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专题三,方案设计问题,考点一,方程、不等式型方案设计,方程、不等式型方案设计常见的两种类型,1.,方程,(,组,),型方案设计,:,根据题意,列出方程,(,组,),通过求其整数解,确定设计方案,.,2.,方程、不等式综合型方案设计,:,根据题意,列出方程及不等式,(,组,),通过解方程、不等式,求出其整数解,确定设计方案,.,【,例,1】,(2014,益阳中考,),某电器超市销售每台进价分别为,200,元、,170,元的,A,B,两种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况,:,(,进价、售价均保持不变,利润,=,销售收入,-,进货成本,),销售时段,销售数量,销售收入,A,种,型号,B,种,型号,第一周,3,台,5,台,1 800,元,第二周,4,台,10,台,3 100,元,(1),求,A,B,两种型号的电风扇的销售单价,.,(2),若超市准备用不多于,5400,元的金额再采购这两种型号的电风扇共,30,台,求,A,种型号的电风扇最多能采购多少台,?,(3),在,(2),的条件下,超市销售完这,30,台电风扇能否实现利润为,1400,元的目标,若能,请给出相应的采购方案,;,若不能,请说明理由,.,【,思路点拨,】,(1),设,A,B,两种型号的电风扇销售单价分别为,x,元,y,元,根据,3,台,A,种型号,5,台,B,种型号的电风扇收入,1800,元,4,台,A,种型号、,10,台,B,种型号的电风扇收入,3100,元,列方程组求解,.,(2),设采购,A,种型号电风扇,a,台,则采购,B,种型号电风扇,(30-a),台,根据金额不多于,5400,元,列不等式求解,.,(3),设利润为,1400,元,列方程求出,a,的值为,20,不符合,(2),的条件,可知不能实现目标,.,【,自主解答,】,(1),设,A,，,B,两种型号电风扇的销售单价分别为,x,元，,y,元,.,依题意得 解得,答：,A,，,B,两种型号电风扇的销售单价分别为,250,元，,210,元,.,(2),设采购,A,种型号电风扇,a,台,则采购,B,种型号电风扇,(30-a),台,.,依题意得,200a+170(30-a)5400,解得,:a10.,答,:,超市最多采购,A,种型号电风扇,10,台时,采购金额不多于,5400,元,.,(3),依题意有,(250-200)a+(210-170)(30-a)=1400,解得,a=20,此时,a10.,所以在,(2),的条件下超市不能实现利润,1400,元的目标,.,【,特别提醒,】,1.,不等式,(,组,),的正整数解,在确定实际问题的方案中起着至关重要的作用,.,2.,通过计算、比较,确定解决实际问题的最优方案,.,【,对点训练,】,1.(2014,滨州中考,),王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本,.,中性笔每支元,笔记本每本元,王芳带了,10,元钱,则可供,她选择的购买方案的个数为,(,两样都买,余下的钱少于元,),(,),【,解析,】,选,B.,设王芳购买中性笔,x,支,笔记本,y,本,根据题意,得,0.8x+1.2y10.,如果只买笔记本的话,最多买,8,本,y8.,当,y=8,时,10-1.28=0.4320,，购买,A,商品,6,件，,B,商品,4,件的费用最低,.,答：有两种购买方案，方案一：购买,A,商品,5,件，,B,商品,5,件；,方案二：购买,A,商品,6,件，,B,商品,4,件,.,其中方案二费用最低,.,4.(2014,嘉兴中考,),某汽车专卖店销售,A,B,两种型号的新能源汽车,.,上周售出,1,辆,A,型车和,3,辆,B,型车,销售额为,96,万元,;,本周已售出,2,辆,A,型车和,1,辆,B,型车,销售额为,62,万元,.,(1),求每辆,A,型车和,B,型车的售价各为多少元,.,(2),甲公司拟向该店购买,A,B,两种型号的新能源汽车共,6,辆,购车费不少于,130,万元,且不超过,140,万元,.,则有哪几种购车方案,?,【,解析,】,(1),设每辆,A,型车的售价为,x,万元，每辆,B,型车的售价为,y,万元,.,由题意得,解得,答：每辆,A,型车的售价为,18,万元，每辆,B,型车的售价为,26,万元,.,(2),设购买,A,型车,a,辆，则购买,B,型车,(6-a),辆,.,由题意得,解得,a,是正整数，,a=2,或,a=3.,共有两种方案,.,方案一：购买,2,辆,A,型车和,4,辆,B,型车,.,方案二：购买,3,辆,A,型车和,3,辆,B,型车,.,考点二,函数型方案设计,函数型