字、图片、图表、动画、声音、影片等；国际领先的,PPT,设计公司有：,themegallery,、,poweredtemplates,、,presentationload,等；近年来，中国的,PPT,应用水平逐步提高，应用领域越来越广；,PPT,正成为人们工作生活的重要组成部分，在工作汇报、企业宣传、产品推介、婚礼庆典、项目竞标、管理咨询等领域。叙利亚内战局势急剧升级，国营电视台证实，国防部长拉杰哈今天在首都的一次自杀式袭击中被炸死，是叙利亚国内冲突爆发以来，政府军损失的最高级军方官员，另外，内政部长、情报首长也被炸伤。袭击者是总统巴沙尔的一名近身侍卫。叙利亚自由军和伊斯兰旅两个反政府组织都宣称对袭击负责，但否认事件是国营电视台所说的自杀式袭击，而是将,fgdfgdfgdfgdgdfgdfgdfgdfgfhthhhfhh dhfdhdsfhgfhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhtttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttthhhhhhhhhhhhhaaaaaaaaaaahhhhttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttthhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv,炸弹事先放在会议室内。事发后，叙利亚政府已经任命了原参谋长弗雷伊为新任国防部长。,叙利亚国营电视台新闻节目周三迅速公布了事件，称大马士革的国家安全部门遭到自杀袭击，当时内阁官员和军方高层正在开会，多名官员严重受伤，国防部长丧生。,被炸死的叙利亚国防部长拉杰哈，本月九号才刚刚出席过，叙利亚防空部队的实弹演习，叙利亚电视台也在拉哈杰死后，马上播出他视察演习的画面。,另外，总统巴沙尔的姐夫、副国防部长舒卡特，也在袭击中丧生。,近几日以来，大马士革一直在爆发激烈战斗，冲突已经越来越接近总统巴沙尔的权力核心。有上载到网络的视频显示，在大马士革的苏塞村不断传出重型炮火声。又有段视频显示，逊尼派社区米丹发生战斗后，四处断壁残垣。此外，大马士革西部也据称有军营遇袭起火。连串冲突迫使近日大批叙民众，当中包括两名叙利亚将军，逃亡到邻国土耳其。,另外，有上载到网络的视频显示，叙利亚自由军在北部阿扎兹训练。有自由军成员说，（自己）本来效忠巴沙尔部队，在政府军滥杀平民后变节,PPT,（全名：,PowerPoint,）是美国微软公司出品的办公软件系列重要组件之一（另外还有,Excel,、,Word,等）；最常用的就是用来制作幻灯片。,MicrosoftOfficePowerPoint,是一种演示文稿图形程序，该软件是功能强大的演示文稿制作软件；可协助用户独自或联机创建永恒的视觉效果；它增强了多媒体支持功能，利用该软件制作的文稿，可以通过不同的方式播放，也可将演示文稿打印成一页一页的幻灯片，使用幻灯片机或投影仪播放，可以将演示文稿保存到光盘中以进行分发，并可在幻灯片放映过程中播放音频流或视项目列表,;,新增项目,;,修改项目,;,删除项目,;,项目授权,;,项目任务统计,;,项目资源管理,;,项目进度管理,;,项目任务包管理,;,项目文档管理,;,项目费用管理,;,项目归档,;,项目查询,;,当前任务,;,项目统计分析。,4.,库存管理,掌握库存的动态流动状况，减少库存资金的占用，加强资金的合理使用。,选择“库存管理”模块后，在主菜单下将出现,库存资料维护,、,入库,、,出库,、,库存查询,、,仓库资料维护,、,业务类型维护,、,货物单位资料维护,几个子菜单。左方出现“存货管理”模块的树状结构的库存分类信息。右边会出现库存列表，当没有选择库存分类的时候，库存资料列表将显示所有库存项目，按录入时间排序,;,在选择某个分类的时候，将显示该分类下的库存列表，库存列表会把当前的库存数量显示出来，点击某库存的链接将显示库存项目的详细信息。,此模块包含以下主要功能：,新增分类,;,修改分类,;,删除分类,;,新增存货项目,;,修改存货资料,;,删除存货资料,;,库存查询,;,入库登记,;,出库登记,;,查询存货收发记录,;,仓库资料维护,;,业务类型资料维护,;,货物单位资料维护。,=,原文出自,【,比特网,】,，转载请保留原文链接：频流。对用户界面进行了改进并增强了对智能标记的支持，可以更加便捷地查看和创建高品质的演示文稿一套完整的,PPT,文件一般包含：片头动画、,PPT,封面、前言、目录、过渡页、图表页、图片页、文字页、封底、片尾动画等；所采用的素材有：文字、图片、图表、动画、声音、影片等；国际领先的,PPT,设计公司有：,themegallery,、,poweredtemplates,、,presentationload,等；近年来，中国的,PPT,应用水平逐步提高，应用领域越来越广；,PPT,正成为人们工作生活的重要组成部分，在工作汇报、企业宣传、产品推介、婚礼庆典、项目竞标、管理咨询等领域。叙利亚内战局势急剧升级，国营电视台证实，国防部长拉杰哈今天在首都的一次自杀式袭击中被炸死，是叙利亚国内冲突爆发以来，政府军损失的最高级军方官员，另外，内政部长、情报首长也被炸伤。袭击者是总统巴沙尔的一名近身侍卫。叙利亚自由军和伊斯兰旅两个反政府组织都宣称对袭击负责，但否认事件是国营电视台所说的自杀式袭击，而是将,fgdfgdfgdfgdgdfgdfgdfgdfgfhthhhfhh dhfdhdsfhgfhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhtttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttthhhhhhhhhhhhhaaaaaaaaaaahhhhttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttthhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv,炸弹事先放在会议室内。事发后，叙利亚政府已经任命了原参谋长弗雷伊为新任国防部长。,叙利亚国营电视台新闻节目周三迅速公布了事件，称大马士革的国家安全部门遭到自杀袭击，当时内阁官员和军方高层正在开会，多名官员严重受伤，国防部长丧生。,被炸死的叙利亚国防部长拉杰哈，本月九号才刚刚出席过，叙利亚防空部队的实弹演习，叙利亚电视台也在拉哈杰死后，马上播出他视察演习的画面。,另外，总统巴沙尔的姐夫、副国防部长舒卡特，也在袭击中丧生。,近几日以来，大马士革一直在爆发激烈战斗，冲突已经越来越接近总统巴沙尔的权力核心。有上载到网络的视频显示，在大马士革的苏塞村不断传出重型炮火声。又有段视频显示，逊尼派社区米丹发生战斗后，四处断壁残垣。此外，大马士革西部也据称有军营遇袭起火。连串冲突迫使近日大批叙民众，当中包括两名叙利亚将军，逃亡到邻国土耳其。,另外，有上载到网络的视频显示，叙利亚自由军在北部阿扎兹训练。有自由军成员说，（自己）本来效忠巴沙尔部队，在政府军滥杀平民后变节,
展开阅读全文