[初一数学]乘法公式

乘法公式一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 要注意等式的特点： （1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数； （2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方 值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具 例下列各式中不能用平方差公式计算的是（） A（ab）（ab） B（a2b2）（a2b2） C（ab）（ab） D（b2a2）（a2b2） 解：根据上面平方差公式的结构特点，中，b是相同的项，a与a是性质符号相反的项，故可使用；中a2是相同项，b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样也符合而中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算 例运用平方差公式计算： （）（ x2y）（y x2）； （）（a3）（a29）（a3） 解：（）（ x2y）（y x2） （y x2）（y x2） (y)2（ x2）2 y2 x4 ； （）（a3）（a29）（a3） （a3）（a3）（a29） （a232）（a 29） （a29）（a29） a481 例计算： （）54.5245.52 ； （）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1) 分析：（）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算解：（）54.5245.52 （54.545.5）(54.545.5) 1009 900 ； （）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1) =(2x2+1)2-(3x)2 =4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1 二、完全平方公式： (ab)2a 22abb 2(ab)2a 22abb 2二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两项积的两倍 完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和求值中应用广泛正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方差公式的类比加深理解和记忆运用中要防止出现（ab）2a2b2，或（ab）2a22abb2等错误 需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式 例利用完全平方公式计算： （）（3a5）2 ； （）（abc）2 分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（abc）2（ab）c2或a（bc）2，通过两次应用完全平方公式来计算 解：（）（3a5）2 （3a）22（3a）5 5 2 9a2 30a 25 （）（abc）2 （ab）c2 （ab）2 2（ab）c + c2 a 22abb 22ac2bc + c2 a 2b 2+ c22ac2ab2bc 例利用完全平方公式进行速算. (1)1012 (2)992 解: (1)1012 分析:将1012变形为(100+1)2原式可 =(100+1)2 利用完全平方公式来速算. =1002+21001+12 =10201 解: (2)992 分析:将992变形为(100-1)2原式可 =(100-1)2 利用完全平方公式来速算. =1002-21001+12 =9801 例计算： （）99298100；（）49512 499 解：（）99298100 （100）298100 10021009800 10000 2009800 ； （）49512499 （501）（50）2499 250012499 例已知ab8，ab10，求a2b2，（ab）2的值 分析：由前面的公式变形可以知道：a 2 b 2(ab)22ab，(ab)2(ab)24ab 解：由于a 2 b 2(ab)22ab，(ab)2(ab)24ab而ab8，ab10 所以 a 2 b 2(ab)22ab 82 2 10 44 (ab)2(ab)24ab82 4 10 24 三：练习 1利用乘法公式进行计算： (1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) (2) (3x+2)2-(3x-5)2(3) (x-2y+1)(x+2y-1) (4) (2x+3y)2(2x-3y)2(5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2 (6) (x2+x+1)(x2-x+1) 解：(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1) =(x4-1)(x4+1) =x8-1. (2)解法1：原式=(9x2+12x+4) -(9x2-30x+25) =9x2+12x+4-9x2+30x-25 =42x-21 解法2：原式=(3x+2)+(3x-5)(3x+2) -(3x-5) =(6x-3)7 =42x-21. (3)原式=x-(2y-1)x+(2y-1) =x2-(2y-1)2 =x2-(4y2-4y+1) =x2-4y2+4y-1 (4)原式=(2x+3y)(2x-3y)2 =(4x2-9y2)2 =16x4-72x2y2+81y4 (5) 原式=(2x+3) -(3x-2)2 =(-x+5)2 =x2-10x+25 (6) 原式=(x2+1)+x(x2+1) -x =(x2+1)2-x2 =(x4+2x2+1) -x2 =x4+x2+1 2已知：a+b=5, ab=3，求：(1) (a-b)2 ；(2) a2+b2 ； 解：(1) (a-b)2=(a+b)2-4ab =52-43 =13 (2) a2+b2=(a+b)2-2ab =52-23 =19. 在线测试选择题1在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A、(x+1)(1+x) B、( a+b)(b- a) C、(-a+b)(a-b) D、(x2-y)(x+y2) 2下列各式计算正确的是（） A、(a+4)(a-4)=a2-4 B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9 C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 D、(a+2)(a-4)=a2-8 3(- x+2y)(- x-2y)的计算结果是（） A、 x2-4y2 B、4y2- x2 C、 x2+4y2 D、- x2-4y2 4(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的结果是（）。 A、a4b4c4-1 B、1-a4b4c4 C、-1-a4b4c4 D、1+a4b4c4 5下列各式计算中，结果错误的是（ ） A、a(4a+1)+(2a+b)(b-2a)=a+b2. B、 C、m2-(5m+3n)(5m-3n)+6(2m-n)(n+2m)=3n2 D、 答案与解析答案：1、B 2、C 3、A 4、B 5、D解析：1B ( a+b)(b- )=(b+ a)(b- a).符合平方差公式的特点，故选B。 2C(a+4)(a-4)=a2-42=a2-16, 故A错； (2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9，故B错。 (5ab+1)(5ab-1)=(5ab)2-12=25a2b2-1，故C正确； (a+2)(a-4)=a2+(2-4)a+2(-4)=a2-2a-8，故D错。 3A原式=(- x)2-(2y)2= x2-4y2. 4B原式=(1+abc)(1-abc)(1+a2b2c2) =12-(abc)2(1+a2b2c2) =(1-a2b2c2)(1+a2b2c2) =1-a4b4c4. 5D 才正确，差一个符号。 中考解析：乘法公式平方差公式考点扫描: 熟练掌握平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算 名师精讲: 1平方差公式：(a+b）(ab)=a2b2即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差平方差公式的左边是两个数的和与这两个数的差相乘，而右边正好是这两个数的平方差 2平方差公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式 中考典例: 1（湖北武汉）观察下列各式(x1)(x+1)=x21,(x1)(x2+x+1)=x31，(x1)(x3+x2+x+1)=x41，根据前面各式的规律可得(x1)(xn+xn1+x+1)=_ 考点：平方差公式的延伸 评析：该题是一个探索规律性的试题，要通过观察把握住给出的等式中的不变量和变量与变量间的变化规律不难发现其结果为xn+11 真题专练: 1（广东省）化简：(x+y)(xy)x2= 2（德阳市）化简：x2(x+y)(xy) 答案：1、原式=x2y2x2=y2 2、原式=x2(x2y2)=x2x2+y2=y2 完全平方公式考点扫描: 熟练掌握完全平方公式，灵活运用完全平方公式进行计算 名师精讲: 1完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2，即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们的积的2倍 2公式中的字母a、b，可以是具体的数，也可以是单项式或多项式公式可推广：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即三个数的和的平方，等于各个数的平方和加上每两个数的积的2倍 3如果一个多项式能化成另一个多项式的平方，就把这个多项式叫做完全平方式如，a22ab+b2=(ab)2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2，则a22ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式 中考典例: 1（北京西城区）下列各式计算正确的是（ ） A、(x1)2=x22x+1B、(x1)2=x21 C、x3+x3=x6D、x6x3=x2 考点：完全平方公式及幂的运算性质 评析：该题是考查学生对公式及幂的运算法则掌握的情况，所以解决此题就要对公式特别是完全平方公式及幂的运算法则掌握熟练，由完全平方公式(ab)2=a22ab+b2可以判定A对，B不对，由整式的加减可判定C不对，再根据同底数幂除法的法则确定D也不对，因此只有选A 说明：当该题确定A选项后，其他选项也可以不考虑，因为数学试题中一般不会出现多选题 真题专练: 1(上海市)下列计算中，正确的是（ ） A、a3a2=a6B、(a+b)(ab)=a2b2 C、(a+b)2=a2+b2 D、(a+b)(a2b)=a2ab4b2 2（湖南长沙）下列关系式中，正确的是（ ） A、(ab)2=a2b2B、(a+b)(ab)=a2b2 C、(a+b)2=a2+b2D、(a+b)2=a22ab+b2 3（德阳市）已知x(x1)(x2y)=3求： 的值 答案：1、B2、B3、由x(x1)(x2y)=3得xy=3， = = 当xy=3时，原式= 课外拓展：乘法公式漫谈初一要学习两个乘法公式，即平方差公式和完全平方公式，初学者对于各乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义往往不易掌握，运用时容易混淆，因此要学习好乘法公式，必须注意以下几点 一、注意乘法公式的推导 乘法公式是直接计算特殊的多项式乘法得来的，即： 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2； 完全平方公式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 由此可见，理解乘法公式要与多项式乘法联系起来，这样对公式才理解的深、记得准、记得牢，一旦把公式忘记了，自己也可以把公式推导出来 二、注意掌握乘法公式的结构特征 乘法公式的结构特征是各公式的本质所在在学习时，应仔细观察其结构特征，并会用语言加以表述 平方差公式：(a+b)(a-b)a2-b2； 结构特征：公式的左边是两个数和与这两个数差的积，而右边是这两个数的平方差 完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2. 结构特征：公式的左边是两个数的和(或差)的平方，而右边是这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍 三、注意弄清乘法公式中的字母含义 公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以利用公式例如： (2m+5n)(2m-5n)=(2m)2-(5n)2=4m2-25n2. (4x+3y)2=(4x)2+24x3y+(3y)2=16x2+24xy+9y2. 四、注意运用公式容易出现的错误 在学习中不少同学经常出现如下错误： (1)(a+b)(a+b)=a2+b2； (2)(a+b)2a2+b2；(a-b)2a2-b2 错误(1)的原因是模仿平方差公式所至，切记只有平方差公式，没有平方和公式；错误(2)的原因是与积的平方(ab)2=a2b2相混淆对于这些错误，同学们只要利用多项式的乘法计算一下，即可得到验证 五、注意掌握公式的形式变形 平方差公式的常见变形： (1)位置变化：(a+b)(-b+a)_； (2)符号变化：(-a-b)(a-b)=_； (3)系数变化：(3a+2b)(3a-2b)_； (4)指数变化：(a3+b2)(a3-b2)_； (5)项数变化：(a+2b-c)(a-2b+c)=_； (6)连用变化：(a+b)(a-b)(a2+b2)=_. 只要掌握了平方差公式的结构特征，这些变形即可得解。 完全平方公式的常见变形： (1)a2+b2(a+b)2-2ab(a-b)2+2ab； (2)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)； (3)(a+b)2-(a-b)24ab 这些变形应用十分广泛，因而要熟记这些变形公式 六、注意公式的灵活运用 1连续运用乘法公式 例1计算(x+3)(x-3)(x2+9) 解：原式(x2-9)(x2+9)x4-81 例2计算(m+n)(m-n)(m2-n2) 解：原式=(m2-n2)(m2-n2)(m2-n2)2m4-2m2n2+n4 说明：例1是两次运用平方差公式；例2是先运用平方差公式，再运用完全平方公式 2灵活选用乘法公式 例3计算(x+3y)(x-3y)2 分析：本题若先根据积的乘方性质，再用完全平方公式计算比较复杂，而先用平方差公式，再运用完全平方公式，简捷明快，富有较强的灵活性 解：原式=(x2-9y2)2=x4-18x2y2+81y4. 3逆用乘法公式 例4计算(1-y)2-(1+y)2 分析：本题的常规解法是先用完全平方公式将(1-y)2和(1+y)2展开，再合并同类项，若能想到平方差公式逆用，其解法非常简便。 解：原式=(1-y)+(1+y)(1-y)-(1+y)=-4y. 4变形运用乘法公式 例5已知x+y=4，且x-y=10，则2xy=_.(天津市中考题) 分析：本题的常规解法是解二元一次方程组，而运用完全平方公式的变形公式求解，会更巧妙、灵活。 解： 4xy=(x+y)2-(x-y)2=16-100=-84. 2xy=-42.