方案设计常见的三种类型,1.,根据一次函数性质确定最优方案,:,首先根据题意,列出两个变量的一次函数解析式,;,再根据题意,列出不等式组,利用一次函数的增减性确定有最大值,(,或最小值,),的方案,.,2.,列出两个函数解析式,确定最优方案,:,根据题意,(,或函数图象,),列出两个函数解析式,通过求方程,(,组,),的解,确定最佳方案,.,3.,比较函数值,确定最优方案,:,根据题意,列出两个一次函数解析式,通过比较函数值的大小确定最优方案,.,【,例,2】,(2013,宿迁中考,),某公司有甲种原料,260kg,乙种原料,270kg,计划用这两种原料生产,A,B,两种产品共,40,件,.,生产每件,A,种产品需甲种原料,8kg,乙种原料,5kg,可获利润,900,元,;,生产每件,B,种产品需甲种原料,4kg,乙种原料,9kg,可获利润,1100,元,.,设安排生产,A,种产品,x,件,.,(1),完成下表,:,(2),安排生产,A,B,两种产品的件数有几种方案,?,试说明理由,.,(3),设生产这批,40,件产品共可获利润,y,元,将,y,表示成,x,的函数,并求出最大利润,.,甲,(kg),乙,(kg),件数,(,件,),A,5x,x,B,4(40-x),40-x,【,思路点拨,】,(1),根据每件产品所需要的原料数,某种产品的件数,可填好表格中的空格,.(2),根据两种产品所需要某种原料数的总和不超过公司现有某种原料数,列出不等式组,求出不等式组的整数解即可,.(3),根据题意,列出,y,与,x,之间的函数关系式,再根据一次函数的性质分别算出三种生产方案的利润,即可求得最大利润,.,【,自主解答,】,(1),甲,(kg),乙,(kg),件数,(,件,),A,8x,5x,x,B,4(40-x),9(40-x),40-x,(2),由题意得,此不等式组的解集为,22.5x25,，,x,为整数，,x,23,，,24,，,25,，,此时，,40-x,的值相应为,17,，,16,，,15.,答：安排生产,A,，,B,两种产品的件数有,3,种方案：,(A,，,B),(23,，,17),，,(24,，,16),，,(25,，,15).,(3),由题意得,y,900x,1 100(40-x),-200x,44 000,，即,y,-200x,44 000,，因为,k,-200,0,，,23x25,，,所以当,x,23,时，,y,最大值,-20023,44 000,39 400(,元,).,答：,y,与,x,的函数关系式为,y,-200x,44 000,，最大利润为,39 400,元,.,【,对点训练,】,1.(2013,山西中考,),某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案,.,印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要,.,两种印刷方式的费用,y(,元,),与印刷份数,x(,份,),之间的函数关系如图所示,:,(1),填空,:,甲种收费方式的函数关系式是,.,乙种收费方式的函数关系式是,.,(2),该校某年级每次需印制,100,450(,含,100,和,450),份学案,选择哪种印刷方式较合算,.,【,解析,】,(1)y=0.1x+6,y=0.12x.,(2),由,0.1x+60.12x,得,x300,由,0.1x+6=0.12x,得,x=300,由,0.1x+6300,由此可知,当,100x300,时,选择乙种方式较合算,;,当,x=300,时,选择甲、乙两种方式都可以,;,当,300x450,时,选择甲种方式较合算,.,2.(2014,常德中考,),在体育局的策划下,市体育馆将组织明星篮球赛,为此体育局推出两种购票方案,(,设购票张数为,x,购票总价为,y):,方案一,:,提供,8000,元赞助后,每张票的票价为,50,元,;,方案二,:,票价按图中的折线,OAB,所表示的函数关系确定,.,(1),若购买,120,张票时,按方案一和方案二分别应付的购票款是多少,?,(2),求方案二中,y,与,x,的函数解析式,.,(3),至少买多少张票时选择方案一比较合算,?,【,解析,】,(1),按方案一购,120,张票时,y=8000+50120,=14000(,元,);,按方案二购,120,张票时,由图知,y=13200(,元,).,(2),当,0100,时,设,y=kx+b,解得,k=60,b=6000,y=60x+6000.,综上得,(3),由,(1),知,购,120,张票时,按方案一购票不合算,.,即选择方案一比较合算时,x,应超过,120.,设至少购买,x,张票时选择方案一比较合算,则应有,8000+50x60x+6000,解得,:x200(,张,).,至少买,200,张时选方案一比较合算,.,考点三,几何图形型方案设计,几何图形型方案设计问题常见的两种类型,1.,几何图形分割与拼接方案设计,:,把一个几何图形按某种要求分成几个图形,这是图形的分割,.,反过来,按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形,这是图形的拼接,.,在图形的分割、拼接过程中,都要结合所提供的图形特点来思考,.,2.,图案设计方案,:,以某一个图案为基础,利用中心对称、轴对称的性质设计优美图案,.,由于思考的角度不同,审美观各异,设计出的图案是不唯一的,.,【,例,3】,(2013,无锡中考,),下面给出的正多边形的边长都是,20cm.,请分别按下列要求设计一种剪拼方法,(,用虚线表示你的设计方案,把剪拼线段用粗黑实线,在图中标注出必要的符号和数据,并作简要说明,.,(1),将图,1,中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型,使它的表面积与原正方形面积相等,.,(2),将图,2,中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型,使它的表面积与原正三角形的面积相等,.,(3),将图,3,中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型,使它的表面积与原正五边形的面积相等,.,【,思路点拨,】,(1),在正方形四个角上分别剪下一个边长为,5,的小正方形,拼成一个正方形作为直四棱柱的底面即可,.,(2),在正三角形的每一角上找出到顶点距离是,5,的点,然后作边的垂线,剪下后拼成一个正三角形,作为直三棱柱的一个底面即可,.,(3),在正五边形的每一角上找出到顶点距离是,5,的点,然后作边的垂线,剪下后拼成一个正五边形,作为直五棱柱的一个底面即可,.,【,自主解答,】,(1),如图,1,沿黑线剪开,把剪下的四个小正方形拼成一个正方形,再沿虚线折叠即可,.,(2),如图,2,沿黑线剪开,把剪下的三部分拼成一个正三角形,再沿虚线折叠即可,.,(3),如图,3,沿黑线剪开,把剪下的五部分拼成一个正五边形,再沿虚线折叠即可,.,【,特别提醒,】,(1),拼接出的多边形边数一定要与要求相符合,.,(2),网格中作图,要充分利用网格中直角、小正方形的边长,.,(3),几何图形的方案设计,答案往往不唯一,只要给出符合要求的其中之一即可,.,【,对点训练,】,1.(2013,宁波中考,),下列四张正方形硬纸片,剪去阴影部分,后,如果沿虚线折叠,可以围成一个封闭的长方体包装盒的,是,(,),【,解析,】,选、剪去阴影部分后,组成无盖的正方体,故此选项不合题意,;B,、剪去阴影部分后,无法组成长方体,故此选项不合题意,;C,、剪去阴影部分后,能组成长方体,故此选项正确,;D,、剪去阴影部分后,组成无盖的正方体,故此选项不合题意,;,故选,C.,2.(2014,宁波中考,),木匠黄师傅用长,AB=3,宽,BC=2,的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种方案,:,方案一,:,直接锯一个半径最大的圆,;,方案二,:,圆心,O,1,O,2,分别在,CD,AB,上,半径分别是,O,1,C,O,2,A,锯两个外切的半圆拼成一个圆,;,方案三,:,沿对角线,AC,将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆,;,方案四,:,锯一块小矩形,BCEF,拼接到矩形,AFED,下面,并利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆,.,(1),写出方案一中的圆的半径,;,(2),通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大,?,(3),在方案四中,设,CE=x(0x1),圆的半径为,y,求,y,关于,x,的函数解析式,;,当,x,取何值时圆的半径最大,?,最大半径是多少,?,并说明四种方案中,哪一个圆形桌面的半径最大,?,【,解题指南,】,求方案二中的半径是应用方程思想,借助勾股,定理求解,.,方案三中,连接,OG,应用相似求解,;,方案四中分,0x , x1,两种情况求解,.,【,解析,】,(1),方案一中圆的半径为,1.,(2),方案二,如图,连,O,1,O,2,作,EO,1,AB,于,E,设,O,1,C=x,那么,(2x),2,=2,2,+(3-2x),2,解得,方案三,:,连,OG,OGCD,D=90,OGDE,CGOCDE,设,OG=y,方案三的圆半径较大,.,(3),当,0,x, 时，,当,x,1,时,注：以下写法同样给分,当,x=,时,y,最大，,y,最大,=,四种方案中，第四种方案圆形桌面的半径最大,.,考点四,测量方案型设计问题,测量方案型设计问题常见的三种类型,1.,测量物体高度方案设计,:,理解俯角、仰角的定义,分析图形,:,根据题意构造直角三角形,.,并结合图形利用三角函数,应用解直角三角形的关系解决问题,.,2.,测量物体宽度方案设计,:,理解方向角或方位角,由题意构建直角三角形,运用三角函数解直角三角形,.,3.,测量物体深度方案设计,:,根据题意作出辅助线,构造出相似三角形,(,或直角三角形,),运用相似三角形性质,(,或三角函数,),解答实际问题,.,【,例,4】,(2014,绍兴中考,),九,(1),班同学在上学期的社会实践活动中,对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量,.,(1),如图,1,第一小组用一根木条,CD,斜靠在护墙上,使得,DB,与,CB,的长度相等,如果测量得到,CDB=38,求护墙与地面的倾斜角,的度数,.,(2),如图,2,第二小组用皮尺量得,EF,为,16,米,(E,为护墙上的端点,),EF,的中点离地面,FB,的高度为米,请你求出,E,点离地面,FB,的高度,.,(3),如图,3,第三小组利用第一、二小组的结果,来测量护墙上旗,杆的高度,在点,P,测得旗杆顶端,A,的仰角为,45,向前走,4,米到达,Q,点,测得,A,的仰角为,60,求旗杆,AE,的高度,(,精确到米,).,(,备用数据,:tan601.732,tan300.577,1.732, 1.414),【,思路点拨,】,应用,(1),的结果及相似,求出护墙的高度,在两个直角三角形中表示点,A,到地面的高度,列方程求解,.,【,自主解答,】,(1)=76.,(2),过点,E,作,EGFB,垂足为,G,过,EF,的中点,O,作,OHFB,垂足为,H,如图甲,.,OH=1.9,EG=2OH=3.8,E,点离地面,FB,的高度为米,.,(3),延长,AE,交直线,PB,于,G,，如图乙，设,AG=x,，,在,RtQAG,中，,在,RtPAG,中，,PQ+QG=PG,解得,x9.46,AE5.7,旗杆,AE,的高度是米,.,【,对点训练,】,1.(2014,黔东南中考,),黔东南州某校九年级某班开展数学活动,小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆,小明站在,B,点测,得旗杆顶端,E,点的仰角为,45,小军站在点,D,测得旗杆顶端,E,点的,仰角为,30,已知小明和小军相距,(BD)6,米,小明的身高,米,小军的身高米,求旗杆的高,EF,的长,.(,结果精确到,0.1,参考数据,: 1.41, 1.73),【,解析,】,过点,A,作,AMEF,于,M,过点,C,作,CNEF,于,N,MN=0.25m,EAM=45,AM=ME.,设,AM=ME=xm,则,CN=(x+6)m,EN=(x-0.25)m,ECN=30,解得,x8.8,则,EF=EM+MF8.8+1.5=10.3(m).,答,:,旗杆的高,EF,约为,10.3m.,【,变式训练,】,(2013,襄阳中考,),如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆,AB,的高度,站在教学楼上的,C,处测得旗杆底端,B,的俯角为,45,测得旗杆顶端,A,的仰角为,30,如旗杆与教学楼的水平距离,CD,为,9m,则旗杆的高度是多少,?(,结果保留根号,),【,解析,】,在,RtACD,中，,在,RtBCD,中，,答：旗杆的高度是,2.(2014,陕西中考,),某一天,小明和小亮来到一河边,想用遮阳,帽和皮尺测量这条河的大致宽度,两人在确保无安全隐患的情,况下,先在河岸边选择了一点,B(,点,B,与河对岸岸边上的一棵树的,底部点,D,所确定的直线垂直于河岸,).,小明在,B,点面向树的方向站好,调整帽檐,使视线通过帽檐正,好落在树的底部点,D,处,如图所示,这时小亮测得小明眼睛距,地面的距离米,.,小明站在原地转动,180,后蹲下,并保持原来的观察姿态,(,除身体重心下移外,其他姿态均不变,),这时视线通过帽檐落在了,DB,延长线上的点,E,处,此时小亮测得米,小明的眼睛距地面的距离米,.,根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽,BD,是多少米,?,【,解析,】,由题意，知,BAD=BCE,ABD=ABE=90,BADBCE,BD=13.6,河宽,BD,是米,.,
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